Задачи на оптимизацию
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике

Слайд 1

Слайд 2

Методы решения задач на оптимизацию: метод перебора вариантов метод логических рассуждений (составление уравнения) метод исследования функции

Слайд 3

Основные этапы решения текстовой задачи: подробный разбор условия задачи для четкого понимания сути описанного в задаче процесса; выбор переменных; составление уравнения или неравенства, систем уравнений или неравенств; решение полученного уравнения, неравенства или системы; интерпретация полученного результата и непосредственно сам ответ на вопрос задачи.

Слайд 4

У min У max У max У min у 0 Х 0

Слайд 5

Задача 1 . В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? р- производительность труда t – продолжительность рабочего дня n – количество рабочих, занятых добычей конкретного металла m – масса металла, добываемого за день Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 1 3 2 300 5 3 1

Слайд 6

Задача 1 . В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение: метод перебора вариантов 1. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 3 4500 Al : Ni =2 : 1 2. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 290 3 4350 10 1 50 Всего 4350 1550 3. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 280 3 4200 20 1 100 Всего 4200 1600 4. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 240 3 3600 60 1 300 Всего 3600 1800 3600+1800=5400 (кг). Ответ: 5400 кг.

Слайд 7

Задача 1 . В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение: метод логических рассуждений и сотавления уравнения Al : Ni =2 : 1 1. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 3 4500 2. Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 3 1500 2 300 5 х 3 5*3*х 300-х 1 5(300-х) Всего 5*3*х 5(300-х)+1500 5*3*х = 2(5(300-х)+1500) 15х = 6000-10х Х=240 240 рабочих – алюминий, 60 рабочих - никель 5*3*240 =3600(кг) -алюминия 5*60+1500 = 1800 (кг) - никеля 3600+1800 = 5400(кг). Ответ:5400 кг.

Слайд 8

Задача 1 . В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение: метод исследования функции Al Ni Шахта Всего рабочих t n p m n p m 1 100 5 х 1 5х 100-х 3 5*3*(100-х) 2 300 5 у 3 5*3*у 300-у 1 5*1*(300-у) Всего 5х+15у 15(100-х)+5(300-у) М = (5х+15у) + 15(100-х)+5(300-у) М = 5х+15у+1500-15х+1500-5у М = -10х+10у+3000 Al : Ni =2 : 1 5х+15у=2(1500-15х+1500-5у) 5х+15у=6000-30х-10у 35х+25у=6000 у=240-1,4х М =-10х +10(240-1,4х)+3000 max М = -24х+5400 0  х  100 М = 5400 Ответ: 5400 кг

Слайд 9

Задача 2 . Фермер для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма каждого вида надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Используйте данные таблицы Питательное вещество Количество питательных веществ в 1 кг корма 1 вид корма 2 вид корма A 2 1 B 2 4 Цена 1 кг корма, тыс. руб. 0,2 0,3 Питательное вещество Вид 1 Вид 2 Всего Кол-во питательных веществ в 1 кг Кол-во корма в день, кг Кол-во питательных веществ в 1 кг Кол-во корма в день, кг А 2 1 4 В 2 Цена за 1 кг корма, тыс.руб 0,2 0,3 Х у 0,2х 0,3у 2х+у = 6 2х+4у≥12 0,2х+0,3 y F = 0,2х+0,3 y у = 6 -2х F = 0,2х+0,3(6-2х) F = -0,4х+1,8 2х+4у≥12 х≥6 -2(6-2х) 2х≥12 -4у х≥6 -12+4х Х-4х≥-6 -3х≥-6 х ≤2 х ϵ [0;2] F (2) = -0,4*2+1*8=1(тыс.руб.) х=2, у = 6-2*2 = 2. Ответ: 2 кг вида А, 2 кг вида В

Слайд 10

Задача 3 .Часть денег от капитала 400 млн руб. размещена в банке под 12 % годовых, а другая часть инвестирована в производство, причем через год эффективность вложения ожидается в размере 250 % (то есть вложенная сумма х руб. оборачивается в размере 2,5 х руб.), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022 x 2 . Прибыль от производства облагается налогом в 20 %. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько рублей составит эта прибыль? Было Стало Издержки Налог Осталось Банк Производство х 400-х 1,12(400-x) 2,5х 0,0022 x 2 20% 1,12(400-x) 0,8(2,5x-0,0022x 2 ) F = 1,12(400-x)+ 0,8(2,5x-0,0022x 2 )-400 F = 448-1,12x+2x-0,8* 0,0022x-400 F =−0,8⋅0,0022 x 2 +0,88 x +48. F (250)= −0,8⋅0,0022*250 2 +0,88*250+48=-110+220+48=158 (млн.руб). Ответ: 158 млн.руб.

Слайд 11

Задача 4 .В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется x 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y 2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? 50 Кол-во рабочих Время А l Ni Кол-во рабочих Добывает один рабочий за час,кг Всего металла за день Кол-во рабочих Добывает один рабочий за час,кг Всего 1 50 10 0,2 0,1 2 50 10 Всего х у 2х 10 у = Х 2 50-х 50- У 1(50-x) 500-10у=40у У=10

Слайд 12

10 - + F ' (20) < 0 F ' (1)>0 = 60 + 6 + 24=90 (кг) Ответ: 90 кг т. max

Слайд 13

Задача 5. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p % годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки. Сумма, тыс.руб Срок % Срок % Стало Саша х 4г 10 Паша х 2г 15 2г р 1,1 4 х <0,1х р <8,7…. Ответ:8

Слайд 14

Задача 6 .Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В . Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А . Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях . Кол-во контейнеров Масса одного контейнера Масса всех контейнеров Стоимость контейнера Стоимость всех контейнеров А Х 2 2х 5 5х В у 5 5у 7 7у S = 5х+7у 2х+5у≤134 у≥1,25х 2 S-14 у+25у≤670 11у≤670-2 S S≤ 670-2 S S≤223⅓ у=20 Ответ:220 млн.руб.

Слайд 15

Задача 7 .Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счету прибавляется 10% от находящейся на счете суммы; 2) к его счету прибавляется 5% от находящейся на счете суммы и 50 тысяч рублей. Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить 417967 рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счет Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один . Схема Сумма, тыс.руб % Сумма с % через год А Х 10 В Х 5 Год Схема 1 В 2 ВА или ВВ 3 ВАА или ВАВ или ВВА или ВВВ 4 ВААА или ВААВ или ВАВА или ВАВВ или ВВАА или ВВАВ или ВВВА или ВВВВ 1,1х 1,05х+50 1,1х-1,05х-50=0,05х-50 1)Х=1000 А-В =0, А=В 2)х<1000, А-В – отриц.число, В - выгоднее 3)х >1000, А-В – полож.число, выгоднее схема А 3) x⩾1000 1,1 4 х-х = 1,4641х-х = 0,4641х = 464,1 тыс рублей = 464100 руб ВААА : (1,05 ∙ х +50) ∙ 1,1 3 −х =417,967 х≈ 883,957 ВАА B : ((1,05 ∙ х +50) ∙ 1,1 2 ) ∙ 1,05+50 −х =417,967 х≈ 911,435 ВА BB : (((1,05 ∙ х +50) ∙ 1,1) ∙ 1,05+50) ∙ 1,05+50 −х =417,967 х≈ 932,118 ВА BA : (((1,05 ∙ х +50) ∙ 1,1) ∙ 1,05+50) ∙ 1,1 −х =417,967 х≈ 896,466

Слайд 16

Задача 6 .Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счету прибавляется 10% от находящейся на счете суммы; 2) к его счету прибавляется 5% от находящейся на счете суммы и 50 тысяч рублей. Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить 417967 рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счет Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один . Схема Сумма, тыс.руб % Сумма с % через год А Х 10 1,1х В Х 5 1,05х+50 В BAA : (( 1,05∙ х+50) ∙ 1,05+50)∙1,12−х=417,967 х=880 В B А B : (( 1,05 ∙ х +50) ∙ 1,05+50) ∙ 1,1 ∙ 1,05+50 −х =417,967 х≈ 912,915 Год Схема 1 В 2 ВА или ВВ 3 ВАА или ВАВ или ВВА или ВВВ 4 ВААА или ВААВ или ВАВА или ВАВВ или ВВАА или ВВАВ или ВВВА или ВВВВ В BB А : (((1,05 ∙ х +50) ∙ 1,05+50) ∙ 1,05+50) ∙ 1,1 −х =417,967 х≈ 894,626 ВBBB : (((1,05 ∙ х +50) ∙ 1,05+50) ∙ 1,05+50) ∙ 1,05+50 −х =417,967 х≈ 939,466 Ответ:880000 рублей