УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ "Тригонометрия"
учебно-методический материал по математике (10, 11 класс)

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

О.О. Стогова

УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

«Тригонометрия»

по дисциплине «Математика»

Улан-Удэ

2019

Данное методическое пособие разработано для студентов 1 курса с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении раздела «Тригонометрия» по дисциплине «Математика».

Автор – Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта.

Рецензенты – Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

Пояснительная записка

Учебное пособие составлено в соответствии рабочей программе учебной дисциплины «Математика» для всех специальностей СПО.

Данное методическое пособие разработано для студентов 1 курса с целью оказания помощи при теоретической и практической подготовке студентов по изучению тригонометрических тем.

Учебное пособие дает возможность самостоятельно изучить теоретический материал и закрепить практические навыки по всему разделу «Тригонометрия». Пособие состоит из трех взаимосвязных частей: элементов тригонометрии (в разделе рабочей программы «Понятие о числе»), тригонометрические функции (в разделе рабочей программы «Функции и их свойства» и тригонометрические уравнения (в разделе рабочей программы «Уравнения и неравенства»). Каждая тема имеет краткую теоретическую часть, содержит указания и решения к некоторым из заданий, подобраны вопросы и задания для закрепления изучаемой темы, а так же приводится тестовая форма проверки полученных знаний по каждой части раздела.

С увеличением роли самостоятельной работы студентов и необходимостью предоставления студентам возможности самообразования данное учебное пособие актуально. Весь материал изложен в доступной форме, наличие ответов дает возможность для самоконтроля.

Содержание

Глава1. Элементы тригонометрии

1.Радианная мера угла

Уже в Древнем Вавилоне задолго до нашей эры углы измеряли в градусах. Градус, - это  часть полного оборота (части окружности). Так как окружность содержит 3600 и в то же время  радиан, то один радиан соответствует  : 1 рад =017;   10 =;  0=;

  рад =

Пример 1.Выразим в радианах величины углов: 51°;400; -4800

51°=   =  =    0,8901 (радиан);

400=  рад;

-4800=  рад.

Пример 2. Выразим в градусах величины углов:

1,5 радиана =   = 85°57;

 радианам =    = 120°;

-6рад =0.

Контрольные вопросы и задания

1)Что такое угол в один радиан?

2)Выразите : а)в градусах 1,2;  -0,7;    б)в радианах 640; -1450.

3)Переведите углы из градусной меры в радианную:

а)1250; б)200;  в)450;г)1850;  д)-2250;  е)-3750;

4)Переведите углы из радианной меры в градусную:

а);  б);  в)  г);  д); е)

5)С какой угловой скоростью Земля вращается вокруг своей оси?

2. Зависимости между тригонометрическими функциями

одного и того же аргумента

Основные тригонометрические тождества

 sin2α +cos2α=1;         tgα ctgα=1;       1+ tg2α =

tg α = ;                ctg α =          1+ctg2α =

Используя указанные тождества, можно выразить через данную тригонометрическую функцию остальные функции.

Упростить тригонометрическое выражение-это значит, используя основные формулы и правила алгебраических преобразований , привести его к более простому виду.

При доказательстве тождеств можно, пользуясь известными формулами, преобразовать левую часть тождества в правую или, наоборот, правую в левую. Иногда удобнее обе части тождества преобразовать к одному и тому же выражению.

Пример 1. Вычислим cos t, если известно, что  tg t=  и t π;].

Решение:  из формулы  1+ tg2t =

находим cos2t = . Подставим вместо tg t его значение, получим

cos2t = ; cos2t = ± .

По условию t принадлежит 3 четверти координатной окружности, где cos t отрицателен; значит, cos t = - .

Пример 2. Упростим выражение  + tg α.

Решение:  + tg α =+=== (α≠+πn,nZ).

При решении использованы тождества:      sin2α+сos2α=1.

Пример 3. Докажем тождество

Решение: Преобразуем левую часть равенства:   -  = .

Контрольные вопросы и задания

1.Как, зная синус угла, найти тангенс этого угла? Как решить обратную задачу: зная тангенс угла, найти синус этого угла?

2.Найти , если  и - угол III четверти.

3.Упростите выражение .

4.Используя рисунок единичной окружности, определите знаки cos и sin если:

а);                                          б) ;                                        

в);                                         г);                                            

 д)                                       е).

3.Формулы приведения

Формулы приведения позволяют привести в тригонометрические функции любого угла к тригонометрическим функциям острого угла.

Запомните:

1. Если угол представить в виде 180°±α или 360°± α, то название функции не меняется;
2.  Если же угол представить в виде 90°±α или 270°±α, то название нужно поменять на сходное.
3. Знак результата определяется той функцией, которая дана, а не той, которая получается.

Пример 1. Вычислим: cos 300° - sin 210° - tg 135°.

Решение: cos 300°= cos (360°- 60°)= cos 60°= ;

sin 210°= sin (180°+30°) =- sin 30°= -;  

tg 135°= tg (90°+ 45°) = - сtg 45°= -1.

Тогда  cos 300° - sin 210° - tg 135°=-(- )-(-1) = 2

Пример 2.  Упростим:  sin2 290°+cos2110°+ tg2200°.

Решение: sin 290°= sin(270°+20°)= - cos20°;  cos110°= cos(90°+20°) = - sin20°; tg200°= tg(180°+20°)= tg20°, тогда  sin2 290°+cos2110°+tg2200°= cos220°+ sin220°+ tg220°= 1+tg220°= .

Пример 3.  Упростим:  sin(α - )сos(2π-α) - sin(π-α)sin(π+α)

Решение: используем свойство нечетности функции sin α и формулы приведения. Тогда sin(α- )сos (2π-α) - sin(π-α)sin(π+α)=

сos α сos α – sin α(-sin α)= сos2α + sin2α=1.

Пример 4. Приведем cos 289 к острому углу.

Решение. Можно рассуждать следующим образом:

1. 289 - угол IV четверти, в которой косинус положителен, значит, в правой части формулы нет знака «-» ;
2. 289 = 270 + 19 название меняется
3. cos289 = cos (270 + 19) = sin 19.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие координаты имеет точка В, симметричная точке А(m;n) относительно: а)оси абсцисс;             б)оси ординат;  

                          в)начала координат;  г)прямой  у = х?

2.Докажите, что sin(2700 + ) = - cos.

3.Приведите к тригонометрической функции угла :

 а) sin();  б)  в)  г) д) sin();  

3.Найдите: а) sin 8550; б)tg .

4.Вычислите:

а)

б).

4.Найдите значение выражения     , если .

4.Тригонометрические функции суммы и

разности двух углов (формулы сложения)

sin(α +β)= sinα cosβ + sinβ cosα;     sin(α - β)= sinα cosβ -  sinβ cosα;

cos (α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ;     cos (α -β) = cosα cosβ + sinα sinβ;

tg(α+β) =;     tg(α -β) =,

ctg(α+β)=; ctg(α-β)=

Пример 1.  Докажем тождество sin(α+β) sin(α-β)= sin2α- sin2β

Решение: преобразуем левую часть:

sin(α+β) sin(α-β)=( sinα сosβ +cosα sinβ) (sinα сosβ - cosα sinβ) =  

=  sin2α сos2β - cos2α sin2β.

Выражая cos2α и сos2β через синусы, получим

sin2α (1- sin2β) - (1- sin2α) sin2β = sin2α- sin2α sin2β - sin2β+ sin2α sin2β =

= sin2α- sin2β.

Пример 2.  Упростим:  .

Решение. Разделив числитель и знаменатель на  2 и заменив  на cos , получим

== tgα.

Пример 3.  Вычислим cos° 75 + sin° 15.

Решение. cos° 75 + sin° 15= cos(45°+30°)+sin(4°5-30°) = cos 45° cos 30° -            sin 45°sin 30°+sin 45°cos 30°- cos 45° sin 30°=  – +  –  =

 -  +  - = -  =  .  

Пример 4.  Докажем, что если tg  =  ,  tg  = , α [] и  β[],то .

Решение. Запишем формулу тангенса суммы углов  и подставим числовые значения:

tg(α+β) = = 1. Так как α [] и  β[], то [],

единственным углом в промежутке от 0 до , тангенс которого равен 1, является угол . Значит,  = .

Контрольные вопросы и задания

1.Найдите sin(α +β), если sinα = , cosβ = - , α [] и  β[].

2.Найдите tg(1350+α0), если tg α0= - .

3.Упростите выражение tg(α +)  tg(α - ) .

4.Упростите выражение .

5.Формулы  двойного и половинного аргументов.

sin2α= 2 sin α  cos α;  cos 2α= cos2α - sin2α;  tg 2α = .

Обратите внимание на то, что любой аргумент есть удвоенный по отношению к своей половине.

Например: α =2;  х- y=2 ;  2α+β=2 и т.д. Поэтому  можно писать: sin α =2 sin cos ;

соs= cos2 - sin2;  sin(x-y) =2 sin cos и т.д.

Если выразить правую часть формулы для cos 2α только через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), то получим  

cos 2α= 1-2sin2α; cos 2α=2cos2α -1. Из формулы косинуса двойного угла можно выразить косинус и синус угла, в 2 раза меньшего, которые используют для понижения степени выражений.

cоs2= ;  sin2  = ;

cоs2= ; sin2  = ; = ;

sin= ±;  соs = ±;  tg= ±;

Пример 1.  Вычислим sin2α, если sin α =  и α [].

Решение. Учитывая, что α – угол второй четверти, то  =                          

= -  = -  = -  = - . Применяя формулу синуса двойного угла, получим: sin2α = 2 sin α  cos α = 2.

Пример 2. Докажем тождество: cos 2α = .

Решение. Преобразуем правую часть равенства:

 =  =  =  = cos 2α.

Пример 3. Вычислим  cos α, если cos

Решение. По формуле косинуса двойного аргумента запишем:

cos α = cos ) = 2 cоs2 . Отсюда cos α = 2 - 1 = - .

Пример 4. Найдем формул, выражающую sin3α и cos 3α через sin α  и  cos α.

Решение. sin3α = sin(2α+= sin2α cos + sin cos2α. Применяя теперь формулы синуса и косинуса двойного аргумента получим: sin3α = 2 sinα sin , sin3α = 3 sin α  -  .Аналогично получаем, что cos3α = 3  α  .

Контрольные вопросы и задания

1.Найдите   если sin0,6.

2.Докажите тождество tg α = .

      3. Докажите тождество

      4. Известно, что tg  = -2 . Вычислите

6.Формулы перехода от суммы и разности тригонометрических

функции к их произведению

sin α+ sin β=2 sin  соs;  sin α- sin β=2 соs sin ;

 соs α - соs β= -2 sin sin;  соs α + соs β=2 соs соs;  

tg α + tg β = ;   tg α - tg β =;

сtg α + сtg β = ;  сtg α - сtg β =

Пример 1. Вычислим cos 42° +cos 16°.

Решение. Воспользуемся формулой суммы косинусов тригонометрических функций   cos 42° +cos 16°= 2 cos cos=2 cos 29° cos 13°.

Пример 2. Вычислим sin 32°  sin18°

Решение. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций

sin 32°  sin18° =2 sinсos=2 sin 25° cos 7°;

Пример 3. Докажем  тождество = tg 3α.

Решение: преобразуем левую часть к правой:

===

= tg 3α.

Пример 4. Преобразуем сумму sin α + cos α в произведение.

Решение. sin α + cos α = sin α + sin α =2 sin   =

=2 sin   .

Контрольные вопросы и задания

1.Как преобразовать разность косинусов в произведение?

2.Представьте в виде произведения :а) cos 780 – cos 420;  б)sin + sin;  в)tg +сtg .

3. Докажите тождество:.

4. Преобразовать разность cos(2х+ у) – cos(4х – у) в произведение.

Решите самостоятельно:

 тестовая работа №1:

1.Упростите выражение .

   а) ;         б) 0;        в) ;        г) .

2. Дано , . Найдите .

       а) 0,48;         б) 0,96;        в) -0,48;         г) -0,96.

3. Упростите выражение  .

       а) -1;        б) 0;         в) 1;         г) 2.

4. Дано , . Найдите

       а) ;        б) ;         в) ;         г) .

5. Упростите выражение

6. Вычислите

а)  ;        б) 0;         в) 1;         г) -

7. Найдите значение , если  и

       а) ;        б) -1;         в) 2,5;        г) .

8. Вычислите ; а) -12;        б) 24;         в) 12;         г) 2.

9. Вычислите ;а) -8;        б) 16;         в) -16;         г) 8.

Глава 2. Тригонометрические функции

1.Свойства и график функции y= sin x

В предыдущих пунктах вы познакомились с некоторыми свойствами функции  y = sin 𝛗, аргумент 𝛗, которой может принимать любые значения. Эти свойства удобно использовать при построении графика y= sin x(аргумент функции, как вы знаете, обычно обозначают буквой х).

Построим сначала график функции y= sin x на промежутке от 0 до  (для значений х от 0 до ). Можно получить точки графика функции y= sin x с помощью единичной окружности. Соединив их плавной линией, получим график функции y= sin x на промежутке от 0 до  .Формула sin (π – x) = sin x позволяет, используя симметрию графика относительно прямой  х =   , построить его на промежутке от  до π.

Формула sin (-x) = - sin x позволяет получить график функции y= sin x на промежутке от – π до 0, используя обычный для построения графиков нечетных функций прием -  симметрию относительно начала координат .

Формула sin (2π + x) = sin x показывает, что значения функции y= sin x через каждые 2π повторяются, т.е. для любого значения х,

sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π).

Основные свойства функции y= sin x

1. Аргумент функции может принимать любые значения.
2. Функция принимает любые значения от -1 до 1.
3. Функция y= sin x нечетная, так как для любого значения x,

 sin (- x) = - sin x.График функции y= sin x симметричен относительно начала координат.

4. Функция y= sin х периодическая, ее наименьшим периодом Т= 2π.
5. Функция y= sin х возрастает на промежутках от -  + 2πn до  + 2πn, где n – любое целое число. Функция убывает на промежутках от  + 2πn до  + 2πn, где n – любое целое число.
6. Функция принимает свое наибольшее значение, равное 1, при

х= + 2πn, где n – любое целое число. Функция принимает свое наименьшее значение, равное -1, при х = - = + 2πn, где n – любое целое число.

7. Функция y= sin х принимает значение, равное нулю, при х = πn, где n – любое целое число.

Пример 1. Расположим в порядке возрастания sn 225, sin 310, cos 118.

Решение. Функция y= sin х возрастает на промежутке от -  до , следовательно, большему острому углу соответствует больший синус. Выразим данные в условии выражения через синусы острых углов:

sin 225 = sin (180 + 45) =  - sin 45,  

sin 310 = sin (360 - 50) = -sin 50,

 cos 118 = cos (90 + 28) = - sin 28.

Так, как в первой четверти функция y= sin х возрастает, имеем:

sin 28 < sin 45 < sin 50. Значит, - sin 50 < - sin 45 < - sin 28.

Ответ: sin 310 sin 225cos 118.

Пример 2. Докажем, что число π является периодом функции  y= sin х  cos х.

Решение. Поскольку аргумент х этой функции может принимать любые значения, нужно доказать, что при всех значениях х

sin (x - π) cos (x - π) = sin x cos x = sin (x + π) cos (x + π).

Используя формулы приведения, получаем:

sin (x - π) cos (x - π) = - sin (x - π) cos (x - π) = - sin x  (- cos x) = sin x cos x;

sin (x + π) cos (x + π) = - sin x  (- cos x) = sin x cos x, что и требовалось доказать.

Пример 3..Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = sin x на отрезке.

Решение. Построив график  функции  у = sin x  (см рис1) и выбрав часть его на отрезке   , убеждаемся, что унаиб =   (этого значения функция достигает в точке х=   ),а унаим = -1(  этого значения функция достигает в точке х=   ).

Контрольные вопросы и задания.

1.Изобразите график функции y= sin х и перечислите основные свойства этой функции.

2.Сравните sin 305 и sin 215.

3.По графику функции y= sin х найдите sin (-0,5),  sin 1,5 и sin 2,5.

4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = sin x на отрезке.

2.Свойства и график функции  y= cos х  

Задачу построения графика функции y= cos х  можно свести к построению графика функции y= sin х.

Действительно, поскольку cos х= , график функции y= cos х  можно получить из графика функции y= sin х сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на  (рис. 2).

Полученный график является графиком функции  y= cos х.

Основные свойства функции  y= cos х 

1)Аргумент функции может принимать любые значения.

2)Функция принимает любые значения от -1 до 1.

3)Функция y= cos х четная, т.к. для любого значения х  cos х.

График функции y= cos х симметричен относительно оси ординат.

4)Функция y= cos х периодическая. Ее наименьшим периодом является число .

5) а)Функция возрастает на промежутках от –π +2πn до 2πn, где n- любое целое число. (Например, при n=0 получаем промежуток возрастания от  –π до 0, а при n=1 – промежуток от π до 2π.)

б) Функция убывает на промежутках от 2πn до π +2πn, где n- любое целое число. (Так, при n=0 получаем промежуток от  0 до π, а при n=-1 – промежуток от -2π до -π.)

6)а) Функция принимает свое наибольшее значение, равное 1, при х=2πn, где n- любое целое число.

б) Функция принимает свое наименьшее значение, равное -1, при х= π +2πn, где n- любое целое число.

7) Функция y= cos х принимает значение, равное нулю, при х=  πn, где n- любое целое число.

Пример 1.Сравним значения  и .

Решение. На промежутке от 0 до  функция y= cos х убывает.

Приведем данные выражения к косинусам углов из этого промежутка:

 =  = -;

 =  = -  .

В силу убывания функции y= cos х на промежутке от 0 до  имеем:

 >, отсюда  - < -.

Ответ:  > .

Контрольные вопросы и задания

1. Постройте график функции y= cos х и перечислите ее основные свойства.

2. Сравните значения  и .

3. Найдите по графику функции y= cos х следующие значения:

 ,  и .

3.Свойства и графики функций y=  х и  y= ctg х

Область определения функции y=  х включает в себя все числа, кроме чисел вида   Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y=  х на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен  нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y=  х прижимается к прямой х = , уходя вместе с ней неограниченно вверх.

Мы уже встречались с таким свойством графика функции  (k ≠ 0): при приближении аргумента х к нулю кривая прижимается коси ординат, а при увеличении аргумента – к оси абсцисс. Ось абсцисс называют горизонтальной асимптотой, а ось ординат - вертикальной асимптотой графика функции .

Аналогично, прямая  – вертикальная асимптота графика функции

y=  х.

Основные свойства функции y=  х

1)Аргумент функции может принимать любые значения, кроме  + (  )

2)Функция может принимать любые принимать любые значения.

3)Функция y=  х нечетная, т.к. для любого значения х из области определения = -.

График функции y=  х симметричен относительно начала координат.

4)Функция y=  х периодическая. Ее наименьшим периодом является число.

5)Функция возрастает на интервалах от -  до  (  ). Так, при  получаем промежуток возрастания (- , а

при  промежуток   ( .

6)Функция  y=  х принимает значение, равное нулю, при х =  (  ).

7)График функции y=  х имеет вертикальные асимптоты, уравнения которых имеют вид х =  (  ).

Получить график функции y= ctg х проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, поскольку ctg х = -. При этом сначала, сдвигая график функции y=  х вдоль оси абсцисс на   вправо, получаем график функции  , а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получается график функции y= ctg х (рис. 5).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением .

Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Контрольные вопросы и задания

1.Сформулируйте основные свойства функции y= ctg х. Какие из этих свойств имеет функция y=  х?

2.С помощью каких преобразований графика функции y= f(x) можно получить график функции y= -f(x + 2)?

4. Обратные тригонометрические функции.

Функция на oтрезке [-] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается

 для обратная функция

для  

обратная функция  .

Пример 1.Вычислим некоторые значения обратных тригонометрических функций.

Решение. sin()=, следовательно, arcsin( = ; cos ()= - , поэтому

arccos(-)=;      tg(-)= - 1 значит, arctg(-1)=-,  ctg ()= -, откуда

 arcctg (-=.

Пример 2.Найдем значение arcos (cos ).

Решение. Для любого а из промежутка [0; π] arcos (cos a) = a.

Поскольку 0 ≤  ≤ π, arcos (cos  ) =  .

Пример 3. Вычислить tg(2 arccos(+2

Решение. tg(2 arccos(+2tg(2+π+2=tg 2 π= - . При решении использованы периодичность функции и значения обратных тригонометрических функций.

      Пример 4. Вычислить 2 arcsin(-+ arcctg(-1)+ arccos().

Решение. 2 arcsin(- + arcctg(-1)+ arccos=2+(-)+ + = -+π=

Обратные тригонометрические функции используются при решении тригонометрических уравнений.

Контрольные вопросы и задания

1.Сформулируйте определение обратных тригонометрических функций.

     2. Вычислите 2arcctg (-)+2 arcsin(-1)+ arcsin0.

3.Упростите выражение: а)  где х;б) sin(arctg x).

4. Используя графическую иллюстрацию, определите знак разности:

а) ;                                          б) arccos  – arcos 1;

в) arctg 1-arctg 4;                                                  г) arctg 3-arctg 1,5.

5. Вычислите:

а) arcsin ;                                                              б) arccos;

в) arctg (-1);                                                           г) arctg ;

 д) arcos 0;                                                             е)  arcsin 1;

ж) arctg ;                                                             з) arctg 0.

6. Найдите значение выражения:

а) arccos ;                                                       б) arcsin ;

в) arctg (tg 1);                                                            г) arcctg (ctg1);

д) cos ;                                                      е) sin ;

ж) tg (arctg 1);                                                             з) ctg (arcctg 1).

7. Найдите значение выражения:

а)sin ;      б) cos ;

в) cos (arctg 1 + arcctg1);               г) tg .

Решите самостоятельно:

тестовая работа №2:

1. Расставьте в порядке убывания числа: , , .

а. ;      б. ;       в.;      г.;         д..

2. Расположите числа , ,  в порядке возрастания.

а.  ;    б.  ;        в.  ;           г.  ;         д..

3. Вычислите:

а.  0,2;            б. 0,3;               в. 0,25;               г. 0,35;                д. 0,15.

4. Вычислите: .

а. ;              б.;                 в. ;               г. ;                   д.  .

5. Вычислите: +.

а. 1;                 б.-1;                  в. ;           г. ;                д.  .

6. Вычислите: .

а. ;               б. ;             в.  -1;                 г. 1;                      д.  

7. Вычислите:  

а.  ;                б. ;              в.  ;               г. 1;                    д..

8. Вычислите: .

а. 1,5;               б.0,5;                 в.;               г. ;                   д..

9. Выберите среди данных чисел наибольшее ; ; ;.

  а. ;          б. ;          в. ;            г. ;        д. .

10.Найдите область значений функции у=2 –sin x

11.Найдите область значений функции

12. Найдите значение функции 

а. 3;                   б .;           в . 2 ;             г. 5.               д .-2

14.Найдите значение функции 

а . ;                  б . ;             в . - ;             г .- ;        д. 1

Глава3.Тригонометрические уравнения.

1.Простейшие тригонометрические уравнения.

В предыдущих пунктах вы уже находили угол по назначению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Другими словами, вы уже решали уравнения вида : sin φ= a, cos 𝛗=a, tg 𝛗=a, ctg 𝛗=a.

Эти четыре уравнения принято называть простейшими тригонометрическими уравнениями. В дальнейшем нам будут встречаться  различные тригонометрические уравнения, однако все они в процессе решения будут сводиться к простейшим. Естественно поэтому сначала выяснить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение sin 𝛗 = a

Прямая y=a при -1< a <1 пересекает окружность в двух точках P𝛗  и Pπ-𝛗 (рис.16). Число 𝛗, принад лежащее промежутку , синус которого равен a, называют арксинусом. Обозначают arcsin a, «arc» означает «дуга», а целиком «arcsin a» можно перевести как «угол, синус которого равен а».

Из рисунка 5 видно, что уравнение sin 𝛗 = a при -1< a <1  две серии корней:  Sin 𝛗 = a,

𝛗1 = arcsin a + 2πn,      𝛗2 = π – arcsin a + 2πn

(n – любое целое число).

Выражение для второй серии корней можно несколько упростить, записав:

𝛗2 = -arcsin a +(2n+1)π.

Решение каждого из уравнений sin 𝛗 = 1 и sin 𝛗 = -1, как вы уже  видели, записывается в одной серии корней:

Sin 𝛗 = 1, 𝛗 =  + 2πn (n - любое целое число);

Sin 𝛗 = -1, 𝛗 = -  + 2πn (n – любое целое число)

Уравнение cos 𝛗 = a

В данном случае нам надо рассмотреть прямую, перпендикулярную оси абцисс, которая при -1 < a < 1 пересекает окружность в двух точках  P𝛗 и P-𝛗 (рис. 17). Как и в предыдущем случае, для числа 𝛗 вводят специальное название « арксинус а » - корень уравнения cos x = a , принадлежащий промежутку [ 0; π ] (на рисунке 7 соответствующая дуга единичной окружности выделена); обозначают arcos a (угол, косинус которого равен а). Из рисунка видно, что уравнение cos 𝛗 = а при -1 < a  < 1 имеет две серии корней:

сos 𝛗 = a,

𝛗1 = arcсos a + 2 πn,    

𝛗2 = - arcсos a + 2πn

(n – любое число).

Как и в случае синуса, решение каждого из уравнений cos 𝛗 = 1 и

cos 𝛗 = -1 записывается в виде одной серии корней:

Cos 𝛗 = 1, 𝛗 = 2πn (n – любое целое число);

Cos 𝛗 = -1, 𝛗 = π(2π + 1) (n – любое целое число).

Отметим,что если число а больше 1 или меньше -1, то ни уравнение

 sin 𝛗 = a, ни уравнение cos 𝛗 = a корней не имеют.

Уравнения tg 𝛗 = a и ctg 𝛗 = a

Решения уравнений tg 𝛗 = a и ctg 𝛗 = a проиллюстрируем с помощью линий тангенсов и котангенсов (рис.8).

Ясно,что число а в этих уравнениях может быть любым.

             tg 𝛗 = a                                                             ctg 𝛗 = a

           𝛗 = arctg a + πn                                            𝛗 = arcctg a + πn

(n – любое целое число)

-  < arctg a < , т.е arctg a –                           0 <  arcctg a < π, т.е. arcctg a -

угол промежутка ,                           угол из промежутка (0; π),

тангенс которого равен а,                               котангенс которого равен а,

tg (arctg a) = a                                                 ctg (arcctg a) = a

Пример 1. Найдем корни уравнения 2sin x +3 = 0,принадлежащие промежутку [0 ; 2π].

Решение. Заменим данное уравнение простейшим уравнением  sin = - . Его корни:  x1= arcsin  + 2πn,   x2= π – arcsin   + 2πn (n – целое число). Из рисунка 9 видно, что arcsin (- a) = - arcsin a. С учетом этого можно записать:  arcsin  = - arcsin  = - .

Продолжая решение нашего уравнения, получим:

х1= -   + 2πn;  X2= π +  + 2πn.

Будем подставлять в эти две серии решений целые значения n и определять, принадлежат ли получаемые при этом решения промежутку [0; 2π].При n=1 имеем  х1  =  -  + 2πn = .

                                                                                                 х

Другие решения этой серии выходят за границы промежутка, поскольку отстоят от x1 не меньше чем на 2π, а границы промежутка отличаются от

 x1 меньше чем на 2π.

Аналогично получаем единственное решение второй серии, входящее в указанный промежуток: при n=0  х2  = π +  =  .   Ответ : ;.

Примечание. Получив простейшее уравнение х = , можно было изобразить его решения на единичной окружности (рис. 10) и сразу записать ответ.

Пример 2.Решим уравнение tg2 x – tg x – 6 = 0.

Решение. Обозначим tg x буквой y, тогда данное уравнение примет вид

7y2 – y – 6 = 0.

Его корни: y1 = 1, y2 = -  . Возвращаясь к переменной х, получим:

1)tg x = 1, x =  + πn (n – любое целое число );

2)tg x = - , x = arctg (- ) + πn (n – любое целое число).

Заметим, что arctg (- ) = - arctg  (рис. 11). Поэтому вторую серию решений можно записать так:  х= πn - arctg  (n – любое целое число).

Ответ:  + πn, πn - arctg  (n – любое целое число).

Выпишем решения для простейших случаев. Начнем с формул для .

Пусть           Тогда         n    Z.

Пусть             Тогда        n    Z.

Пусть            Тогда             n    Z.

Теперь  формулы  для  тех  же  значений  

Пусть            Тогда          n    Z.

Пусть               Тогда               n    Z.

 Пусть              Тогда              n    Z.

Теперь формулы для

Пусть    и управление     тогда         n    Z,

Пусть    и уравнение , тогда           n    Z,

Пусть , тогда        n    Z,  

 Пусть ,       а  набор      n    Z.

Контрольные вопросы и задания.

1.Сформулируйте определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

2.Вычислите: ( arcsin  + 2 arccos ) arctg  .

3.Найдите корни уравнений, принадлежащие отрезку [0; 2π]:

а) sin x – 0,5 = 0; б)tg x – 1 = 0

Простейшие тригонометрические уравнения

2.Методы решения тригонометрических уравнений.

     В предыдущих пунктах вы уже встречались с тригонометрическими уравнениями. В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул делает этот выбор иногда довольно трудным.

     Рассмотрим несколько основных типов тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

относительно синуса или косинуса

Пример 1. Решим уравнение 2 cos2 x + 3 sin x=0.

Решение. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sin x:

2 cos2 x + 3sin x = 0,                2(1 – sin2x) + 3sin x = 0,

2 – 2sin2x + 3sin x = 0,             2 sin2x – 3sin x – 2 = 0.

 Введем новую переменную  t= sin x, тогда наше уравнение примет вид:

2t2 – 3t – 2 = 0. Корни этого уравнения t1 = 2, t2 =  0,5 .

Возвращаемся к переменной x и получаем простейшие уравнения:

1. sin x = 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x < 2 при любом значении x;
2. sin x =  0,5, x1 =  + 2, x2 =  + 2 (n – любое целое число)

Ответ:  + 2,  + 2 (n – любое целое число).

Примечание. Решения уравнения sin x = a при 1 < a < 1 состоят из двух серий корней: x1 = arcsin a + 2 и х2 =  arcsin a + . Эти два равенства часто объединяют в одну формулу:

 (n – любое число)

+ 2 (n – любое число).

С учетом сказанного ответ к рассмотренному уравнению можно записать так:

   (n – целое число)

Пример 2. Решим  уравнение    5+

Решение. Применив формулу    

Приведем тригонометрические функции, помещенные в уравнение, к одному аргументу     и в результате получим, что    

Откуда            

И далее          

Таким образом, мы привели исходное уравнение к квадратному уравнению относительно . Положим      

Прежде чем вносить соответствующие изменения в рассматриваемое уравнение, отметим, что новая переменная  в отличие от старой переменной  не может принимать любые значения. Более точно – переменная  подчиняется условию     С учетом предложенной замены, уравнение оказывается совсем простым     Его корни       и    

Условию       подчиняется лишь первое из найденных значений  .  Поэтому,   переходя к исходной неизвестной , мы получаем только одно соотношение, а именно         

Отсюда            где     n  Z.

Ответ:        где     n    Z.

днородные тригонометрические уравнения

Пример 3. Решим уравнение

2 sin2 x – 3sinx cosx – 5cos2 x = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1. cos x = 0 и 2) cos x  0

1)Если cos x = 0, то наше уравнение принимает вид 2 sin2x = 0, откуда

 sin x = 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cos x = 0, так как ни при каком х косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

2)Если cos x , то мы можем разделить наше уравнение на cos2x:

2 tg2x – 5 = 0.  Вводя новую переменную y, получаем квадратное уравнение 2y2 – 3y – 5 = 0, где y = tg x.  Корни этого уравнения y1 = , y2 = 2,5. Возвращаемся к переменной х: tg x =, x =  +  (; tg x = 2,5,  

x = .

Ответ:

Обозначив в исходном уравнении sin x буквой u, а cos x буковой v, получим уравнение вида au2 + buv +cv2 = 0. Левая часть этого уравнения – многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая – нуль. Такие уравнения называют однородными уравнениями второй степени. Делением на v2 такое уравнение сводиться к квадратному относительно .

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Данное уравнение можно свести к однородному тригонометрическому уравнению второй степени. Представим с помощью основного тригонометрического тождества число 3 как 3 sin2 x + 3 cos2 x:

5 sin2 x – 3 sin x cos x – 2cos2 x – 3 sin2 x – cos2 x = 0.

Приведя подобные члены, получим уравнение:

 2 sin2 x – 3 sin x cos x – 5 cos2 x = 0 из примера 2.

Пример 5. Решим уравнение   3 sin 2x + 7 cos 2x +3 = 0.

Решение. Это уравнение тоже можно свести к однородному. Применяя формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

6 sin x cos x +7 (cos2 x – sin2 x) + 3 (cos2 x + sin2 x) = 0,

6 sin x cos x +10 cos2 x – 4 sin2 x = 0,

2 sin2 x + 3 sin x cos x – 5 cos2 x = 0.

Мы снова пришли у однородному уравнению второй степени, рассмотренному в примере 2.

Примечание. В этом примере сами аргументы синуса и косинуса наталкивали на мысль о применении формул двойного угла. Но точно так же можно решить и уравнение   3 sin x +7 cos x + 3 = 0, если и здесь отнестись к х как к двойному углу: .

В рассмотренных примерах мы имели дело с тригонометрическими функциями одного аргумента. Если же аргументы разные, то уравнения стараются привести к одному аргументу, или свести его к виду:

.

Пример 6. Решим уравнение sin4 x – cos4 x = sin 2x.

 Решение. Применим в левой части уравнения формулу разности квадратов:

sin4 x – cos4 x = sin 2x.

.

Отметим на единичной окружности углы, синус и косинус которых противоположны (рис.12)

Имеем:

Ответ:  

Примечание 1. Можно было, конечно,

отнестись к уравнению – сos 2x = sin 2x как к однородному уравнению первой степени и рассмотреть два случая:

1. если cos 2x = 0, то sin 2x = 0. Эти два равенства не могут быть верными одновременно;

1. если cos 2x .      

    y

--1

Примечание 2. Запишем уравнение – cos 2x = sin 2x в виде sin 2x +cos 2x = 0 и преобразуем его левую часть, вводя вспомогательный угол. Для этого умножим обе части уравнения   на  и воспользуемся тем, что

 :  Получим:

     Прием введения вспомогательного угла всегда позволяет заменить синусом или косинусом выражение a sin x + b cos x. Для  этого надо добиться, чтобы коэффициенты косинуса и синуса являлись соответственно косинусом или синусом некоторого угла, т.е. чтобы сумма их квадратов оказалась равной 1:

где

Введение вспомогательного угла особенно удобно, когда вспомогательный угол «хороший», т.е. равен

Пример 6. Решим уравнение

Решение. Перенесем все члены в левую часть и преобразуем ее:

Наше уравнение приобрело вид:  Поскольку левая часть уравнения имеет смысл при всех значениях х, получаем два случая:

cos x = 0 или sin x – 1 = 0, sin x = 1;  

Поскольку вторая серия полностью содержится  в первой, ее ответ не указываем.    

Контрольные вопросы и задания

1. Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

2. Решите уравнение:

а) ;                                                  б)

в) ;                                          г)

3. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку :

а)sin x =0;                                                                            б)cos x – 1=0;

в) 3 tg x +  = 0;                                                               г)

д) 2 sin                                                     е) ctg (x-

ж) 6                                        з) 4

Решите самостоятельно:

тестовая работа №3:

1.Решите уравнение  tg 2x = -1

а)   ;   б) ;   в) ;      г)

2.Решите уравнение

а) ;  б ) ;в);  г)3.Решите уравнение

а)   ; б) ;  в) ; г)

4. Решите уравнение .

а) ;       б );

в)  π +6πn,nZ;               г) 2πn,nZ;   

      5. Решите уравнение 2sin2 x – 7sin 2x = 16cos2 x

      а)  ;                б)  π + πn;  –arctg 8 + πk

     в)  π + πn; –arctg  + πk;     г) – π + πn; arctg 8 + πk

6. Найдите все решения уравнения .

а) πk, kZ;      б) ;   в) ;    г) .

 7. Найдите все решения уравнения   .

а) ;    б) ; в) πk, kZ ;     г)

Ответы, указания и решения.

Глава1.  1. 3) 1250-2250= ;  4)0,2=360 ;2=114,60;  5)15(град/ч).Решение. Вокруг своей оси Земля поворачивается примерно за 24 часа. 360:24=15.

2.3)tg; 4)    Решение.=5,5, угол в 4 четверти, значит .

3. 4)а);  в);   4. 2)4)-2; Решение tg ==-2

6.2)а)18;  б); в)0.

Глава 2.

4.4) в) отрицательна;  5). б);  6. а)  ; в)1;   7.в) 0;

Глава 3.

3. 3)в) г); ж) х1 = ; x2 = arccos(-) +;

 Решение , ,решая квадратное уравнение получим:

 t = значит  arccos(-) +;

cos x =    x=. З) х=, х= arcsin

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие. Просвещение 2010.

2. А.Г. Мордкович и др.Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.1.Учебник. 2011.

3.  А.Г. Мордкович и др.Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.2.Задачник.2011.

4. Г.К. Муравин, О.В.Тараканова. Элементы тригонометрии. Пособие.  М;Дрова,2010