материалы по теме "Математическое ожидание". Вероятность и статистика 10 класс
учебно-методический материал по математике (10 класс)

Математическое ожидание

- это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний.

Пусть случайная величина  Х принимает значения                               

с вероятностями         соответственно:

Тогда математическое ожидание  данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

Математическое ожидание называют также ожидаемым значением случайной величины, средним значением случайной величины.

Пример 1

Страховой полис КАСКО в страховой компании стоит    35 000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,18, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50 000 рублей. С вероятностью 0,034 автомобилист попадает в серьезную аварию, и средняя сумма выплаты при этом 700 000 рублей. Найдите

1) Математическое ожидание случайной величины «средняя сумма страховой выплаты»

2) Математическое ожидание случайной величины «средний доход страховой компании от продажи одного полиса»

Решение

1) 

2) 

Пример 2

Найдите математическое ожидание случайной величины "число очков, выпавших на игральной кости".

Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близко к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе.

Пример 3.

Игральную кость бросают 5 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решение 

Математическое ожидание  числа очков, выпавших на игральной кости при каждом броске равно 3,5(см. предыдущий пример).

Математическое ожидание суммы выпавших очков равно сумме математических ожиданий числа очков при каждом броске. Это значит, что математическое ожидание суммы выпавших очков равно 3,5*5=17,5

• Ответ: 17,5

Пример 4.

• Баскетболист попадает в корзину с вероятностью 0,7. Найдите математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках.

Решение

Так как вероятность попадания в корзину равна 0,7, значит, в среднем из 10 бросков будет 7 попаданий. Соответственно, из 50 бросков, будет в среднем 7*5=35 попаданий.

Значит, математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках равно 35.

Ответ: 35

Пример 5.

• Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна  0,05 независимо от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток.

Решение

По условию вероятность отправки СМС равна 0,05. Это значит, что из 100 попыток отправить СМС в среднем удачными окажутся 5. То есть, чтобы отправить 1 СМС нужно сделать в среднем 20 попыток. Значит, математическое ожидание числа сделанных попыток равно 20.

• Ответ: 20

Пример 6.

• В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,11  к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,14. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

Математическое ожидание

1 вариант

1. В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Найти математическое ожидание размера выигрыша.
2. Игральную кость бросают 3 раза. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
3. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найдите математическое ожидание числа попаданий в мишень при 20 выстрелах.
4. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,13  к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,15. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

2 вариант

1. В коробке находятся 100 лотерейных билетов, среди которых 25 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 3000 рублей, а остальные – по 200 рублей. Найти математическое ожидание размера выигрыша.
2. Игральную кость бросают 4 раза. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
3. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Найдите математическое ожидание числа попаданий в мишень при 30 выстрелах.
4. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,14  к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,12. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

3 вариант

1. В коробке находятся 70 лотерейных билетов, среди которых 17 выигрышных, причём 3 из них выигрывают по 1400 рублей, а остальные – по 100 рублей. Найти математическое ожидание размера выигрыша.
2. Игральную кость бросают 8 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
3. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Найдите математическое ожидание числа попаданий в мишень при 10 выстрелах.
4. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,16  к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

4 вариант

1. В коробке находятся 30 лотерейных билетов, среди которых 10 выигрышных, причём 1 из них выигрывает 1500 рублей, а остальные – по 200 рублей. Найти математическое ожидание размера выигрыша.
2. Игральную кость бросают 10 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.
3. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найдите математическое ожидание числа попаданий в мишень при 10 выстрелах.
4. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью 0,15  к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,2. Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.