Задачи ,решаемые методом" с конца"
олимпиадные задания по математике (5 класс)

Олимпиадные задачи, решаемые методом с конца.

1. Задача о яблоках

Мама дала детям корзину яблок. Первый ребёнок взял половину яблок и ещё одно, второй — половину оставшихся и ещё два, третий — половину нового остатка и ещё три. В корзине осталось два яблока. Сколько яблок было изначально?

Решение (с конца):

• После 3-го ребёнка осталось 2 яблока.
• До этого было: (2+3) ×2=10
• До 2-го ребёнка: (10+2)×2=24.
• Изначально: (24+1) ×2=50

Ответ: 50 яблок.

2. Задача о днях работы

Бригада рабочих должна была построить дом за 10 дней. Каждый день они выполняли половину оставшейся работы и ещё 1 день работы. За сколько дней дом был построен?

Решение (с конца):

• В последний день осталось 1 день работы.
• За день до этого: (1+1) ×2=4
• Ещё раньше: (4+1) ×2=10

Ответ: Дом построен за 3 дня.

3. Задача о монетах

У трёх друзей были монеты. Первый отдал половину своих монет и ещё одну, второй — половину остатка и ещё две, третий — половину нового остатка и ещё три. В итоге у них осталось 6 монет. Сколько монет было у каждого изначально?

Решение (с конца):

• После 3-го друга осталось 6 монет.
• До этого: (6+3) ×2=18
• До 2-го друга: (18+2) ×2=40
• Изначально: (40+1) ×2=82

Ответ: 82 монеты.

4. Задача о страницах книги

Катя прочитала книгу за 3 дня. В первый день — половину и ещё 10 страниц, во второй — половину остатка и ещё 15, в третий — последние 20 страниц. Сколько страниц в книге?

Решение (с конца):

• В 3-й день осталось 20 страниц.
• После 2-го дня: (20+15) ×2=70
• Изначально: (70+10) ×2=160

Ответ: 160 страниц.

5. Задача о конфетах

В вазе лежали конфеты. Маша съела половину и ещё 3, Петя — половину остатка и ещё 4, а Ваня — последние 5 конфет. Сколько конфет было в вазе?

Решение (с конца):

• После Пети осталось 5 конфет.
• До Пети: (5+4) ×2=18
• Изначально: (18+3) ×2=42

Ответ: 42 конфеты.

6. Задача о шагах

Робот делает шаги: сначала 10 шагов вперёд, потом половину оставшегося расстояния и ещё 5 шагов, затем снова половину остатка и ещё 2 шага. После этого он дошёл до цели. Какое расстояние он прошёл?

Решение (с конца):

• После последнего шага осталось 0.
• До этого: (0+2)×2=4
• Ещё раньше: (4+5)×2=18.
• Изначально: 18+10=28.

Ответ: 28 шагов.

7. Задача о воде в баке

В баке была вода. Сначала отлили половину и ещё 2 литра, потом половину остатка и ещё 3 литра. Осталось 4 литра. Сколько воды было в баке?

Решение (с конца):

• После второго отлива осталось 4 л.
• До этого: (4+3) ×2=14.
• Изначально: (14+2) ×2=32.

Ответ: 32 литра.

8. Задача о деньгах в кошельке

У Васи в кошельке были деньги. Он потратил половину и ещё 100 рублей, потом половину остатка и ещё 50 рублей. У него осталось 20 рублей. Сколько денег было изначально?

Решение (с конца):

• После второй траты осталось 20 руб.
• До этого: (20+50)×2=140.
• Изначально: (140+100)×2=480.

Ответ: 480 рублей.

9. Задача о фонариках

В коробке лежали фонарики. Взяли половину и ещё 2, потом половину остатка и ещё 3. Осталось 4 фонарика. Сколько их было?

Решение (с конца):

• После второго взятия осталось 4.
• До этого: (4+3)×2=14.
• Изначально: (14+2)×2=32.

Ответ: 32 фонарика.

10. Задача о письмах

Почтальон разносил письма. В первый дом он отнёс половину писем и ещё 1, во второй — половину остатка и ещё 2, в третий — последние 3 письма. Сколько писем было у почтальона?

Решение (с конца):

• После второго дома осталось 3 письма.
• До этого: (3+2) ×2=10.
• Изначально: (10+1) ×2=22.

Ответ: 22 письма.