Метод весов в задачах на смеси и сплавы
занимательные факты по математике (8, 9, 10, 11 класс)
В статье предлагается новый способ решения задач на смеси и сплавы, используя метод весов. Концентрация вещества и его масса в задачах такого типа зависимые величины и, определив данную зависимость, можно упростить вычисления необходимых элементов.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 24.26 КБ |
Предварительный просмотр:
Метод «весов» в задачах на смеси и сплавы
Леонидов А.И.
Многие задачи по теме «Смеси и сплавы» предполагают составление уравнения и системы уравнений для нахождения решений. Данный тип используется не только в математической практике, но и входит в банк заданий ОГЭ и ЕГЭ.
Некоторые из них можно было бы решить быстрее или использовать предлагаемый способ для перепроверки. В качестве примера рассмотрим задачу: «Смешали 10-процентный и 15-процентный раствор кислоты. Получили 13-процентный раствор массой 20кг. На сколько масса второго раствора больше массы первого?»
Для решения задачи составим краткую запись (рис. 1), обозначив массы сплавов через x и y.
Рис. 1 Краткая запись задачи
Тогда для решения данной задачи необходимо найти разность между y и x. Составим систему на основе данной краткой записи. и решим её. Получим y=12 кг, x=8кг, значит ответ задачи: на 4 кг.
Здесь учащийся сталкивается с решением системы уравнений и не все хорошо осваивают данную тему, а также не исключены арифметические ошибки.
Применим метод «весов» к данной задаче. Заметим, что итоговый процент на 3 больше, чем у первого раствора и на 2 меньше, чем у второго, а значит массы данных растворов будут обратно пропорциональны этому изменению. Тогда масса первого составляет 2 части, а масса второго 3 таких же части. По условию задачи общий вес растворов 20 кг и он состоит из 5 равных частей, отсюда каждая часть весит 4 кг. Кроме того, второй раствор на 1 часть больше первого, поэтому разность масс равна 4 кг.
При использовании такого подхода не пришлось прибегать к решению системы и вычисления проводились только с целыми числами. Для того чтобы это не было частным решением, рассмотрим задачу в общем виде и укажем порядок применения данного метода и типы задач, для которых метод применим.
Пусть имеются два раствора (вещества) с концентрациями c1 и c2, массами m1 и m2 и итоговой концентрацией с, причём c1 < c2. Тогда составим одно из уравнении в данных задачах: (1). Откуда, выразив отношение масс, получим
. Значит можно сделать вывод о том, что массы и разности концентраций обратно пропорциональны. Рассматриваем разности, как положительное изменение концентрации, так как c будет находиться в интервале
.
Так как преобразования уравнения были тождественные, то из обратной пропорциональности масс изменениям концентрации получим исходное равенство (1).
Данный способ подходит для решения задач на нахождение массы и концентрации сплава, если известно, что у каждого из сплавов они отличаются на какое-то количество килограмм или процентов. Кроме того, можно находить концентрацию итогового сплава.
Рассмотрим задачу: «Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?».
Отношение масс растворов равно , значит проценты эти сплавов распределялись в отношении
. Поэтому первый раствор увеличил концентрацию на
, а второй уменьшил на
по отношению к разности концентраций равной 10%. Тогда итоговая концентрация это
или
. Получим 21%. Проверим одним из способов, для этого надо найти значение выражения
. Как и в первом варианте ответ 21%.
Возможно, применение данного способа можно расширить на случай трёх сплавов или более сложных конструкций, поэтому предложения и критика приветствуются.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/04/picture-29948.jpg)
Конспект урока по теме: "Решение задач на смеси и сплавы"
Данную разработку можно использовать при подготовке к итоговой аттестации в 9 и 11 классах, а также на уроках алгебры по теме "Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений"...
![](/sites/default/files/pictures/2011/12/14/picture-41629.jpg)
Задачи на смеси и сплавы
В данном архиве открываем файл презентации "Решение текстовых задач", в которой разобраны три задачи, затем выполняем самостоятельную работу....
задачи на смеси и сплавы
В данном уроке рассмотрены основные методы решения задач на смеси и сплавы. Рассмотрены задачи из сборника для подготовки к ГИА, могут быть использованы для подготовки к ЕГЭ....
![](/sites/default/files/pictures/2013/07/17/picture-272708-1374063093.jpg)
Проектная работа Методика подготовки учащихся к решению задач по темам «Задачи на движение» и «Задачи на смеси и сплавы», включенных в ЕГЭ по математике.
Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алг...
ПРОЕКТ-ПРЕЗЕНТАЦИЯ "ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА" (ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ, МАТЕМАТИКЕ, ХИМИИ, ЭКОНОМИКЕ,ГЕОГРАФИИ,ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ)
Авторский сборник задач, доказывающий неразрывную связь математики с другими науками. Каждый раздел имеет 5 уровней сложности, работа оснащена вспомогательными гиперссылками для удобства в использован...
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/14/picture-198471-1379175748.jpg)
Задачи на смеси и сплавы. ЕГЭ-2015 (задача №13)
Решение задач на тему "Смеси и сплавы" вызывают у обучающихся затруднения, т.к. тема не изучается в математике отдельно, а является межпредметной темой математики и химии. На уроках химии решают...
Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы
В данной работе я рассмотрела решение текстовых задач на процентные содержания сплавов и различных смесей. Для решения подобных задач применяются различные методы : от решения на части до примен...