Карточки для 6 класса
методическая разработка по математике (6 класс)

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Положительные и отрицательные числа

Числа, расположенные справа от точки О (0), называют положительными, а слева – отрицательными..

                                      Координатная прямая                                  ось Х

      - 7      - 6    - 5     - 4    - 3    - 2     - 1      0        1      2       3       4        5        6         7       8          

                      Отрицательные число     начало             Положительные числа

                                                                отсчета

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Любое положительное число больше 0.

Любое отрицательное число меньше 0.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

1. Сравните числа:

а) 2,5 и -78;      д) 28 и  - 28;      

б) 0,3 и 0;         е)  -75 и 11;

в) -5 и 2;          ж) 44 и 0;

г)  0 и -16;       з) – 33 и 0,5

2. Найдите модуль чисел::

а) │- 9│;           г) │- 128│;

б) │32│;           д) │86│;          

в) │- 0,56│;       е) ││;.

3. Вычислите:

а) │- 9│+ │- 128│;

б) │32│– │0,143│;

в) │86│+│- 0,56│

г) ││+│- │;.

Модуль числа.

Расстояние от точки А (а) до начала отсчета точки О (0) называют модулем числа и обозначается  │а│

Например:  │8│=8 – это означает, что расстояние от точки с координатой 8 до точки 0 равно 8 единичным отрезкам,   │- 4│= 4– это означает, что расстояние от точки с координатой   - 4 до точки 0 равно 4 единичным отрезкам,

│-25│= 25 – это означает, что расстояние от точки с координатой   - 25 до точки 0 равно 25 единичным отрезкам,   │42│= 42– это означает, что расстояние от точки с координатой  45 до точки 0 равно 45 единичным отрезкам.

Алгебраическая сумма

Алгебраическая  сумма – это выражение, содержащие числа, знаки «+» и « – », можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Такие выражения называют.

Например:  -24 + 33 – 8 – 12 = (- 24) + 33 + (– 8) + (– 12)

Правило вычисления значения алгебраической суммы:

Если слагаемые имеют одинаковые знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемые, а модуль суммы равен сумме модулей.

Проще говоря: чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить в ответе знак слагаемых.

Например:   (– 8) + (– 12) = – (│–8│+│–12│) = – (8 + 12) = – 20   или

(– 8) + (– 12) = – (8 + 12) = – 20  

Если слагаемые имеют разные знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем, а модуль суммы равен разности модулей слагаемых при условии, что из большего модуля вычитается меньший..

Проще говоря: чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего по модулю вычесть меньший по модулю и поставить в ответе знак числа, большего по модулю.

Например:   (– 8) +  12 = + (│12│– │–8│) = + (12 – 8) = + 4 = 4   или

                        (– 8) + 12 = + (12 –  8) = + 4 = 4

Например:     8 + (– 12) = – (│–12│–│8│) = – (12 – 8) = – 4   или

                       8 + (– 12) = – (12 – 8) = – 4  

Представьте выражение в виде алгебраической суммы и найдите ее значение:

а) – 25 – 34 + 12 – 66;                        

б) – 18 + 3 + 15 – 17;                    

в) 78 – 42 – 18 + 52;

г) 19 – 87 + 41 – 13;                    

д) – 78 + 20 + 26 – 100 – 22;

Вычислите:

а) 0,12 + (– 0,05) + 3,4 – (– 6);                        

б) –1,018 – 4,29 – (– 0,5) +

+ (– 4);                    

в) 0546 + (– 1,2) – (– 12,8) –

 –7,09;

г) 6,208 – 2,73 – (– 3,792) –

–4,65;                    

д) – 13 + (29– 45);

ЗАПОМНИ!       – (– а) = а        а + (–а) = 0                  Например:   – (– 8) = 8       – (–0,24) = 0,24    – (– 75) = 75    

                                                                                                                 – 8+ 8 = 0       –0,24 + 0,24 = 0    –75 + 75 = 0                

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

При умножении чисел с разными знаками в результате получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей:                         – × + = –  или  + × – = –

Например:  25 × (– 4) = – (│25│×│– 4│) = – (25 × 4) = – 100

                    – 18 × 5 = – (│–18│×│5│) = – (18 × 5) = – 90

При умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительной число. модуль которого равен произведению модулей множителей:      – × –  = + или  + × + = +

Например: 25 ×  4 = + (│25│×│4│) = + 100 = 100

                    – 18 × (– 5) = + (│–18│×│– 5│) = + (18 × 5) = + 90 = 90

При делении чисел с разными знаками и с одинаковыми знаками знак частного определяют так же, как и при умножении.

Вычислите:

а) 2,5 × (–78);      

б) – 1,25× (–72);        

в) -5 ×12,5;          

г)  – 7,1 × 0,5;      

д) – 25 × (– 44)

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Делители и кратные

Если одно натуральное число а нацело делится на другое натуральное число b, то первое число а называют кратным числу b, второе число b называют делителем числа а.

Например:    45 : 9 = 5   Число 45 кратное числу 9, а число 9 – делитель числа 45

Запишите все делители чисел:

а)  60;    б) 48;     в) 84;

г) 65;     д) 120;   е) 150.

Запишите три числа, кратных числам:

а) 12;   б) 17;   в) 31;   г) 29

Разложение числа на простые множители

Натуральные числа, имеющие только два  делителя, называют простыми.

Например: 17 – простое число, т.к. 17 делится на 1 и 17, т.е всего два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей называются составными.

Например:  4 – составное число, т.к. 4 делится на 1, 4,  и 2, т.е. имеет три делителя.

Чтобы представить число в виде произведения простых множителей, нужно разложить это число на простые множители, поиск которых можно оформить следующим образом:  (начинать лучше всего с самых маленьких простых чисел)      126  2             126 = 2×3×3×7 = 2×32×7

                   63  3

                   21  3

                     7  7

                     1

Представьте числа в виде произведения простых множителей:

а)  60;    б) 48;     в) 84;

г) 75;     д) 112;   е) 150.

Наибольший общий делитель    (НОД)

Числа, которые одновременно являются делителями нескольких чисел, называют их общими делителями.

Например: 45 : 9 = 5,    27 : 9  = 3,   99 : 9  =11,    Число 9 является общим делителем чисел  45, 27, 99., т.к. все эти числа делятся на 9.

Наибольшим общим делителем чисел а и b называют число, большее из всех общих делителей.

Например: общие делители чисел 48, 64, 80 являются числа 2,4,8,16, из них наибольшим общим делителем является число 16

Запишите общие делители чисел и укажите наибольший общий делитель:

а)  52 и 39;    

б)  48 и 60

в)  45 и 90

г)  21, 56 и 84          

 Правило отыскания НОД нескольких натуральных чисел:

1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим  из показателей степени, с которыми они входят в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.

Например:   Найти НОД (40; 100)

РЕШЕНИЕ:  40 = 23×51        100 = 22×52     НОД (40;100) = 22×51 = 20

Найдите НОД чисел:

а) 350 и 756;   б) 900 и 1183;

в) 198 и 1452;   г) 525 и 2205

Наименьшее общее кратное    (НОК)

Числа, которые одновременно являются кратными нескольким числам, называются их общими кратными.

Например: 45 : 9 = 5,    45 : 15  = 3    Число 45 является общим кратным чисел  9 и 15, так оно делится и на 9, и на 15.

Наименьшим общим кратным чисел а и b называют число, меньшее из всех общих кратных.

Например: общие кратные чисел 5, 8, 4 являются числа 40, 80, 120 и т.д., из них наименьшим среди общих кратных является число 40.

Запишите три общих кратных чисел и укажите наименьшее общее кратное:

а)  12 и 18;    

б)  15 и 9;

в)  45 и 90;

г)  16 и 24;

Правило отыскания НОК нескольких натуральных чисел:

1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим  из показателей степени, с которыми они входят в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.

Например:   Найти НОК (40; 100)

РЕШЕНИЕ:  40 = 23×51        100 = 22×52     НОД (40;100) = 23×52 = 200

Найдите НОК чисел:

а) 28 и 42;   б) 12, 18 и 20;

в) 90, 35;   г) 60, 75.

Взаимно простые числа

Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми.

Если  числа а и b взаимно простые, то НОД (а и b) = 1,

                                                 а НОК (а и b) = а × b

Определите, какие из пар чисел являются взаимно простыми и найдите их НОК:

а) 15 и 22;   б) 26 и 27;

в) 30 и 77;   г) 33 и 64.

Наименьшим общим знаменателем двух или нескольких дробей является наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

 1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а)  и ;      б)  и ;    в)  и ;   г)  и .

2. Вычислите:  а)  –   ;      б)  + ;    в)  + ;   г)  – .

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Отношение двух чисел

В математике рассматривают отношение только для положительных чисел.

Отношение двух чисел – это частное от деления одного из них на другое.

Отношение записывается при помощи знака деления:      а : b =

Например:    3 : 2 = 6 : 4 = 9 : 6 = 15 : 10 = 30 : 20 = 60 : 40.

Дробная черта – это тоже знак деления, поэтому отношения можно записывать в виде дроби:  

Заметим, что  3 : 2 = 1,5, также 1,5 равно каждое из выше указанных отношений:  6 : 4 = 1,5;  9 : 6 = 1,5;    15 : 10  = 1,5

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.:  

Отношение двух  чисел показывает:

• Во сколько раз одно число больше другого;
• Какую часть одно число составляет от другого.

Например, отношение числа 8 к числу 3 равно 8/3 и показывает, что 8 больше, чем 3 в 2⅔ раза. А отношение числа 3 к числу 8 равно 3/8 и выражает часть, которую 3 составляет от 8.

Примеры отношения величин.

- скорость (отношение пройденного пути ко времени, за которое путь был пройден);

- производительность труда (отношение объема работы ко времени, за которое выполняется работа);

- цена ( отношение стоимости товара к количеству единиц);

- масштаб (отношение длины отрезка на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности);

- урожайность (отношение массы собранного урожая к общей площади полей, с которой был собран урожай).

Запишите отношения в виде обыкновенной дроби и, если возможно, сократите ее:

а) 15 : 27;        г) 45 : 25;

б) 8 : 26:         д) 49 : 84;

в) 36 : 225;     е) 54 : 129  

 Укажите равные отношения

а) 25 : 75;        г) 45 : 15;

б) 8 : 24:         д) 17 : 85;

в) 36 : 22;     е) 54 : 162  

Задачи на отношения:

Задача 1.  Папа, мама и сын поехали навестить бабушку. Общее расстояние, которое им надо проехать 1300 километров. Через 325 км они остановились перекусить в придорожном кафе. Какую часть пути им осталось проехать? 

РЕШЕНИЕ:  1300 – 325 = 975 км осталось проехать

                       975 : 1300 =

Ответ:  пути осталось проехать.

Задача 2.  На ремонт стены помещения истратили 3,6 кг штукатурки. Это составляет 4⁄9 всей штукатурки, выделенной на ремонт. Сколько штукатурки было выделено на ремонт?

РЕШЕНИЕ:  3,6 : 4 × 9 = 8,1 кг штукатурки было выделено на ремонт.

Задача 3.

Решите задачи:

1. В компьютерной игре Сталкер 3 карты. На каждой карте 70 заданий. Мальчик выполнил 147 заданий. Какую часть игры он прошел? Ответ десятичная дробь. 
2. В книге 325 страниц. Прочитано 75 страниц. Какую часть книги осталось прочитать?    
3. Трубу разрезали на два куска. Длина первого куска равна 0,8 метра, а дина второго равна 2,4. Найдите, какую часть всей трубы составляет первый кусок, и какую часть всей трубы составляет вторая часть. Какую часть от длины второй части составляет длина куска первой части?