Алгоритм специальной последовательности
статья по математике (7 класс)

РФ ДВФО Приморский край

КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ

АЛГОРИТМ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

дополнительный факультатив, к теме «Алгоритмы Пифагоровых последовательностей»

Для 7– 11 классов средних общеобразовательных школ

ИСТОЧНИКИ:

https://easyen.ru/load/math/7_klass/algoritm_pifagorovykh_posledovatelnostej/38-1-0-84340

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1679926767

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1680166008

https://www.chitalnya.ru/work/3535625/

https://www.chitalnya.ru/work/3522129/

https://www.chitalnya.ru/work/3523766/

https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2023/04/10/algoritm-dlya-vseh-pifagorovyh-posledovatelnostey

https://www.uchportal.ru/publ/29-1-0-12023

https://www.prodlenka.org/profile/777958/publications

https://multiurok.ru/files/algoritm-i-formuly-dlia-liubykh-troek-i-posledovat.html

Алексей Владимирович Левченко

Приморский край.

2023 год

1) Существуют последовательности сложения квадратов, которые сами хоть и не являются Пифагоровыми, поскольку одно из слагаемых не квадрат числа, но вычисляются такие суммы – по этому* же алгоритму.

[Причина подчинения алгоритму – та же, геометрическая и арифметическая:

[эти суммы, почти всегда могут участвовать в надстраивании квадратов.

2) Суть в следующем:

имеется сумма квадратов последовательных натуральных чисел.

Каждая такая сумма, начинается с единицы, и вся она – выступает в роли первого (так удобней читать запись) слагаемого. Примеры:

1²+2²+3²;   1²+2²+3²+4²+5²;  и т.д.

3) Затем, по алгоритму и формулам для Пифагоровых последовательностей, вычисляется второе слагаемое, и затем вся сумма.

[Отличие от Пифагоровых*, ещё и в том, что из первого слагаемого, не во всех случаях –  можно посчитать второе слагаемое и всю сумму].

Выражение, примет вид, образец: (1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6²) + Y² = z²

[Например для 0² + 1², игрек станет равен нулю, зет – единице, то есть формулы сработают и в этом [случае. 0² + 1² + y² = z²; у=0; z=1.

[Ноль – не натуральный, и поэтому рассматривать его не будем.

4) Следующая сумма: (1² +2 ²) + y² = z²;          ( 1²+2² = 5);

Поскольку сумма квадратов (такая как пять, и другие*) – сама квадратом не является, но она по-прежнему – надстройка, заменим символ х² на символ S [Superstructure]- «надстройка», [ну или  Sum] «сумма»:

y=(x²:k-k):2; =>  y=(S:k-k):2;   y=(5:1-1):2=2;   z=(S:k-k):2+k;   z=(5:1-1):2+1=3;

Решение примет вид: (1² +2²) + 2² = 3²; Далее, скобки в решениях,  рисовать не станем.

1² +2 ² + 3²  + y² = z²                1² +2 ² + 3² = 14;   

y=(14:2-2):2; y=(7-2):2; y=5:2 =>

=> нацело не делится, значит – для суммы квадратов 1² +2 ² + 3²+ y²  не существует такого четвёртого натурального квадрата y², который в сумме с предыдущими 1² +2 ² + 3², дал бы в результате натуральный квадрат z². Решения нет.

5) 1² +2 ² + 3²  + 4² + y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² = 30;

 y=(30:2-2):2;   y=(15-2):2;   y=13:2 => нацело не делится...(см. выше)

6) 1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² +  y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² = 55;

y=(55:1-1):2;   y=(55-1):2;   y=27;    z=(55:1-1):2+1=28

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² +  27² = 28²

У числа 55, кроме делителя k=1,  есть ещё один: k=5, поэтому продолжим:

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² +  y² = z²

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² = 55;

#y=(55:5-5):2;   y=(11-5):2;   y=3;  z=3+5=8

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² +  3² = 8²

7) 1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6²  = 91;

 y=(91:1-1):2;   y=90:2 = 45;   z=(91:1-1):2+1=46;

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² +45² = 46²;

#k=7:

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + y² = z²

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6²  = 91;

# y=(91:7-7):2;   y=6:2 = 3;   z=3+7=10;

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² +3² = 10²;

8) 1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6²+ 7²  = 140;;

y=(140:2-2):2;   y=34;   z=34+2=36;

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² ++ 7² + 34² = 36²;

#k=10:

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + y² = z²

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6²+ 7²  = 140;;

#y=(140:10-10):2;   y=2;   z=2+10=12;

#1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² ++ 7² + 2² = 12²;

. …………………..

. …………………..

11) 1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² + y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² = 506

Решений нет

12) 1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² +12² +  y² = z²

1² +2 ² + 3²  + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² +12²=650

Решений нет

. …………………..

. …………………..

13) 1²+2²+3²+…..+17²+18+y²=z²

1²+2²+3² +….+17²+18=2109

y=(2109:37-37):2;   y=10;   z=47;

1²+2²+3²+….+17²+18+10²=47²

14) 1²+2²+3²+….+18+19+y²=z²

1²+2²+3² +….+17²+18+19=2470

Решений нет

15) 1²+2²+3²+….+18+19+20y²=z²

1²+2²+3² +….+18+19+20=2870

Решений нет

16) 1²+2²+3²+….+20²+21²+y²=z²

1²+2²+3² +….+20²+21²+=3311

y=(3311:1-1):2;   y=1655;   z=1656;

1²+2²+3²+……+20²+21²+1655²=1656²

#1²+2²+3²++20²+21²+y²=z²

#1²+2²+3² +….+20²+21²=3311

#y=(3311:7-7):2;   y=233;   z=240;

#1²+2²+3²+……+20²+21²+233²=240²

#1²+2²+3²+….+20²+21²+y²=z²

#1²+2²+3² +….+20²+21²+=3311

#y=(3311:11-11):2;   y=145;   z=156;

#1²+2²+3²+……+20²+21²+145²=156²

#1²+2²+3²+….+20²+21²+y²=z²

#1²+2²+3² +….+20²+21²+=3311

#y=(3311:43-43):2;   y=17;   z=60;

#1²+2²+3²+…+20²+21²+43²=60²

.……………….

.……………….

17) Вот интересный экземпляр последовательности, хорошо известный в истории математики, как задача Эдуарда Люка', о складировании пушечных ядер:

1²+2²+3²+….+ 22² + 23²  + y² = z²

1²+2²+3²+….+ 22² + 23² =  4324

y=(4324:46-46):2;   y=24;   z=70;

1²+2²+3²+….+22 ² + 23² + 24² = 70²

[В ответе на задачу – ещё ноль в квадрате был вначале, но здесь он уже не нужен].

П.С.

Для вычисления сумм последовательных натуральных квадратов (первого слагаемого):

[1²+2²+3² +.....+ n²],

в практических вычислениях, надо конечно пользоваться формулами, например самой распространённой:

∑ [1²+2²+3² +.....+ n²] = n(n+1)(2n+1) / 6