Формула Лейбница
статья по математике (11 класс)

С конца 40-х годов XX столетия в математике акцент стал смещаться в сторону дискретных методов, что было связано с развитием вычислительной техники. С этого же времени возрос интерес к комбинаторике, которая  с течением времени стала включать в себя все новые и новые разделы. Развитие комбинаторных методов обусловлено появлением разнообразных задач дискретной математики, связанных с существованием, алгоритмом построения и подсчетом числа некоторой конфигурации из элементов данного множество.

В нынешнем веке информационных технологий алгоритмы программирования с каждым годом становятся все сложнее, что затрудняет вычисления, необходимые для решения информационных задач. В связи с этим появилась необходимость поиска более универсальных методов решения поставленных задач.

Вильгельм Лейбниц считается одним из создателей математического анализа, а именно  дифференциального и интегрального исчисления. Официальной датой появления дифференциального исчисления принято считать май 1684 года, когда Лейбниц опубликовал первую статью, называвшуюся «Новый методов максимумов и минимумов…». В данной статье были изложены в сжатой форме принципы нового метода, который получил название дифференциальное исчисление.

Также Лейбницу, наряду с Бернулли, принадлежит идея комбинаторного метода, который состоит в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом.

Очень широкий спектр применения  при решении комбинаторных перечислительных  задач  полиномы Белла. Полиномы Белла представляют собой выражение производной сложной функции через производные ее компонент.

Данное выражение для полиномов в явном задании имеет следующий вид:

Где  – n-я производная сложной функции A=f((t)), - производные внутренней функции.

Формула для нахождения производной высших порядков суперпозиции.  Данная формула является следствием из выражения для полиномов Белла.

Выглядит формула следующим образом:

Впервые данная формула была записана французским математиком Луи Франсуа Антони Арбогастом в 1800 году, а затем, как это достаточно часто бывает в научном мире, была переоткрыта  в 1855 году Франческо Фаа ди Бруно.  Популярность данная формула приобрела именно благодаря Фаа ди Бруно. Поэтому сейчас данная формула носит именно его имя.