Урок математики: "Логарифм. Свойства логарифмов"
методическая разработка по математике (10 класс)

КАЛИНОВСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

«ДЖАНКОЙСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

открытого урока

по ОУП. 05 МАТЕМАТИКА

Тема «Логарифм. Свойства логарифмов»

Разработчик:

Ибрагимова Анифе Ришатовна,

преподаватель математики

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО

предметной (цикловой) комиссией

естественно-математических и

электротехнических дисциплин

Протокол № __ от «__» ______ 20__ г.

Председатель ПЦК ___________

с. Калиновка,

2025 г.

Тема урока: «Логарифм. Свойства логарифмов»

Методическая цель урока заключается в комплексном подходе к изучению материала, который включает не только усвоение теоретических знаний, но и развитие практических навыков, мыслительных способностей обучающихся, а также формирование ключевых компетенций.

Цели урока:

образовательные

- повторить знания, полученные на предыдущих занятиях по теме «Логарифм числа»;

- повторить свойства логарифмов и   установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным

развивающие

 - развивать умственные силы и познавательные способности обучающихся;

развитие умений применять знания в конкретной ситуации;

- развивать потребность в образовании, самообразовании, постоянном пополнении своих знаний, расширении общего кругозора;

- развитие логического мышления, развитие монологической речи,

- развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;

- развитие самостоятельной деятельности обучающихся.

воспитательные

- воспитывать стремление к достижению цели, умение доводить дело до конца;

- воспитывать дисциплинированность, организованность, общественную активность.

Задачи

- закрепить умение применять логарифмы для решения различных задач.

- научить защищать выполненную работу.

- научить работать в группе.

Тип урока: комбинированный

Вид урока: пресс-конференция

Методы:

обучения – проблемного изложения, частично-поисковый, игровой

преподавания – иллюстративный, эвристическая беседа

учения – активный и интерактивный

воспитания – наглядный, коллективный

Хронокарта урока:

1. Организационный момент. (2 мин)

 2.Активная беседа с журналистами.

 Актуализация прежних знаний (10мин)

 Применение знаний и умений (26 мин)

3.Заключительная беседа преподавателя (3 мин)

 4.Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения).(2мин)

Резерв урока (2мин)

Используемые педагогические технологии:

Инновационные: мультимедийная презентация, соревнование, проблемное обучение.

традиционные: беседа, опрос.

Межпредметные связи: математика, физика, электротехника

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран, презентация, раздаточный материал.

Планируемые результаты

предметные: умение применять свойства логарифмов для преобразований и вычислений;

метапредметные: развитие регулятивных (самоконтроль, планирование), познавательных (анализ, синтез) и коммуникативных (работа в команде) УУД;

личностные: осознание ценности математических знаний, мотивация к самообразованию.

Ресурсы

Учебник и раздаточный материал различного уровня сложности.

Оценочный лист образовательных результатов урока (индивидуальной работы и команды), подготовленный заранее преподавателем.

Технические средства: компьютер с мультимедийным проектором, презентация «Логарифм. Свойства логарифмов».

Электронные образовательные ресурсы — например, ЭОР, которые можно использовать для математического диктанта и онлайн-теста. (ЯКласс)

Ход урока

«Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была, которая

когда-нибудь не окажется применимой

к явлениям действительного мира».

Н.И. Лобачевский

Организационный момент

Преподаватель. Сегодня вы – сотрудники научно-исследовательского института, участники пресс-конференции. У нас присутствуют журналисты различных изданий, желающие получить ответы на интересующие их вопросы. Для начала давайте познакомим гостей с проблемой, над какой мы работаем. Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является логарифм. Логарифм применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Он позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Цель нашего урока – сформировать у обучающихся систему знаний о логарифмах и их свойствах, развить навыки применения свойств при решении задач и отработать коммуникативные умения в формате публичного диалога.

Активная беседа с журналистами

1-ый журналист научно-теоретического журнала "Математика в школе"

По просьбе читателей в рубрике " Научно-популярный отдел" мы должны дать математическое значение слова "логарифм." Помогите нам в этом вопросе.

Обучающиеся отвечают:

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. (log ab=x; ax=b)

Основание a больше нуля и не равно единице. Если a = 1, то любое число в степени 1 всегда равно 1, и логарифм теряет смысл.

Число b больше нуля. Логарифм определён только для положительных чисел, так как отрицательные числа и ноль не могут быть результатом возведения положительного числа в степень.

Преподаватель. И послушайте стихотворение

Логарифм — не просто знак и цифра,
Он раскрывает тайн структуру.
В степенях ищет он ответы,
Где число таит секреты.

Если aх=b — вот задача,
Логарифм найдёт нам x без страха.
log аb=x — и в тот же миг
Решение перед нами возникло!

Журналист научно-теоретического журнала "Математика в школе"

Хорошо, мы узнали понятие логарифма, и ещѐ хотелось бы узнать когда появилось это понятие, и кто из учѐных открыл это понятие.

Выступления обучающихся

«Исторические сведения»

Логарифмы возникли как инструмент упрощения сложных вычислений, особенно в астрономии и навигации, и прошли долгий путь развития от античных идей до современных теорий. Их история тесно связана с потребностями науки и техники.

Предпосылки и ранние идеи

Идея замены умножения сложением зародилась ещё в античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней. В VIII веке индийский математик Вирасена опубликовал таблицу целочисленных показателей для оснований 2, 3, 4, что стало основой для будущих исследований. 

В середине XV века Михаэль Штифель в книге «Arithmetica integra» (1544) впервые опубликовал примеры расчётов, где умножение многозначных чисел заменялось сложением с помощью сопоставления геометрической и арифметической прогрессий. Он сделал важный шаг, перейдя от целых показателей степени к произвольным рациональным числам, но не развил идею дальше

Джон Непер и первые таблицы

Шотландский математик Джон Непер считается «отцом логарифмов». В 1614 году он опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов», где изложил идею логарифма как показателя степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Термин «логарифм» (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число») предложил сам Непер. 

Непер составил 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов с шагом 1', что значительно упростило астрономические расчёты. Однако его таблицы содержали вычислительные ошибки после шестого знака. 

Параллельные исследования

Одновременно с Непером изучением логарифмов занимался швейцарский учёный Иост Бюрги. В 1620 году он опубликовал труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий», но его работа осталась менее известной. 

Английский математик Генри Бригс развил идеи Непера и в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000 с 14 знаками. Позднее он расширил их до чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до

 100 000

Логарифмическая линейка

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели логарифмическую линейку — незаменимый инструмент для инженеров и астрономов до появления калькуляторов. Она позволяла быстро выполнять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней с точностью до трёх значащих цифр.

Развитие теории

Близкое к современному понимание логарифмирования как операции, обратной возведению в степень, впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694). Леонард Эйлер окончательно узаконил это определение, дал современные формулировки показательной и логарифмической функций, ввёл термины «основание логарифма» и «мантисса». Он также распространил логарифмическую функцию на комплексную область. 

В XIX веке исследования комплексного логарифма стимулировали новые открытия. Гаусс разработал теорию многозначности логарифмической функции, а Риман построил общую теорию римановых поверхностей.

Применение и влияние

Логарифмы революционизировали астрономию и навигацию. Французский математик П. С. Лаплас писал: «Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». 

Логарифмические таблицы и линейки использовались в течение трёх веков до появления калькуляторов. В России первые таблицы были изданы в 1703 году при участии Леонтия Магницкого. 

Логарифмы нашли применение в различных областях: от описания природных явлений (логарифмическая спираль в биологии и технике) до экономики и музыки. Например, номера клавиш рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. 

Современные аспекты

Хотя вычислительные технологии значительно изменились, логарифмы остаются важным инструментом в науке и технике. Они используются для описания экспоненциальных процессов, расчёта сложных процентов, анализа данных и многих других задач.

Преподаватель 

Таким образом, история логарифмов — это история поиска эффективных методов вычислений, которая привела к глубоким математическим открытиям и широкому практическому применению.

Преподаватель

В логарифмах — тихая гармония,

В них стройность формул, чёткость линий.

Они, как ноты в музыкальной гамме,

Слагают мир из точных величин.

И если вникнуть, не спеша,

В их строгий, ясный, чистый взгляд,

То вдруг увидишь: математика —

Не скука, а волшебный клад.

2-ой журналист журнала "Квант"

Вы изучаете логарифмы. У нас проблемный вопрос: «Как с достаточной степенью точности решить уравнение вида aх=b?» Мы хотели бы узнать, как вы умеете вычислять логарифмы.

Преподаватель объясняет задание.

Вычислите логарифмы и сверху запишите ответ.

                   (3,5 балла)

1.log 216=                                      

2. log 77 =      

3. 4log46 =

4. log 327=

5. log 21 =

6. log 232=

7. log 2(1/32)=

8. log636=

Теперь, сопоставьте свой ответ с буквой и составьте слово.

Итак, получилось слово «ТЕХНИКУМ".
3-ий журналист «Новости Крыма»

Что вы можете рассказать о техникуме?

Выступление обучающегося

Техникум - не только здание, это большая история, большая судьба, сложенная из маленьких судеб преподавателей и обучающихся. 2024 год для нас юбилейный год-  нашему техникуму исполнилось 80 лет!

Преподаватель

И сегодня на уроке мы проследим основные этапы жизни нашего техникума, систематизируя и повторяя изученный материал

4-ий Что вы можете рассказать о свойствах логарифма?

Преподаватель

Фронтальный опрос  

 Вставить пропущенные слова: ( 2 балла)

1.Логарифмом числа b по:::::::::. а называется :::::.. степени, в которую нужно:::::. основание а, чтобы получить число b.

(основанию, показатель, возвести)

2.Основание и число, стоящее под знаком логарифма, должны быть::::.

(положительными, равными, отрицательными, неотрицательными)

3. Формулу 𝑎 log ab, где a≠1, a>0, b>0 называют …

(формула перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество)

4.Если основание а =... , то такой логарифм называется натуральным  и обозначается ……

( е,    10,   любое число,  lg  ,ln  )

Вам предлагается задание, в котором, для каждой формулы вы должны найти ответ, соединив их стрелкой.   (2 балла)

Систематизация умений решать задания стандартного уровня
Вычислите устно и узнаете в каком году был основан наш техникум

 (1 балл)

                      1.log99 =

                      2.

                      3. log 216=

                      4. log381=

                  Ответ: 1944

1 9 4 4  – знаменательные цифры для нашего техникума. Чем знаменательны эти цифры?
Выступление обучающегося

Джанкойский профессиональный техникум — один из старейших учебных заведений г. Джанкоя. Основан он в 1944 г. За 80 лет техникум подготовил свыше 10 тыс. джанкойцев и жителей других регионов страны. Здесь рождается любовь к рабочей профессии. Мы знаем выпускников, которые побеждали в Международных конкурсах мастерства, открывали успешные предприятия, работали и работают руководителями, передают свой опыт, знания будущим мастерам

Преподаватель объясняет задание.

Перед вами 9 решенных примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.                 (4,5 балла)
1) log216 + log2 2 =log2 32 = 6

2)log3 45 - log 315 =log3 3=1

3) log 7 28 - log 7  4 = log 7 24      

4) 2log 5 6  = log 5 12

5) log 7 28 - log 7  7 = log 7 21

01) log315 + log33 = log345

02) 3log24 = log2 64=5

03)

  6) log553 = 3

Выступление обучающегося

Получаем, верные примеры с номерами 2,01,6

2016- важный год  для техникума.

 После объединения с Государственным бюджетным профессиональным образовательным учреждением Республики Крым «Калиновский техникум механизации, сельского хозяйства и сферы обслуживания» в 2016 году учебное заведение переименовали в Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым «Джанкойский профессиональный техникум».

5-ий журналист журнала «Потенциал. Математика. Физика. Информатика»

Что вы можете рассказать нам интересное о логарифмах?

Преподаватель

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы также вычисляют с помощью микрокалькулятора. И в том и другом случае находят только десятичные или натуральные логарифмы. Чтобы найти логарифмы чисел по любому основанию используют формулу перехода к новому основанию.

Вычислить с помощью калькулятора.  (1 балл)

1).lg 34=  

2).ln 0,25=                  

3).lg 1,3=  

4).ln  5=                                                                            

5).log 212,8=…  (перейти к основанию 10

6).  log 40,64    =  (перейти к основанию е)

Выполнить задания. Запишите ответы. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово.

Вычислить, используя свойства логарифмов   (4,5 балла)

2)       lg 1000000=

4)      log 5625=

6) log5625+ log66=

7)     log 749=

8) log264 + log381=

10) 9log55=

11) log21+ 11log44=

12) 8 log2x3/(2log2x)=

13) log3313=

Преподаватель

Какое слово у вас получилось?

Выступление обучающегося

Слово «ЭЛЕКТРОМОНТЕР»

Преподаватель

В инженерии, в физике, в коде
Логарифм ведёт нас к верной дороге.
Шум измеряет, рост прогнозирует
В алгоритмах быстроту обещает.

Десятичный, натуральный — любой
Поможет в задаче сложной порой.
Он — ключ к уравнениям, к графикам, к силам
К тем формулам, что мир нам открыли.

Примеры использования логарифмов в профессиональной деятельности:

-в расчётах мощности сигналов (дБ);

-при анализе экспоненциальных процессов (зарядка/разрядка конденсаторов);

-в алгоритмах сжатия данных и криптографии;

-в оценке масштабов явлений (шкала Рихтера, pH).

Обучающиеся осознают прикладную ценность изучаемого материала и мотивируют к осознанному усвоению.

Решение задач с целью усвоения свойств логарифма повышенной сложности

1.Для тех, кто быстро и верно решает, подготовлены дополнительные задания. Вычислите:   ( 3,5 баллов)

2. А это интересно!!!!(1,5 балл)

Этой головоломкой развлекались математики в Крыму. Предлагается задача: любое данное число записать с помощью трех двоек и математических символов.

Решение. Возьмем , например, число ,

так как

Аналогично  решить:

Подошла к концу наша пресс-конференция. Корреспонденты газет и журналов, получив ответы на вопросы, интересующие читателей, оформят их в виде заметок и опубликуют их на страницах изданий.

А теперь давайте оценим свою работу на занятии. Сегодня вы проверите свою работу самостоятельно, опираясь на критерии оценивания.

                 Критерии оценивания:

Оценка «5»   - вы набрали от 24-25,5 баллов

Оценка «4»  -вы набрали от 21-23 баллов

Оценка «3»  - вы набрали от 18-20 баллов

6.Домашнее задание:

1.прочитать учебник стр. 39-42, выполнить № 1(2)

2. мгновенный тест по логарифмам: https://skills4u.ru/school/test_1753.html

7. Рефлексия

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Ответьте на вопросы:

•        Что понравилось, запомнилось на уроке?

•        Достигли ли вы поставленной цели?

•        Над чем еще нужно поработать?

Выводы по уроку:

Результаты проведенного урока позволяют сделать вывод о правильности выбора целей, определения задач урока и формы его проведения. В ходе урока были закреплены: свойства логарифмов. Обсуждение выбора методов решения способствовало развитию у обучающихся математического вкуса и интуиции; формированию логики мышления. Форма проведения урока способствовала развитию культуры учебных взаимоотношений между обучающимися, преподавателем и журналистами.