Профильный экзамен по математике содержит 19 заданий, из которых 12 с кратким ответом и 7 с развернутым. На ЕГЭ-2026 будет 2 задания по теории вероятностей под номерами 4 и 5.

        Для решения заданий по теории вероятности в ЕГЭ необходимы: 

• оперирование понятиями «случайное событие» и его «вероятность»;
• умение применять формулы сложения и умножения вероятностей, полной вероятности, комбинаторные факты и формулы.

        Как решать задачи по теории вероятности ЕГЭ-2026? Повторим основные определения и формулы и рассмотрим примеры задач к ним.

Классическое определение вероятности

        Определение: Если случайный эксперимент может завершиться одним из n равновозможных исходов, из которых m благоприятны для события А, то вероятность р(А) можно вычислить по формуле

        Пример 1: В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют

в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок,

в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что

турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

Решение:

1- й способ:

А={турист полетит первым рейсом}

Всего: 50 : 5 = 10

Благоприятных: 1

2 - й способ:

А={турист полетит первым рейсом}

Всего: 50

Благоприятных: 5

        В большинстве случаев краткую запись для решения задачи удобно изобразить в виде схемы.

        Пример 2:На олимпиаде по математике 450 участников разместили в четырёх аудиториях. В первых трёх удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение:

А={пишет в запасной аудитории}

Всего: 450

Благоприятных: 90

        В некоторых задачах подсчет числа возможных и благоприятных исходов не является очевидным.

        Пример 3: На тренировки по футболу ходят 33 спортсмена, среди которых есть близнецы Артём и Вадим. Спортсменов произвольно делят на 3 команды по 11 человек. Найти вероятность того, что близнецы станут игроками одной команды.

        Решение: Опыт заключается в том, что надо сформировать 3 команды из 33 человек, причем Вадим должен попасть в ту же команду, что и Артём. Сначала Артём идет на случайно выбранное место из свободных 33. Далее помещаем на свободное место Вадима, у нас 32 свободных места, то есть 32 исхода. В команде с Артёмом остаётся 10 мест, событию «близнецы играют в одной команде» соответствуют 10 исходов.

Несовместные и совместные события

        Определение: Пара событий является несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном случайном опыте.

        Теорема: Если А и В несовместны, то  

        Пример 1: На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Неравенства», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Квадратичная функция», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

А - вопрос теме «Неравенства»,

В - вопрос по теме «Квадратичная функция»,

- вопрос по одной из тем,

Заметим, что события, А и В - несовместные.

        Пример 2: Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше четырёх задач, равна 0,73. Вероятность того, что А. верно решит больше трёх задач, равна 0,86. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 4 задачи.

Решение:

1-й способ:

А - решит 4 задачи,

В - решит больше 4 задач,

- решит больше 3 задач,

Заметим, что события А и В - несовместные.

2-й способ:

 Вероятность события «решит больше 4» равна 0,73. Событие «решит меньше 3 или 3 задачи» противоположно для события «решит больше 3», поэтому . В таблице перечислены все несовместные события, одно из которых обязательно произойдет. Поэтому сумма вероятностей в таблице равна 1. Следовательно,

3-й способ:

Пример 3: Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Возможные варианты:

ППП

ППН

ПНП

ПНН

НПП

НПН

ННП

ННН

А ={хотя бы одна не перегорит}={ППН, ПНП, ПНН, НПП, НПН, ННП, ННН}

р(А) =р(ППН)+р(ПНП)+р(ПНН)+р(НПП)+р(НПН)+р(ННП)+р(ННН)

={перегорят все}={ППП}

        Теорема: Если А и В совместны, то

        Пример 4: В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

1-й способ:

А - кофе закончится в первом автомате,

В - кофе закончится во втором автомате,

- кофе закончится в обоих,

Заметим, что , то события А и В - зависимые.

- кофе останется в обоих,

2-й способ:

        По условию, вероятность события «кофе закончился в обоих» равна 0,22. В первом автомате закончился с вероятностью 0,4, во втором  - тоже 0,4

3-й способ:

Пример 5: При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 815 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше 780 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 780 г, но меньше 815 г.

Решение:

1-й способ:

А - больше 780 г,

В - меньше 815 г,

- от 780 г до 815 г,

- достоверное событие,

Заметим, что события А и В - совместные.

2-й способ:

В таблице перечислены все несовместные события, одно из которых обязательно произойдет. Поэтому сумма вероятностей в таблице равна 1. Следовательно, искомая вероятность равна

3-й способ:

Независимые и зависимые события

        Определение: А и  В независимы, если на вероятность того, что случится А не может повлиять, случилось В или нет.

        Теорема: Если А и В независимы, то

        Пример 1: Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Решение:

        Определение: Зависимые события — события, когда вероятность появления одного из них изменяется в зависимости от того, произойдет ли другое.

        Определение: Условной вероятностью события A при условии события B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. В отличие от обычной (безусловной) вероятности она обозначается как .

        Пример 2: Игральную кость бросили два раза. Известно, что пять очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 9».

Решение:

В/А - сумма очков равна 9 при условии, что пять очков не выпало ни разу

Всего: 25

Благоприятных: 2

        Пример 3: В коробке 3 синих, 8 красных и 5 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Формула полной вероятности

        Теорема: Допустим, что в результате эксперимента наступает ровно одно событие из Н1, Н2, …Нn, вероятность каждого из них не равна 0. Тогда

        Пример: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 65% этих стекол, вторая –– 35%. Первая фабрика выпускает 2% бракованных стекол, а вторая ––4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

        Для наглядного изображения условия задач на вычисление вероятности удобно использовать дерево случайного эксперимента. В корне дерева находится начальное состояние всего эксперимента, когда никакие действия ещё не производились. Вершинами служат состояния, в которые мы попадаем в процессе проведения эксперимента, а рёбрами — возможные переходы из одного состояния в другое. Построение дерева эксперимента помогает найти и перечислить все его исходы: ими служат конечные вершины, т. е. листья дерева. Заметим, что такое дерево всегда обладает одним замечательным свойством: для любой вершины сумма вероятностей на всех выходящих (т. е. направленных вниз) рёбрах равна 1. Исключение составляют только конечные вершины-листья, на которых весь эксперимент завершается и из которых не выходит ни одного ребра. По свойству дерева, к любой его вершине ведет единственная цепь из корня. Она показывает, какая цепочка случайных событий должна произойти, чтобы попасть в данное состояние.

Решение:

Испытания Бернулли:

        Определение: Испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов – успехом или неудачей.

1. Серия испытаний Бернулли: Пусть проводится  n испытаний Бернулли. Вероятность, что успех наступит k раз, равна
2. Испытания до первого успеха:

Формула для вероятности получения первого успеха на k-м шаге ( k ≥ 1) имеет вид:

р(k) = qk – 1p 

        Пример1: Биатлонист по одному разу стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист 4 раза попадет в мишени и один раз промахнется. Ответ округлите до сотых.

Решение:

У - попал в мишень при одном выстреле,

Н - промахнулся при одном выстреле,

        Пример 2: Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,6 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,9?

Решение:

Предположим, что для поражения цели нужен 1 патрон. Значит, стрелок попал с первого выстрела, т. е. <0,9

Предположим, что для поражения цели нужны 2 патрона. Значит, стрелок попал с первого выстрела или со второго, т. е. <0,9.

Предположим, что для поражения цели нужны 3 патрона. Значит, стрелок попал с первого выстрела, со второго или с третьего выстрела, т. е. >0,9.

Значит, для поражения цели с вероятностью не меньше 0,9 стрелку необходимо выдать 3 патрона.

Литература:

1. Вебинар издательства «Легион» Теория вероятностей и математическая статистика в заданиях ЕГЭ по математике. Спикер Кулабухов Сергей Юрьевич

2. С.М. Балакирев. Теория вероятностей для школьников (с абсолютного нуля): учебное пособие, 2019 – 73 с.
3. Сайт Елена Ширяева: Распечатай и реши https://time4math.ru/?ysclid=mi1sufh8lm993802369
4. Сайт Мат 100 https://math100.ru/ege/
5. Открытый банк ЕГЭ ФИПИ  http://fipi.ru/   
6. Сайт  https://ege314.ru
7. Сайт 4ege.ru https://4ege.ru/zadacha/64888-verojatnost-sobytija.html