Парадокс Рассела в наивной теории множеств
статья по математике

Путова Лидия (Л.В.Путова)

Учитель математки

ГБОУ школа №575

Санкт-Петербург

putovalida@gmail.com

Парадокс Рассела в наивной теории множеств.

Ключевые слова: парадокс, множество, теория множеств, собственные элементы, парадокс брадобрея, парадокс лжеца

Такой раздел математики как теория множеств был создан в XIX веке Георгом Кантором. Именно он впервые сформулировал ключевые понятия. Кто-то из математиков с недоверием отнесся к его идеям, кто-то их сразу принял, но к концу XIX века теория множеств Кантора стала общепризнанной. Однако очень скоро были найдены различные парадоксы. Значительная часть возникла из-за размытости понятия «множество» в теории Кантора.

В данной статье мы рассмотрим один из самых значимых парадоксов – парадокс Бертрана Рассела, сформулируем его математическим языком, а также в форме, понятной школьникам.

Рассмотрим S – множество всех множеств, не являющихся собственными элементами (то есть те, которые не содержат себя в качестве элемента). Будет ли S содержать себя в качестве элемента? Пусть ответ «да». S по определению состоит из тех и только тех элементов, которые не содержат в качестве элемента самого себя. Значит S не может содержать S. Получили противоречие! Пусть теперь ответ «нет». S должно содержаться в S как одно из множеств, не являющегося собственным элементом. Снова противоречие.

В более интересной и понятной детям форме его можно представить в неформальном виде, например, в виде парадокса брадобрея. Звучит он как загадка: пусть в некотором городе живет брадобрей, который стрижет тех и только тех жителей города, которые не стригут себя сами. Стрижет ли брадобрей себя сам? Любой ответ, который дети предложат в качестве ответа на эту загадку, приведет к противоречию.

Проблема заключается в том, что мы описываем множество «тех и только тех, кто не стрижет себя сам», а вот принадлежит ли брадобрей этому множеству?

Еще одна простая и понятная детям формулировка – парадокс лжеца, известный еще античных времен, Рассел также заинтересовался им в контексте изучения наивной теории множеств. Звучит он в форме вопроса: Данное высказывание — ложно. Истинно ли это высказывание или нет?

Именно с помощью Бертрана Рассела и его парадокса был сделан решающий вывод о несовершенстве наивной теории множеств и необходимости ее формализации. Существовало несколько подходов к решению этой проблемы, но в настоящий момент времени самой популярной является система аксиом, сформулированная математиками Цермело и Френкелем, благодаря которой этот парадокс, как и многие другие, был разрешен. Однако неизвестно, не появятся ли в будущем новые парадоксы, и какие пути их решения будут выбраны!

Литература

1. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.

2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств – М.: МИР, 1970.

3. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств – М.: МЦНМО, 2002.