ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
методическая разработка (5 класс) по теме

Комитет по образованию

Правительства Санкт-Петербурга

Государственное образовательное учреждение

Дополнительного профессионального образования

(повышения квалификации) специалистов

Санкт-Петербургская академия постдипломного

Педагогического образования

Кафедра физико-математического образования

Статья

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

Выполнила слушатель курсов:

                                                                                  Белова Татьяна Ивановна

                                                                  Научный руководитель:

                                                                                        Лукичёва Елена Юрьевна

Санкт-Петербург

2013

                                                                  Современные математики больше                          

                                                                        имеют дело с множествами и    

                                                                        операциями над ними, поэтому

                                                                        необходимо изучать в школе  

                                                                        множества и учить применять

                                                                        полученные знания на практике.

                                                                        Прежде всего надо развивать

                                                                        интуицию (путём решения задач в

                                                                        широком смысле) и способность к

                                                                        рассуждениям, ибо в математике

                                                                        навыки рассуждений (исследова-

                                                                        ний) более важны, чем знания                            

                                                                        фактов.

                                                                                                 Д.Пойя [16, стр.32]

Введение.

   Под нестандартными задачами я рассматриваю задачи определённых видов, которые в настоящее время всё в большем количестве предлагаются в учебниках в разделе “занимательные задачи” или “задачи повышенной трудности”. Следовательно, надо учить детей поискам решения таких задач и решать их. Отсутствие методических рекомендаций вызывает определённую трудность у учителя, именно, именно при обучении поиску решения этих задач (чаще всего эти задачи учитель опускает или удовлетворяется правильным ответом одного – двух учеников не требуя при этом объяснений). Организовать поиск решения таких задач, так чтобы большинство детей в классе смогли решить данную задачу очень сложно. Но решать такие задачи необходимо, так как они влияют на развитие мышления учащихся. Следовательно, данная  тема остаётся на сегодняшний день актуальной. В своей работе я попыталась найти  “ключ” к решению нестандартных задач определённого вида.  

   Современный этап развития общества выдвигает особые требования к школьному образованию: школа должна формировать человека не только обладающим определённым набором знаний, но и умеющим творчески применять их.

   Поиск новых путей совершенствования обучения прежде всего направлены на то, чтобы разрешить противоречие между постоянно растущим объёмом знаний и ограниченными сроками школьного образования. Острота данного противоречия усиливается тем, что постоянно ускоряющийся темп развития приводит не только к росту объёма знаний, но и ко всё более быстрому их моральному старению. [16, стр.32]

   Одним из путей разрешения данного противоречия является совершенствование развивающего обучения, прежде всего на развитие творческих способностей детей.

1

   Любое обучение в той или иной мере развивает.

   Развивающее обучение – это такое обучение, в котором развитие детей  

                                               школьного возраста выступает важнейшей целью,

                                               оно специально организуется. [6, стр.6]

   Основным принципом развивающего обучения является проблемность.

   Проблемным называется такое обучение, при котором усвоение знаний и

                                               этап формирования интеллектуальных навыков

                                               происходит в процессе относительно

                                               самостоятельного решения системы задач –

                                               проблем, протекающего под общим руководством  

                                               учителя. [10, стр.6]  

   Такое обучение оказывает значительное воздействие на умственное развитие школьников, так как соответствует самой природе мышления как процесса, направленного на открытие новых для человека закономерностей, путём решения познавательных и практических проблем.

   Проблема – это ситуация, требующая от субъекта некоторого действия,

                                               направленного на нахождение неизвестного на

                                               основе использования его связей с известными, в

                                               условиях, когда субъект не обладает способом

                                               (алгоритмом) этого действия. [1, стр.15]  

   Уровень математической подготовки учащихся характеризуется в первую очередь умением решать задачи.

   На уроках математики школьники решают много различных задач, однако большинство из них носят тренировочный характер, являясь задачами на “известный вид”. Далеко не все из них в процессе обучения являются проблемными.

   В соответствии с терминологией проблемного обучения, проблемной при обучении математике является задача, способ решения которой ученику не известен. Такие задачи называются нестандартными. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся или нет. Решение нестандартных задач вызывает у учеников, как правило, наибольшие затруднения. Однако, правильно организованный процесс поиска решения задачи помогает ребёнку преодолеть трудности, разрешить противоречия между имеющимися знаниями и требованиями задачи, приводит в состояние активности его самостоятельную мыслительную деятельность, которая способствует формированию новых свойств личности, положительных качеств ума и тем самым оказывает влияние на сдвиг в умственном развитие. Исходя из результатов анкетирования и личных бесед с учителями (результаты анкетирования представлены в приложении), можно сделать вывод о том, что учителя используют нестандартные задачи, но видят их роль лишь в формировании интереса учащихся к математике. Системно, планомерной работой, именно по обучению решению нестандартных задач, в школе не наблюдается.

2

   В математике решаются не любые задачи, а лишь математические и сводимые к ним. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи, и тот, кто умеет решать математические задачи, сумеет решить и другие (житейские, производственные, научные и т.д.), а с такого рода задачами человек встречается ежедневно. Поэтому научить решать задачи чрезвычайно важно.

   В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия (решение уравнений, неравенств и т.д.) и практические задачи, сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления (о движении машин, о размерах реальных предметов и т.д.)

   Для сведения практических задач к математическим, реальные объекты, рассматриваемые в этих задачах, заменяются соответствующими математическими объектами (точками, числами, отрезками и т.д.) и тем самым получается модель практической задачи – математическая задача.

   Модель – объект, который служит для получения знаний о другом объекте -      

                                                       оригинале и находится с ним в определённых

                                                       отношениях. [26, стр.78]

   “Математические объекты, - указывает Л.М.Фридман, - лишены любых вещественных (материальных) и энергетических характеристик, имея лишь одну характеристику: эти объекты находятся в определённых отношениях друг с другом, в отношениях количественных, пространственных и им подобных ”. [26, стр.80] Идеальными являются знаково-символические модели – запись каких-либо особенностей закономерностей оригинала с помощью математического языка.

   В настоящее время сложилась концепция математики, которую академик А.Н. Колмогоров характеризует следующим тезисом:

“А) В основе всей математики лежит чистая теория множеств”. [7, стр.32]

Этот принцип даёт возможность рассматривать математические объекты и отношения между ними с позиций данной теории.

   Возникает вопрос: каким образом, в связи с каким материалом можно использовать элементы теории множеств на уроках математики и как такое использование может отразиться на уровне развития логического мышления школьников.

   Гипотезой исследования явилось предположение о том, что знакомство школьников с терминологией теории множеств и со способами графического изображения множеств повлияет на уровень способности учеников решать нестандартные задачи, предполагающие теоретико-множественное решение и, следовательно, может является средством усиления развития логического мышления учащихся.

   Была поставлена цель: исследовать влияние использования теоретико-множественных понятий и диаграмм школьниками на их умение решать нестандартные задачи определённого типа.

3

   Объект исследования: процесс обучения учеников поискам путей решения нестандартных задач.

   Предмет исследования: методические условия, способствующие формированию у учащихся обобщённых умений, входящих в процесс поиска плана решения нестандартной задачи.

   В ходе исследования проблемы и проверки сформированной гипотезы предполагалось решить следующие задачи:

1. изучение психолого-педагогической и методической литературы по

        проблеме исследования;

2. изучение состояния проблемы исследования в практике школы;
3. проведение экспериментальной работы с целью изучения влияния использования начальных элементов теории множеств при решении нестандартных задач на уровень развития логического мышления школьников;
4. разработка системы приёмов и форм организации работы над нестандартной задачей, предполагающей решение с использованием теоретико-множественного языка;
5. установление связи между степенью сформированности общих умений, входящих в процесс поиска плана решения нестандартной задачи и показателями качества общего умения решать задачи;

Использовались следующие методы исследования:

1. анализ психолого-педагогической и методической литературы;
2. анкетирование учителей;
3. изучение продуктов деятельности учащихся (анализ самостоятельных и контрольных работ по данной теме);
4. беседы с учащимися и анализ их ответов;

различные виды педагогического эксперимента (констатирующий, обучающий, контрольный).

   Работа выполнялась в течении двух лет. В педагогическом эксперименте приняло участие 24 ученика.

4

Глава №1

   Теоретические основы изучения возможности использования элементов теории множеств при решении нестандартных задач и их влияние на уровень развития логического мышления школьников.

§1. Развитие логического мышления – цель обучения математике.

   Под развитием учащихся подразумевается их переход от одного качественного состояния к другому более высокого уровня. В результате у учащихся появляются новообразования в структуре их учебной деятельности; например – новые интеллектуальные умения (сравнивать, рассуждать и т.д.).

   Специфика математики такова, что изучение этого предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на умственное развитие учащихся. Но умственная деятельность учеников является очень сложной, многокомпонентной. Один из основных её компонентов – мышление, развитие которого есть важнейшая задача общего образования. Мышление обладает рядом признаков среди которых в первую очередь выделяют логичность.

  Логическое мышление – непротиворечивое, обоснованное,  

                                             последовательное мышление, протекающее в

                                             форме рассуждений. [18, стр.4]  

   Воспитание логического мышления в значительной степени происходит на уроках математики. Неслучайно математику называют прикладной логикой; поскольку именно в математике ученик с наибольшей полнотой может увидеть демонстрацию почти всех законов логики.

   Таким образом, одна из важнейших целей обучения математике – развитие логического мышления учащихся.

§2. Развитие логического мышления.

   Как указывают психологи Н.Н.Поспелов и И.Н.Поспелов [17, стр.16] развитие логического мышления учащихся происходит в процессе формирования и совершенствования уровней, форм и операций мышления, выработки умений и навыков по их применению в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приёмов мыслительной деятельности из одной области знаний в другую.

   Таким образом, если нам удастся установить влияние использования элементов теории множеств на совершенствование уровней, форм и операций мышления, то можно говорить о таком использовании как средстве усиления развития логического мышления школьников.

§3. Использование теоретико-множественных моделей при обучении школьников как средство перехода к более абстрактному уровню мышления.

   Психологи различают следующие уровни логического мышления:

1. Предметно-действенный
2. Наглядно-образный

5

3. Абстрактный                    [15, cтр.38]

В первом случае рассуждение осуществляется  на основе восприятия и действий с конкретными предметами, во втором случае рассуждение осуществляется с опорой на картинки, схемы, символические записки и т.д. При абстрактном мышлении отвлекаются от всяких конкретных предметов, схем и т.п., и рассуждают в уме.

        Из этой характеристики уровней мышления следует основная линия его развития -,, … от практического мышления, скованного конкретной ситуацией, к отвлеченному, абстрактному мышлению, безгранично расширяющему сферу познания, позволяющему  выходить далеко за пределы непосредственного чувственного опыта”.[3, cтр.37]

        Особенностью мышления школьников является тесное взаимодействие трех уровней мышления: наглядно-действенного, наглядно-образного и абстрактного. Однако если первые два уже достигли достаточно высокого уровня развития , то последний только начинает себя проявлять.[12, cтр. 34]

        Для математики специфичен абстрактный уровень мышления, однако он нисколько не уменьшает значение других уровней. Н.А. Менчинская [11, cтр. 102] отмечает , что задача обучения математике детей школьного возраста должна заключатся не в том, чтобы заставить ребенка как можно быстрее пройти все стадии в развитии мышления, а в том чтобы обеспечить наиболее полное использование возможностей мышления имеющихся у ученика, для перехода к самому высокому абстрактному уровню мышления.

        Новообразованием в сфере развития наглядно-образного мышления в данном возрасте, и соответственно, переход к более высокому уровню, является ”появление сознательного отношения к символическим и знаковым средствам психической деятельности, способности к усвоению деятельности моделирования”.[13, cтр.41]

        Моделирование - это метод исследования, который предполагает  

                                               создание искусственных или естественных    

                                               моделей имитирующих существенные свойства

                                               оригинала.[13, cтр.112]

        Из определения важны две характеристики: модель замещает объект изучения; находится с ним в определенных отношениях.

        Таким образом - моделирование - это процесс создания моделей и работы с ними. Он характеризуется определенной степенью абстрагирования, т.к. деятельность моделирования заключается в кодировании (обозначении) признаков, отношений предметов составлении модели отношений, выполнении нового действия с моделью и декодировании информации (переноса ее на реальные предметы). Деятельность моделирования позволяет отделить в сознании детей признаки предмета друг друга, сравнить предметы только по одному выделенному признаку.

6

        Это положение согласно теории поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина, отнесено к этапу отработки действия в материализованном плане. [3, cтр. 25; 21, cтр.7]

        Таким образом, процесс моделирования влияет на формирование логического мышления школьников.

        Как было сказано выше, развитие логического мышления школьников должно преследовать цель наиболее полного использования возрастных особенностей мышления для перехода к абстрактному уровню мышления.

        Одна из трудностей перехода к самому высокому уровню состоит в том, что недооценивается имеющаяся у детей тенденции к абстрагированию. Всякий контакт с абстрактным рассматривается как трудный и весьма нежелательный. На самом деле это не так. Как показывают исследования бельгийских математиков Ф. Пани и Ж. Пани [14, c.14] тенденция к абстрагированию преобладает в играх детей. Дети не боятся абстракции.

        Авторы книги считают, что рисовать конкретные объекты, вместо того чтобы изображать их точками – это бесполезный этап, тормозящий обучение детей математике. Способ представления объектов точками позволяет быстро перейти от конкретной ситуации к модели.

        Точки – не дети, но они обозначают детей. Нет никакой опасности говорить: ,, Это ребенок” , показывая на точку, которая его обозначает, точно так же, как математик говорит: ,, Точка А”, вместо ,, Точка, обозначаемая буквой А”.

        На уроках мадам Фредерик дети моделируют отношения между объектами действий языком стрелок (графов), которые помогают им сформулировать ответ, т.к. при помощи стрелок ученики ясно представляют то, о чем они говорят или что объясняют. Интересно, что дети сами предлагают изображать отношения стрелками, демонстрируя этим свою активную способность к абстракции.

        Ребенок плохо выражающий свои мысли без затруднения воспринимает абстрактный язык графов в качестве средства для моделирования хорошо знакомых ситуаций, разумеется, при условии постоянного контакта с реальностью.

        Следовательно как считают бельгийские ученые использование теоретико-множественных моделей хорошо знакомых ситуаций в плане перехода к более абстрактному уровню мышления на основе активного использования жизненного опыта ребенка полностью отвечает его интеллектуальным возможностям, позволяя осуществлять переход от конкретно-действенного уровня мышления к более абстрактному. При этом модель для ребенка становится такой же реальностью, какой для него являются предметы стихийного опыта.

        С.Л. Рубинштейн [19, cтр.351,363] так же обращает внимание на то, что введение символических и знаковых средств обучения (моделей, схем и т.д.) положительно влияет на умственное развитие ребенка, являясь чувственно –

7

наглядной основой для перехода к новому, более высокому логико- абстрактному уровню мышления. Именно теоретико-множественные диаграммы могут являться такой основой.

        А.А. Столяр [23, cтр.41] указывает, что специфика школьного обучения может отвергать теоретико - множественный подход к построению школьной математики, но при этом эффективно использовать простейшие теоретико - множественные понятия и их обозначения (модели) в качестве вспомогательных средств в обучении математике.

        Утверждение о том, что простейшие элементы теоретико-множественного  языка малодоступны школьникам и бесполезны в их обучении, противоречит уже существующему опыту их разумного применения.

        Таким образом, у А.А. Столера [23, cтр.41], [6], у Папи Ф. и Папи Ж.  [14], у Соболевского Р.Ф. [22] мы находим подтверждение того, что использование теоретико-множественных моделей имеет особое значение для развития логических структур мышления детей.

        Введение теоретико-множественного языка в школе по мнению П. Сагымбековой [20, cтр. 194] имеет ряд преимуществ:

1. содержание математики не может быть определено без учета внутреннего строения самой математики
2. теоретико-множественные идеи пронизывают весь школьный курс математики, позволяют учащимся целенаправленно овладеть математическим стилем мышления, т.е. таким мышлением, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения
3. теория множеств - ,,язык” математики, а ,,язык” – это один из важнейших объектов изучения
4. возможность использования теоретико- множественных понятий с наглядной демонстрацией делает преподавание математики простым, ясным, естественным.
5. человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное собрание предметов, объединенное каким-либо признаком, как самостоятельный объект, разбивать объект на части по какому-либо признаку, находить закономерности и т.д.
6. теоретико-множественный ,,язык” позволяет представить и усвоить абстрактные логические понятия и их взаимосвязь.

§4. Возможность использования элементов теории множеств, при решении нестандартных задач как средство совершенствования форм логического мышления.

        Цель данного параграфа – показать , каким образом можно использовать элементы теории множеств для совершенствования форм

8

логического мышления школьника.

        Мышление человека протекает в следующих формах: понятие, сужение и умозаключение.

Понятие – форма мышления,  в которой отражаются общие и при том

                                       существенные свойства предметов и явлений.

                                       Речевое выражение понятий - слово.

Суждение – форма мышления, при которой образуются связи между

                                       предметами и явлениями действительности  

                                       или между предметами и их признаками.

                                       Речевое выражение суждения – предложение,

                                       либо утвердительное, либо отрицательное.

Умозаключение – форма мышления, в процессе которой человек

                                       сопоставляет и анализирует различные

                                       суждения, выводит из них новое суждение.  

                                       Речевое выражение – предложение.

   На уроках математики формы логического мышления используются в процессе изучения новых понятий, установления свойств объектов, при решении задач. Применяя эти формы, ученик с одной стороны овладевает ими, совершенствует их – с другой, и таким образом постепенно развивает аппарат своего мышления.

        Осуществляя математическую деятельность, ученик думает, рассуждает, обосновывает свои рассуждения, делает выводы.

        ,,Человек начинает думать тем, где привычка или прежние знания оказываются недостаточными, т.е. там, где возникает проблема”.[2, cтр.231]

        Как показали психологические исследования, наибольший эффект по развитию форм логического мышления достигается при проблемном обучении [5, cтр.15]. При  реализации проблемного обучения учащихся дают задачи, предполагающие открытие новых для них причинно-следственных связей, закономерностей, общих принципов решения целого класса задач, в основе которого лежат еще неизвестные ученику отношения между элементами исследуемых ситуаций.

        В школе обычно на уроке математики ученики решают немало задач, однако не все они являются проблемными. Проблемными являются только те задачи, решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск еще неизвестных школьнику закономерностей, способов действий, правил. Только такие задачи способствуют развитию активной мыслительной деятельности, поддерживают интерес к предмету и, соответственно, совершенствуют формы мышления ученика, а сделанное учеником ,,открытие” приносит ему эмоциональное удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в памяти, чем знания, преподнесенные в готовом виде. Этим требованиям отвечают нестандартные задачи.

Нестандартная задача – это задача, для которой в курсе математики не

                                 имеется общих правил и положений, определяющих              

                                 точную программу их решения.[25, cтр.48].

9

   Как отмечает психолог Н.Г. Салмина [21, cтр.97] умение решать нестандартные задачи тесно связано с умением использовать моделирование при поиске их решения.

        Моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но по мнению методистов Д.С. Фонина и И.И. Целищевой [24, c.41] без должной системы и последовательности, что объясняется неправильным пониманием роли наглядности в обучении и развитии учащихся. Действительно, наблюдение и анализ результатов проведенной работы, беседы с учителями и учащимися, которые проводили авторы статьи [24] позволяют сделать вывод о том, что одной из основных причин допускаемых детьми ошибок в решении текстовых задач является неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной систематической работы по обучению моделированию ситуации, в то время, как моделирование должно выступать на первый план, указывают авторы, когда при решении задач необходимо правильно установить связи и отношения между предметами.

        Для построения модели необходимо вычленить из задачи все ее элементы, все ее отношения, установить искомое и требование, ведь именно в этом и заключается анализ задачи. Следовательно, построение модели задачи должно направлять подлинный, глубокий ее анализ. А если при этом выбрана удачная форма модели, то тем самым будет и определено решение задачи.

        Говоря о значении и роли моделей при решении задач А.Ш. Левенбeрг [8, cтр.4-5]  отмечает: ,,рисунки, схемы и чертеж не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задачи, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умениями применять их т.е. совершенствуют  формы логического мышления.”

        Таким образом, совершенствование форм логического мышления зависит от умения использовать моделирование при решении задач, в особенности нестандартных. Самыми эффективными при обучении математике, как отмечает психолог В.В. Давыдов [4, cтр. 17], оказываются графические модели.

        Теоретико-множественные диаграммы, по сути, являются графическими моделями. Следовательно, их использование должно быть эффективным при обучении поиску решения нестандартной задачи, предполагающей теоретико-множественный подход, и, таким образом, способствовать совершенствованию форм мышления.

§5. Решение задач как средство совершенствования мыслительных операций.

        В психологической литературе выделяют следующие операции логического мышления: анализ, синтез, сравнение, классификация и т.д.

10

    Анализ – логический прием, состоящий в мысленном расчленении  

                                            предмета на составные части, каждая из

                                            которых исследуется в отдельности, как часть

                                            целого.

Синтез – логический прием, мысленного сведения частей предмета

                                           расчлененного в процессе анализа,

                                           вычисления их взаимных связей в составе  

                                                     целого.

Сравнение – логический прием, лежащий в основе суждений о

                                           сходстве и различие объектов. С помощью

                                           сравнения выявляются количественные и

                                           качественные характеристики объектов,

                                           классифицируется, упорядочивается и

                                           оценивается содержание бытия и познания.

Сериация – логический прием, заключающийся в упорядочении

                                           предметов по степени интенсивности

                                           выделенного признака. Каждый элемент,

                                           включенный в сериационный ряд,

                                           характеризуется по отношению к двум

                                           соседним элементам: выраженность в нем

                                           варьируемого признака одновременно больше,  

                                                     чем в одном из них, и меньше, чем в другом.

Классификация – логический прием, заключающийся в распределении

                                           предметов какого-либо рода на  

                                           взаимосвязанные классы согласно наиболее

                                           существенным признакам, присущим

                                           предметам данного рода и отличающим их от

                                           предметов других родов, при этом каждый

                                           класс занимает определенное постоянное  

                                           место и делится на подклассы.

        Операции мышления наиболее ярко проявляются при составлении плана решения задачи.

1. Анализ - устанавливается зависимость между искомым и данным (от искомого к данным)
2. Синтез – устанавливается зависимость между искомым и данным ( от данных к искомому)
3. Сравнение – при восприятии задачи ученик представляет конкретную ситуацию, описанную в ней, оперирует объектами, выделяет основание для их сравнения, сопоставляет их по выделенному основанию, обобщает результат сравнения.
4. Сериация – выделяется признак по упорядочению объектов в задаче. Объекты располагаются по порядку возрастания (убывания) данного

           признака.

11

5. Классификация – объекты задачи объединяются в группы по какому-либо основанию.

Оперирование приемами мышления (отражение отношений объектов задачи с опорой на модель) при решении нестандартной задачи, предполагающей теоретико-множественную модель, позволяет отчетливо осознать цель и объект действия, т.е. какой объект надо преобразовать и каким предположительно должен быть преобразованный объект.

        Таким образом, решение нестандартных задач с помощью теоретико-множественной модели может являться одним из средств совершенствования мыслительных операций.

   Уважаемые коллеги, разрешите представить вашему вниманию фрагмент работы над нестандартной задачей определённого типа в 5 классе, на выбор единицы.

Задача. [9, cтр.8]

   Трое грелись у костра. Первый положил в костёр три бревна, второй положил в него пять брёвен, а третий заплатил им за это 80 рублей. Как они должны были разделить между собой эти деньги?

Итак, мы знаем что …

(используем при составлении краткой записи теоретико-множественные модели).

I  

II

 III – 80 рублей

Рассуждение

Если у костра грелись трое, то каждый получил 1/3 тепла от каждого бревна.  

I  

II

По данной модели каждому досталось 8/24 тепла.

I  

II

   Значит, I отдал 1часть из своих брёвен, а II  - 7 частей. Следовательно, III должен разделить свои деньги на 8 равных частей и I отдать одну часть (10 рублей), а II – отдать семь частей (70 рублей).

Ответ: 10 рублей получит I, 70 рублей получит II.

Задача решена.

Небольшое дополнение, на практике дети быстрее решают эту задачу с сосисками (наверное, приятнее и ближе к практическому применению).

   Использование теоретико-множественных моделей при решении задач помогает предупредить ошибки в логических рассуждениях ребёнка, и своевременно оказать ему помощь в поиске путей решения данной задачи. А также сам процесс моделирования влияет на развитие логического мышления школьников.

   Применение при поиске решения задач теоретико-множественных моделей делает этот процесс для детей занимательным, необычным и поэтому эффективным. Ученикам нравится, что при составлении модели фактически появляется решение задачи. При получении решения дети сами стремятся

проверить полученный результат. Решение задачи наглядно, позволяет найти разные пути решения, разные способы проверки, задать дополнительные вопросы. Поскольку активизируется самостоятельность детей, то такой поиск решения прочнее закрепляется в памяти. При  составлении модели учитель может своевременно оказать помощь ученику и тем самым предупредить ошибки.

   Таким образом, использование теоретико-множественных моделей при решении нестандартных задач оказывает существенное положительное влияние на развитие логического мышления школьников.

13

Список литературы.

1.   Артёмов А.К. Развитие логического мышления школьников в обучении математике. Пенза  

      1992.

2.   Балл Г.А. О психологическом содержании понятия “задача”. / Вопросы психологии. 1970 №6.

3.   Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развития ребёнка. М. 1985

4.   Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.1972.

5.   Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.1981.

6.   Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. М. 1981.

7.   Колмогоров А.Н. Современные взгляды на природу математики. / Математика в школе 1969  

      №3.

8.   Левенберг Л.Ш. Рисунки , схемы и чертежи в курсе математики. М.1978.

9.   Левитас Г.Г. Нестандартные задачи. М.: Илекса, 2012

10. Махмутов М.И. Теория и практика проблемного обучения. Казань 1972.

11. Менчинская Н.А. Психолого-педагогические основы формирования

      математических знаний, умений и навыков. / Под редакцией М.И.Моро, А.М.Пышкало.    

      М.1977.

12. Особенности психологического развития детей. / Под редакцией Д.Б.Эльконина, А.Л.Венгера.

      М. 1988.

13. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. М.1987.

14. Папи Ф., Папи Ж. Дети и графы. М.1974.

15. Подгорецкая Н.А. Изучение приёмов логического мышления у взрослых. М. 1980.

16. Пойя Д. Чему учить. / Математика в школе 1967 №6.

17. Поспелов Н.Н., Поспелов И.Н. Формирование мыслительных операций у старшеклассников.

      М. 1989.  

18. Развитие логического мышления в процессе обучения в школе. М. 1956.

19. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. 2-е издание М.1946.

20. Сагымбекова А.Ю. Преемственность в усвоении теоретико-множественных понятий учащихся.

       / Преемственность в обучении математике. М.1978.

21. Салмина Н.Г. Виды и функции материализации в обучении. М.1981.

22. Соболевский Р.Ф. Логические и математические игры. Минск. 1977.

23. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск. 1986.

24. Фокин Д.С., Целищева И.И. Моделирование как важное средство обучения решению задач.

       / Математика в школе. 1990 №3

25. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.1989.

26. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М. 1983

14