ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Конференция Исторические задачи (2 урока)

Цели:

• закрепить умения решать задачи составлением уравнений;

• прививать интерес к истории алгебры;

• развивать культуру устной и письменной математической речи, умение выступать перед аудиторией с подготовленным сочинением;

 приучать работе со справочной, дополнительной литерату рой.

Оформление доски: исторические задачи на составление урав нения.

План конференции

1. Исторический экскурс и теория решения уравнений.

2. Язык алгебры - уравнение. Перевод задачи «с родного языка на язык алгебры».

3. Решение исторических задач на составление уравнения.

4. Заключение. Знакомство с литературой, рефератами.

Ход урока-конференции

Учитель. Алгебра - один из важнейших разделов ма тематики, который помогает решать сложные задачи, встречающиеся в науке, технике и практической жизни.

В истории арифметики и алгебры           

большое значение имеют труды Мухаммеда ал-Хорезми. Написанный им в начале IX в. алгебраический трактат «Китаб ал-джабр ва-л-мукабала» явился  первым в мире самостоятельным сочинением по алгебре. Для ал-Хорезми алгебра - это искусство решения уравнений, необходимое людям, как писал он, «в случаях наследования, наследованных пошлин, разде ла имущества, торговли и во всех их деловых взаимоотно шениях или же в случае измерения земель, проведения каналов, геометрических вычислений и других предме тов различного рода».

Много уравнений умел решать греческий математик Диофант, который даже применял буквы для обозначения неизвестных. Но по-настоящему метод решения уравнений был сформулирован арабскими учеными. Они, по-видимому, знали, как решали задачи в Вавилоне и Индии, улучшили эти способы решения и привели их в систему.

Первым книгу о решении уравнений написал на араб ском языке уже знакомый нам Мухаммед бен Муса ал-Хорезми. Название у нее было очень странное - «Краткая книга об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». В этом названии впервые прозвучало хорошо известное нам слово «алгебра». Что же означают слова «ал-джабра» и «ал-мукабала»? Ответ на этот вопрос дадут ваши архивариу сы (архивариус - хранитель архивных документов).

Первый архивариус. Вот как писал в стихах один пер сидский математик:

Ал-джабра (записано на доске, показывает).

При решении уравнения

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим

- И найдем результат нам желательный.

Второй архивариус.

•Ал-мукабала (записано на доске, показывает).

Дальше смотрим на уравнение,
Можно ль сделать приведенье.
Если члены в нем подобны,
Сопоставить их удобно.
Вычтя равный член из них,
К одному приводим их.

Первый архивариус. Таким образом, «ал-джабра» на зывалась операция переноса отрицательных членов из од ной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Дело в том, что в те времена отрицательные числа считались абсурдными, фиктивными; перенесение же их с противо положным знаком в другую часть уравнения и превраще ние их таким образом в положительные числа как бы вос станавливало их, превращало в настоящие числа.

Второй архивариус. Слово «ал-мукабала» означало приведение подобных членов. В отличие от слова «ал-джаб ра», которое в форме «алгебра» стало одним из самых упот ребительных в математике, про «ал-мукабалу» помнят только историки науки.

Первый архивариус. Итак, когда при решении урав нения

6х - 13 = 2х - 5 (записано на доске) мы заменяем его уравнением

6х + 5 = 2х + 13 (пишет), то делаем операцию «ал-джабра».

Второй архивариус. Когда после этого мы заменяем члены 6х и 2х на 4х в левой части, а 13 и 5 на 8 - в правой части (пишет 4х = 8) и получаем уравнение 4х = 8, то делаем «ал-мукабалу». Операция последующе го деления обеих частей уравнения на 4 специального на звания не получила.

Учитель. Спасибо архивариусам за экскурс в историю математики. Чтобы приготовить эти сообщения, им при шлось перелистать страницы книг Г.И. Глейзера «Исто рия математики в школе (4-6 кл.)» и И.Я. Депмана, Н.Я. Виленкина «За страницами учебника алгебры».

Решение исторических задач на составление уравнения. Язык алгебры- И или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебры «Всеобщая арифметика».

Как именно выполняется такой перевод, Ньютон показал на примерах. Вот один из них (кодопозитив):

Чтобы определить первоначальный капитал купца, ос тается решить последнее уравнение:
64* -14 800

        27         =2Х

(Один ученик решает на доске, остальные решают в сво их тетрадях.)

Имеем: 64х - 14 800 = 54х,

64х - 54х = 14 800,
10х = 14 800,

х = 1480.
Итак, купец первоначально имел 1480 фунтов.

Учитель. Решение уравнений - зачастую дело нетруд ное, составление уравнения по данным задачи чаще вы зывает затруднения. Вы видели сейчас, что искусство со ставлять уравнения действительно сводится к умению пе реводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен, поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот речи. «Пере воды» имеют различную трудность.

Практически не сохранилось фактов биографии заме чательного древнего александрийского математика Дио фанта, жившего в III в. Все, что известно о нем, почерп нуто из надписи на его надгробии, составленной в форме математической задачи. Вот эта надпись (с переводом на язык алгебры):

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Дио фант.

Предложите учащимся самостоятельно решить полу ченное уравнение, один ученик работает на переносной доске, или на пленке; правильность решения проверяем с помощью кодоскопа. Имеем:

х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4

умножим обе части уравнения на 84, получаем:
84х = 14х+ 7х + 12х + 420 + 42х + 336,
84х = 75х + 756,
84х - 75х = 756,
9х = 756,
х=756/9

х = 84.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

Учитель. Учебные задачи, которые мы решаем сегод ня с помощью уравнения, были хорошо известны еще в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте, в Древнем Китае, в Древней Индии и Древней Греции. Решим несколько старинных задач (сообщения учеников).

1. Задача Бхаскары.
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве - третью долю этого множества, Вишпу - пятую, Солнцу - шестую, чет вертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цвет ков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

Ответ. Всего было 120 цветков лотоса.

2.Задача Сриддхары

Есть кадамба цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.
Разность ты их найди.
Ее трижды сложи
И тех пчелок на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед, и везде

Ароматом цветов наслаждаясь.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.

Ответ. Всего собралось 15 пчел.

3. (Из арифметики Магницкого.) Некий человек на нял работника на год, обещал ему дати 12 рублей и каф-тан. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и про сил достойные платы с кафтаном; он же дади ему по дос тоинству расчет, 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был.

Решение. Пусть х рублей стоил кафтан, тогда имеем

Ответ. Кафтан стоил 4 рубля 80 копеек.

4. В рассказе «Репетитор» великий русский писатель Антон Павлович Чехов приводит следующую задачу: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб лей. Спрашивается, сколько аршин он купил того и дру гого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля?

Решение. Пусть было х аршин синего сукна, тогда чер ного сукна 138 - х (аршин). Получаем:

Если х = 63, то 138 - х =138 - 63 = 75 Ответ. Купец купил 63 аршина синего сукна, а чер ного - 75 аршин.

5. (Старинная русская задача) Вопросил некто некое го учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как я хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

Пусть у учителя было х учеников. Тогда получаем:

Умножим обе части уравнения на 4:

4х + 4х + 2х + х + 4 = 400,   11х = 396,  х = 36.

Ответ. У учителя было 36 учеников.

Учитель. Конференция закончилась. И если у вас по явилось желание попробовать свои силы в решении ста ринных задач на составление уравнений, то возьмите в библиотеке следующие книги:

Депман ИЛ., Виленкин НЛ. «За страницами учебника ал гебры».

Игнатьев ЕМ. «В царстве смекалки»;

Кордемский Б А. «Математическая смекалка»;

Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»;

Комментарии к задачам, предложенным учениками

1.  Перевод с родного языка на язык алгебры разобран подробно, а решение уравнения пояснялось по готовым записям на доске, и учащиеся записывали решение урав нения кратко.

2.  Ученик сразу записал составленное им уравнение и по тексту задачи показал, что означает каждый из членов левой и правой частей уравнения. Решение уравнения по яснено подробно с записью его в тетради каждого учаще гося.

3.  Дано подробное обоснование к составлению уравне ния с записью учащимися в тетрадь. Уравнение решено на основании свойства пропорции, поэтому его решение не потребовало много времени.

4.  Дано подробное обоснование к составлению уравне ния, учащиеся записали его в свои тетради, затем записа ли уравнение и его корень. Дали ответ к задаче, т. к. урав нение простое и решение его не вызывает затруднения.

5. Показан выбор неизвестного и сразу по тексту зада чи сделан перевод с родного языка на язык алгебры — со ставлено уравнение. Его решение записано кратко, так как особых трудностей нет.

Таким образом, на уроке больше внимания было уде лено обоснованию составления уравнения к задаче.