конспект на тему "Цифровая запись числа в ЕГЭ базового уровня"
план-конспект занятия по математике (11 класс)

Тема:   Решение задания (цифровая запись числа) из базовой части ЕГЭ

Почему то дети  хорошо запоминают признаки делимости на 2 и на 5, а остальные признаки забывают.

В связи с эти тем, рекомендую на уроках в 10-11 классах уделить время на повторение признаков делимости чисел. Напомним признаки делимости, которые изучаются в школе:

 1.Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа оканчивается на четную цифру т.е 0, 2, 4, 6 или 8.

 2. Натуральное число делится на  3 тогда и только тогда когда  сумма его цифр делится соответственно на 3 .

 3. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа оканчивается на  0 или на 5.

 4. Натуральное число делится на  4 или 25 тогда и только тогда когда число, образованное последними его двумя цифрами нули или делится   соответственно

на 4 или 25.

 5. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда когда  сумма его цифр делится соответственно на 9.

 5.1. Все натуральные числа, которые делятся на 9, всегда делятся и на 3.

Теперь рассмотрим признаки делимости некоторые простые числа:

 6. Натуральное число делится на  7 тогда и только тогда когда разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

 7. Натуральное число делится на  11 тогда и только тогда когда разность между суммой цифр, стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на нечетных местах делится на 11

 8.Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13

 9. Натуральное число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17

 10. Натуральное число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

11. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23.

12.Натуральноечисло делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Немного об общих свойствах.

Если m, k не имеют общих делителей, кроме 1, и число n делится на m и делится на k, то n делится на mk.. Если же наибольший общий делитель m и k выше 1, такой признак использовать нельзя. Например, если число одновременно делится на 4 и 6, то не факт, что оно делится на 24 (пример - 36). 

Только что названный признак можно обобщить так: если число n делится на m и делится на k, то n делится на наименьшее общее кратное m и k. Например, если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 12. 

Пусть p = kq, где k > 1 - натуральное число. Если n делится на p, то n делится на q, а если n не делится на q, то n не делится и на p. Яркий пример: нечётное число не делится на 4, поскольку оно не делится на 2, в итоге тут можно даже не использовать правило последней пары цифр, названное выше (в случае чётного числа для проверки делимости на 4 придётся применять то правило).

Теперь, рассмотрим признаки делимости на некоторые составные числа:

на 6, 8. 12,18,20,24.

1.Натуральное число делится на  8 тогда и только тогда когда число, образованное последними его тремя цифрами нули или делится  на 8.

2.Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

3. Натуральное число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

4. Натуральное число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5.

5. Натуральное число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8.

 Теперь рассмотрим конкретные примеры из ЕГЭ. Начнем с самых простеньких.

1. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось

на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение: Натуральное число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно

делится на 3 и на 10 т.к 3 и 8  - взаимно простые числа. Поэтому последней цифрой должен быть обязательно 0, тогда последние две цифры уходят сразу.

Делимость на 10 выполнилось, осталось выполнить делимость на 3 и вычеркнуть одно число.

Сумма оставшихся цифр равна 1+4+1+5+6+5+0=22.Значит, можно вычеркнуть либо1(в любой позиции) либо 4. Тогда получаются три числа:415650, 145650 и 115650.В ответе укажем одно из них.

2. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение: Трехзначное число, сумма цифр которых равно 20 можно можно записать следующими способами ( позиция цифр не имеет значение т.к. речь идет о сумме цифр):

Для удобства начнем с чисел, начинающихся с 9, таких у нас четыре, числа, начинающихся с цифры 8 две и одно число начинается с цифры 7.

992, 983,974,965    884,875,866,  776.

И так таких чисел всего 8. Из них 1,2,4,6 явно видно, что сумма квадратов цифр не делятся на 3( так кА по 2 цифры кратно 3, а одна не кратно 3.

3. Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Число делится на 5 и 6 если оно делится на 30.

Ненулевые одинаковые остатки при делении на 5 и 6  могут быть только 1,2,3 или 4.

Потому искомые числа могут иметь вид: 30k +1, 30k +2, 30k +3, или30k +4.

Так как 400:3= 13,(3), то первое искомое  трехзначное число  вида 30k +1   равно 421.Дальше составим список:

421,451,481,511,541,571,601,631,661,691,721,751,781,811,841,871,901,931,961,991.

422,452,482,512,542,572,602,632,662,692,722,752,782, 812,842,872,902,932,962,992

423,453,483,513,543,573,603,633,663,693,723,753,783, 813,843,873,903,933,963,993

424,454,484,514,544,574,604,634,664,694,724,754,784, 814,844,874,904,934,964,994

Я понимаю, что слишком много чисел получилось, но они легко составляются.

Теперь осталось выполнить последнее условие: первая слева цифра является средним арифметическим двух других цифр. Это легко подобрать устно из этого списка, это числа: 453, 573 и 693. В ответе нужно указать одно из них.

4. Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75.Выпишем все такие трехзначные числа:

100,125,150,175,200,225, 250,275,300,325,350.475,500,525,550,575,600,625,650,

675,700,725,750,775,800,825,850,875,900,925,950,975.

Учитывая, что все цифры различны, из этого списка остаются: 125,150,175, 250,275, 325,350,475, 525, 575, 625,650,675, 725,750, 825,850,875, 925,950,975.

Легко проверить, что среди этих чисел только у следующих чисел сумма квадратов делится на 3: 125,175, 275, 425,475,725,825 и 875.  

Осталось отсеять из них числа, сумма квадратов которых кратно 9. В итоге остаются числа 125, 175, 275, 725, 825, 875. В ответе укажем одно из них.

5. Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.