Полный вариант ЕГЭ (профиль)
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Вариант П1

1.   Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен

2.  Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке Найдите длину разности векторов  и

3.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

4.  Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая  — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая  — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

6.  Решите уравнение

7.  Найдите значение выражения при

8.   На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

9.  Водолазный колокол, содержащий υ = 2 моля воздуха при давлении p1 = 1,75 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением где   — постоянная, T  =  300 K  — температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 15 960 Дж.

10.  Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 11 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если она больше 35 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14.  В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна Точка M  — середина ребра AA1.

а)  Докажите, что пирамиды и равновелики.

б)  Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

15.  Решите неравенство

16.  В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 100 тыс. руб.;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

17.  На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C1 и B1 соответственно. Оказалось, что BC1  =  CB1  =  BC.

а)  Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB1 и CC1 лежат на одной окружности.

б)  Найдите косинус угла между прямыми BB1 и CC1, если BC  =  8, AB  =  15, AC  =  17.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19.  Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.

а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение если ?