Стартовые задачи с параметром
методическая разработка по математике (11 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №2 пгт. Кировский»
Приморского края

СТАРТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Методическая разработка

Осинцева Наталья Николаевна, учитель математики

пгт. Кировский

2023 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..        3

ПРИМЕРЫ СТАРТОВЫХ ЗАДАНИЙ С ПАРАМЕТРОМ…………………….        4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………        7        

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………..        8

ВВЕДЕНИЕ

Пусть дано уравнение с двумя переменными F(x, a) = 0. Если в задаче сформулирована цель: «Для каждого значения переменной a из некоторого числового множества A решить уравнение относительно x», то выражение F(x, a) = 0 называют уравнением с переменной x и параметром а, а множество A – областью изменения параметра а^[1] (от греческого слова parametron - отмеривающий).

Задания с параметром встречаются в школьных учебниках с 7 по 11 класс. Просто при этом не звучит само слово «параметр». Например, в теме «Квадратные уравнения» мы отвечаем на вопросы «При каких целых значениях переменной q данное уравнение имеет 2 корня, только 1 корень, не имеет решения» и т.п. Т.е. задания интегрированы, отдельно данный материал можно рассматривать на углубленном уровне. И вот наши учащиеся сталкиваются с заданием части II ЕГЭ профильного уровня. Задача учителя – дать ученику старт с дальнейшим развитием ситуации успеха.

Актуальность данного материала обусловлена количеством баллов за задание с параметром. Тем не менее, при подготовке к ЕГЭ учащиеся либо вообще не хотят начинать тренироваться по теме, либо быстро остывают к этим задачам. Я думаю, что в первую очередь необходимо преодолеть некий психологический барьер, показать ученикам, что решение задач с параметром им по силам. Следовательно, отбор заданий для начала осуществим по принципам: от знакомого к новому, от простого к сложному. Пусть изначально просматриваются этапы решения, само решение не будет перегружено, т.к. из-за громоздких вычислений и большого числа ветвлений можно потерять нить рассуждений. Необходимо выбрать наиболее яркие примеры для графического и аналитического методов решения.

Методом проб и ошибок я пришла к выводу, что лучше всего соблюсти преемственность: в части 2 ОГЭ по математике присутствует задание по теме «Функции и их свойства. Графики функций» (например, (1) требуется построить график функции  и (2) определить, при каких значениях m прямая  y=m имеет с графиком ровно две общие точки, одну, более двух и т.п.). Пункт (2) сводится к решению системы  графическим методом.

Как правило, сильные ученики успешно решают такие задачи на ОГЭ. Поэтому имеет смысл начинать рассматривать задания ЕГЭ с параметром, где уравнение можно привести к системе, и решать эту систему далее графически (см. Задачу 1).

Достаточно понятны в решении задачи с уравнениями окружностей, которые можно решать аналитически, используя координатный метод (см. Задачу 2).

В задачах 3 и 4 также присутствуют как графический метод, так и аналитический.

ПРИМЕРЫ СТАРТОВЫХ ЗАДАНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Задача №1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4х2-8|х|+4-а2=0 имеет ровно 2 корня.

Решение: Представим  уравнение в виде 4х2-8|х|+4=а2.        

Решаем графически систему уравнений   аналогично, как в 9 классе.

Преобразуем выражение (1):   или     

Строим график функции (1): для отрицательных х парабола с вершиной в точке (-1;0), для положительных х – с вершиной (1;0). Далее строим линии уровня (2) у=а2, находим значения а2, при которых точек пересечения линий уровня с графиком функции (1) будет ровно две.

Условие будет выполнено, если

a2>4 ⇔ a2-4=0 ⇔ (a-2)(a+2)=0

        +           _           +                ⇒       

    Ответ: a∈(-∞;-2)⋃{0}⋃(2;+ ∞).      

Задача №2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Решение:   Очевидно, что уравнения (1) и (2) – уравнения окружностей радиусов соответственно 1 и 3.

Окружность (1): центр – точка О1(3а+4; а-2), радиус r1=1; окружность (2): центр – точка О2(4а+3; -3), радиус r2=3.

Поскольку система имеет единственное решение, то у данных окружностей одна общая точка, причем касание может быть как внешнее, так и внутреннее (см. рис.2). При этом расстояние между их центрами

          ;        r1+r2=4, r2-r1=2

Формула для расстояния между точками  

O1O22=(4а+3-3а-4)2+(-3-а+2)2=(а-1)2+(а+1)2=а2-2а+1+а2+2а+1=2а2+2.

⇔   

Ответ: 

           Задача №3

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  имеет более двух решений.

Решение:   В зависимости от знака выражения под модулем в (1) мы получим 2 линии.

    - дуга окружности с центром в точке (1; -1)  радиуса 1 с ограничением (3) .          

    - дуга окружности с центром в точке (-1; 1) радиуса  с ограничением (4)          

Дуги окружностей, полученных при исследовании уравнения (1), построены с учетом ограничений на рис.3 (4-ая четверть координатной плоскости).

Теперь рассмотрим прямую, заданную уравнением (2). Прямая пересекает оси ОХ и ОУ в точках (1; 0) и (0; -а). При а=1 прямая (проведена сплошной линией на рис.3) имеет 2 общие точки с дугами окружностей – это точки (1; 0) и (0; -1) – первое крайнее положение.

При уменьшении а прямая не будет пересекать данные дуги более, чем в двух точках, одна из которых – (1; 0).

Для того, чтобы общих точек было больше двух, необходимо достичь еще одного пересечения с дугой большой окружности (r=). Поэтому ищем второе крайнее положение прямой.

Найдем значение параметра а, при котором прямая (2) является касательной к данной окружности.

Для этого должно выполняться условие  

  ⇒  .

Мы нашли второе крайнее положение прямой, при котором прямая является касательной к дуге большой окружности, и решений будет ровно 2.

Таким образом, при значениях а из интервала (1; 2) прямая (2) будет пересекать дуги большей и меньшей окружностей в точках, не лежащих на координатных осях. С учетом точки (1; 0) имеем 3 точки пересечения.

Ответ: а∈(1; 2)

           Задача №4

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением системы неравенств   является отрезок, длина которого равна 2

Решение:   Перепишем неравенства в системе:  

Построив графики левых частей неравенств (см. рис.4), находим область ограничений для параметра а. Прямая y=a пересекает область, если а∈(-4; 3).

1. Отрезок длины 2 есть средняя линия треугольника с координатами (0; 0), (3; 3), (4; 0)., т.к. его основание длины 4. Высота данного треугольника равна 3, следовательно, делим пополам. Прямая y=1,5 содержит среднюю линию треугольника, при этом все те значения x, которые являются решениями нашей системы, лежат на отрезке длины 2.
2. Осуществляя параллельный перенос прямой y=a вниз, приходим к выводу, что есть еще значение а, удовлетворяющее условиям нашей задачи. Парабола у=х2-4х имеет ось симметрии х=2, следовательно, от нее равноудалены на расстояние, равное 1, две точки: х1=1 и х2=3, расстояние между этими точками равно 2.

у(1)=у(3)=32-4*3= -3. Прямая у=-3 содержит отрезок длины 2, заключенный между ветвями параболы у=х2-4х. Второе значение параметра найдено.

Ответ: а=1,5 ; -3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей работе я рассмотрела несколько заданий, которые, по моему мнению, являются удачными для знакомства учащихся с разделом «Задачи с параметрами». Если у учителя есть время для изучения данной темы – это хорошо. Он даст ученикам полный расклад: классификацию, приемы решения, пояснит оптимальность отбора методов и т.д. Я исхожу из того, что этого времени практически нет.

Решая данные задачи, учащийся не только строит графики. После построений у него есть возможность почувствовать себя исследователем, выдвигающим предположение о значениях параметра, проверить свою гипотезу аналитически. В руках ученика и геометрические способы, и методы математического анализа, и.т.д. Он может использовать все свои знания и умения.

Получение верного результата укрепит в учащемся уверенность в своих силах в ходе подготовки к экзамену, даст дополнительный стимул к получению высокого балла ЕГЭ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенов А.В. Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации: [учебное пособие] – М: «Интеллект- Центр», 2023.
2. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – М.: МИЭТ, 2004