ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

«Политехнический колледж им. Н.Н. Годовикова»

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

(с профилированной направленностью

для авиационных специальностей)

Москва

2026 год                                                                                    

Автор: Степанова Елена Александровна, преподаватель математики, ГБПОУ ПК им Н.Н. Годовикова

Сборник содержит прикладные задачи и вопросы с профилированной направленностью по дисциплине «Математика». Задачи предназначены для текущего и итогового контроля знаний и умений обучающихся первого курса специальностей среднего профессионального образования.

Практические задания распределены по основным математическим темам (тригонометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, комплексные числа, теория графов, теория вероятностей) и составлены с учетом специфики будущей профессиональной деятельности авиационных специалистов: расчета взлетно-посадочных характеристик, анализа работы авиадвигателей, моделирования логистических маршрутов и расчета параметров бортового радиоэлектронного оборудования.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка        4

Задачи профильной направленности        5

Список литературы        19

Пояснительная записка

Преподавание математики в учреждениях среднего профессионального образования, помимо фундаментальной теоретической подготовки, обязательно включает в себя развитие навыков решения практических качественных и количественных задач. Данная работа представляет собой сборник прикладных математических задач, ориентированных на подготовку специалистов среднего звена для авиационной отрасли.

Цель этого сборника — систематизировать учебный материал, облегчить условия работы преподавателя и активизировать познавательную деятельность студентов. Мотивация к изучению базовой математики часто снижается, если обучающиеся не видят прямой связи между абстрактными формулами и своей будущей профессией. Для привлечения внимания к дисциплине и демонстрации востребованности знаний необходимо использовать задачи с профилированным содержанием. Они позволяют будущим авиатехникам глубже понимать математические модели, находить их проявления в профессиональных модулях, повышать интерес к специальности и осуществлять осознанный подход к систематизации и обобщению знаний.

Задачи в сборнике носят как тренировочный, так и творческий характер, плавно переходя от простых вычислений к сложным техническим расчетам.

Наряду с традиционными математическими упражнениями в сборнике рассматриваются ситуации, максимально приближенные к реальной эксплуатации воздушных судов.

Все количественные задачи снабжены ответами для самопроверки студентов.

Задачи профильной направленности

Тема. Множество действительных чисел. Многочлены. Рациональные уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений

1. Условие. Остаток топлива в баках самолета после t часов полета описывается многочленом третьей степени. Бортовой компьютер вычисляет падение давления в баке, которое пропорционально остатку от деления этого многочлена на двучлен (t - 5). Какая математическая теорема позволяет узнать этот остаток напрямую, вычислив лишь значение многочлена в точке t = 5?

Ответ: Теорема Безу

2. Условие. Для балансировки (центровки) легкого двухместного самолета необходимо распределить груз в переднем и заднем багажных отсеках. Общая масса x + y = 90. Из плеча рычагов сил получено уравнение равновесия: 2x - 3y = 30, где x — масса груза спереди, а y — масса груза сзади. Сколько килограммов груза нужно поместить в передний отсек?

Ответ: 60 кг.

3. Условие. Диспетчерская служба сектора отслеживает траектории двух самолетов гражданской авиации на одной высоте. Векторы их курсов заданы уравнениями:

и . Стоит ли диспетчеру опасаться пересечения этих курсов при условии сохранения траекторий?

Ответ: Нет, траектории параллельны, система не имеет решений (курсы не пересекаются).

Тема. Натуральные и целые числа.

4. Условие. Экипаж воздушного судна выполняет международный рейс. Бортовой компьютер выдает параметры в имперской системе, а диспетчер схемы захода запрашивает данные в метрической.

1. Высота полета составляет эшелон FL310 (31 000 футов). Переведите её в метры, если 1 фут = 0,3048 м
2. Приборная скорость равна 240 узлов (морских миль в час). Переведите её в км/ч, учитывая, что 1 морская миля = 1852м
3. Вертикальная скорость снижения составляет 1500 ft/min (футов в минуту). Выразите её в м/с.

Ответ: 1. 9448,8 м. 2. 444,48  км/ч. 3. 

Тема. Взаимное расположение прямых в пространстве

5. Условие. Диспетчер наблюдает за движением двух самолетов. Борт-1 летит строго по прямой линии на эшелоне FL300 (высота 9150 метров) с севера на юг. Борт-2 летит по прямой линии на эшелоне FL310 (высота 9450 метров) с востока на запад.

1. Каково взаимное расположение прямых, задающих траектории этих двух самолетов в пространстве?
2. Пересекутся ли эти траектории, если смотреть на них сверху (в проекции на горизонтальную плоскость земли)?
3. Каково минимальное расстояние в пространстве между этими линиями?

Ответ: 1. Скрещивающиеся прямые. 2. Да, на плоскости карты они пересекаются. 3. 300 метров.

6. Условие. Бортовой компьютер военно-транспортного самолета Ан-124 (Борт-1) выполняет полет строго на восток по прямой линии на эшелоне FL270 (высота 8250 метров). В это же время фронтовой бомбардировщик Су-34 (Борт-2) следует по прямой линии на юг на эшелоне FL290 (высота 8850 метров).

1. Каково взаимное расположение прямых, по которым летят эти самолеты?
2. В некоторый момент времени Борт-2 находится точно над траекторией полета Борта-1. Чему равно расстояние (в метрах) между самолетами в этот момент, если траектория Борта-1 горизонтальна, а Борт-2 идет в этот момент с углом кабрирования (набора высоты) в 0

Ответ: 1. Скрещивающиеся прямые. 2. 600 метров.

Тема. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

7. Условие. При сборке кабины экипажа вертолета техники устанавливают три приборные панели, на которых крепятся гироскопические датчики авиагоризонта. Плоскость главной приборной панели задана как α, плоскость панели дублирующих приборов — как β, а плоскость технологической плиты пола кабины — как γ. С помощью калибровочных стендов было доказано, что плоскость α строго параллельна плоскости пола γ (α║γ) а плоскость дублирующей панели β также параллельна плоскости пола γ(β║γ). Каково теоретическое взаимное расположение плоскостей датчиков α и β между собой?

Ответ: Плоскости параллельны (свойство транзитивности параллельности плоскостей).

Тема. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

8. Условие. Поверхность аэродрома моделируется горизонтальной плоскостью β. Самолет выполняет заход на посадку в тумане по приборам. Из точки A (высота нахождения бортовой антенны) радиовысотомер посылает строго вертикальный сигнал (перпендикуляр к земле AO), длина которого составляет 400 метров. В этот же момент времени радар фиксирует наклонное расстояние (наклонную AM) до торца взлетно-посадочной полосы (точки M, лежащей в плоскости β), равное 500 метрам.

1. Каково взаимное расположение прямой AO и плоскости земли β?
2. Найдите длину проекции наклонной AM на плоскость земли (горизонтальное удаление самолета от торца ВПП).

Ответ: 1. Прямая перпендикулярна плоскости земли. 2. Горизонтальное удаление составляет 300 метров.

Тема. Углы и расстояния

9. Условие. Самолет выполняет набор высоты (кабрирование) с одновременным правым креном. Продольная строительная ось фюзеляжа задана прямой a. Плоскость истинного горизонта α. Плоскость симметрии самолета (проходящая через киль и фюзеляж) — β, а плоскость крыла — . Плоскость крыла  и плоскость горизонта α образуют двугранный угол. На земной станции слежения этот угол измерили с помощью пересечения плоскостей третьей, строго вертикальной плоскостью. Чему равен этот угол, если линейный угол получившегося двугранного угла равен ?

Ответ:  (угол крена).

Тема. Функции и графики. Степень с целым показателем

10. Условие. Приборная скорость самолета ( связана с истинной воздушной скоростью ( функцией, зависящей от плотности воздуха на высоте полета. Для фиксированного эшелона эта зависимость выражается формулой: , где скорости измеряются в км/ч.

1. Укажите аргумент (независимую переменную) и значение функции (зависимую переменную) для данного процесса.
2. Каким способом задана эта функция?
3. Найдите истинную воздушную скорость самолета, если приборная скорость на исполнительном листе составляет 240 км/ч.

Ответ: 1. Аргумент- , значение функции- . 2. Аналитический способ. 3. 300 км/ч.

11. Условие. Минимальная безопасная скорость сваливания пассажирского лайнера в данной конфигурации составляет , а максимально допустимая по прочности конструкций скорость. Запишите область определения  для функции аэродинамического качества , если полет возможен только в этом безопасном диапазоне скоростей.

Ответ:

12. Условие. Сила лобового аэродинамического сопротивления самолета X на постоянной высоте выражается степенной функцией с натуральным показателем степени: . Как изменится сила сопротивления воздуха X, если экипаж увеличит скорость полета V в 3 раза?

Ответ: Сила лобового сопротивления увеличится в 9 раз

Тема. Арифметический корень n-ой степени. Иррациональные уравнения

13. Условие. При проектировании лопасти воздушного винта вертолета инженеры рассчитывают коэффициент усталостной прочности материала. В ходе вычислений получилось следующее математическое выражение, содержащее корни натуральной степени: .  Упростите данное выражение, используя свойства арифметического корня.

Ответ: A = 1

14. Условие. При расчете автоматической системы балансировки рулей направления БПЛА, бортовой вычислитель решает простейшее иррациональное уравнение, чтобы определить корректирующий шаг сервопривода x: . Найдите корень данного уравнения.

Ответ: 

15. Условие. Инженер радиолокационной службы рассчитывает границу слепой зоны антенны. Математическая модель пересечения луча РЛС и траектории снижения самолета привела к иррациональному уравнению вида: ,где x — относительное расстояние до торца ВПП. Решите данное уравнение, используя метод уединения радикала и возведения в квадрат.

Ответ: 

Тема. Тригонометрические выражения и уравнения

16. Условие.

1. Разворот самолета выполняется по дуге окружности радиуса R = 2000 м с постоянной линейной скоростью v = 200 м/с.  Используя тригонометрическую окружность и радианную меру угла, найдите угловую скорость разворота  в радианах в секунду (рад/с).
2. На какой угол в радианах и в градусах повернет продольная ось самолета за время t = 15 с выполнения этого маневра?

Ответ:  2. Повернет на 1,5 рад (или примерно 86)

17. Условие. Штурманский вычислитель определяет проекцию вектора скорости на ось X. В алгоритм заложена тригонометрическая функция , где — острый угол упреждения ветра .

1. Используя формулы приведения, упростите это выражение, сведя его к функции угла .
2. Найдем значение этой функции, если известно, что , а сам угол находится в первой четверти.

Ответ: 1. . 2. 0,6

Тема. Графики тригонометрических функций. Тригонометрические неравенства

18. Условие. При заходе на посадку самолёт сталкивается с ветром, дующим под углом к оси взлётно-посадочной полосы (ВПП). Скорость ветра составляет км/ч. Скорость бокового ветра (компонента, перпендикулярная ВПП) рассчитывается по формуле:

1. Постройте схематичный график зависимости бокового ветра  от угла  для угла от до .
2. Бортовое руководство самолёта запрещает посадку, если боковой ветер превышает 20 км/ч. Определите по графику (или расчётом), допустима ли посадка, если угол ветра к полосе составляет ? 60 ?

Ответ: При посадка разрешена ( км/ч); при 60посадка запрещена (  км/ч).

19. Условие. При заходе на посадку по приборам (ILS) идеальный угол наклона глиссады составляет . По техническим регламентам безопасности полетов, вертикальное положение самолета относительно идеальной траектории считается безопасным, если синус разности текущего угла и идеального угла удовлетворяет неравенству: . Определите допустимый диапазон углов захода на посадку , если известно, что угол лежит в первой четверти (от до 90).

Ответ:  (с точки зрения строгой математики неравенства) или, учитывая реальную практику полетов, где угол всегда положителен: от до 33.

20. Условие. При пролете через зону турбулентности датчик угла тангажа (угол наклона носа самолета относительно горизонта) зафиксировал колебания, которые описываются затухающей тригонометрической функцией:  где  – угол в градусах, t – время в секундах.

1. Чему равен период осцилляций (колебаний) самолета?
2. Опишите, как ведет себя график этой функции с течением времени .

Ответ: 1. Период равен 2 секундам. 2. Амплитуда колебаний графика постепенно затухает, стремясь к 0.

Тема. Многогранники

21. Условие. Хвостовой обтекатель антенны радиолокатора на военно-транспортном самолете имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Сторона квадратного основания пирамиды равна 1,2 м, а боковое ребро пирамиды равно 1 м. Для нанесения радиопрозрачного лакокрасочного покрытия необходимо знать площадь боковой поверхности этого обтекателя. Найдите

Ответ: 1.92

22. Условие. В современной авиации для снижения веса панелей крыла используются сотовые заполнители. Конструкторы спроектировали деталь из композитных материалов, представляющую собой выпуклый многогранник сложной формы. При компьютерном анализе сетки алгоритм насчитал у этого элемента конструкции 30 граней и 60 ребер. Сколько вершин имеет данный элемент?

Ответ: 32 вершины

Тема. Векторы в пространстве

23. Условие. Воздушная скорость самолета (скорость относительно воздуха) направлена строго на север и описывается вектором (в км/ч). В этот момент дует сильный попутно-боковой ветер, вектор скорости которого равен (компоненты: восток, север, вертикальный поток).

1. Найдите вектор путевой скорости самолета (скорость относительно земли).
2. Вычислите модуль путевой скорости (абсолютное значение скорости относительно земли).

Ответ: 1. . 2.  км/ч

24. Условие. Два самолета вылетают из одной зоны. Траектория первого задана вектором , а второго — вектором . Найдите косинус угла между направлениями движения этих самолетов.

Ответ: 

25. Условие. В зоне ответственности диспетчера находятся два воздушных судна. По данным КГП (радиолокатора), их декартовы координаты в пространстве (в километрах) в данный момент времени составляют: Самолёт А  и Самолёт В  . Безопасной считается дистанция между самолетами в этой зоне не менее 5 км. Нарушен ли безопасный интервал?

Ответ: Дистанция составляет км, безопасный интервал не нарушен.

Тема. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

26. Условие. Вероятность исправности блока системы через t тысяч часов налета вычисляется как: . Инженеры обязаны отправить блок на капитальный ремонт и замену компонентов, когда вероятность его безотказной работы упадет до 0,5 (50%). Через сколько тысяч часов налета блоку потребуется ремонт?

Ответ: Блок необходимо отправить на ремонт через 10 тысяч часов налета.

27. Условие. После посадки тяжелого самолета его тормозные диски нагреваются до огромных температур. Вылет в следующий рейс запрещен, пока тормоза не остынут до безопасной температуры (чтобы не загорелась гидравлика при уборке шасси). Температура тормозов T (в  ) спустя время t (в минутах) после остановки падает по закону: . Безопасной для взлета считается температура строго менее  . Составьте неравенство и определите, через сколько минут после посадки самолету будет разрешен следующий взлет.

Ответ: Следующий взлет разрешен строго через 20 минут после остановки.

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

28. Условие. Если у самолета отказывают двигатели, он начинает планировать. Скорость потери высоты и пройденная дистанция зависят от аэродинамического качества. В определенных метеоусловиях падение истинной воздушной скорости V (в сотнях км/ч) в зависимости от потерянной высоты x (в километрах) можно описать логарифмическим уравнением: . Бортовой компьютер зафиксировал, что скорость стабилизировалась на отметке  (то есть 500 км/ч). Какую высоту x потеряет самолет к этому моменту?

Ответ: Самолет потеряет 2 км высоты

29. Условие. Радиоволны между диспетчерской вышкой и самолетом затухают при прохождении через слои атмосферы (особенно во время ливня). Мощность принимаемого сигнала, выражается через коэффициент затухания k неравенством, связанным с логарифмом по основанию 0,5. Для того чтобы бортовая радиостанция работала без помех, должно выполняться неравенство: Определите, в каких границах должен находиться коэффициент затухания k (), чтобы связь оставалась устойчивой

Ответ: Связь будет устойчивой при .

Тема. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства

30. Условие. Дальность видимости горизонта с кабины пилота или зоны покрытия радиолокационной станции (РЛС) напрямую зависит от высоты полета самолета. Радиус видимости РЛС (в километрах) на плоскости приближенно выражается формулой , где — h высота полета самолета в километрах. Бортовой компьютер истребителя должен определить, на какой высоте должен лететь самолет, чтобы устойчиво обнаруживать наземные цели на расстоянии не менее 150 км, но при этом конструкция самолета ограничивает максимальную высоту полета (практический потолок) в 18 км. Составьте и решите неравенство для определения допустимого диапазона высот h

Ответ: Самолет должен лететь на высоте от 1.5 км до 18 км включительно. В интервалах:

31. Условие. Атмосферное давление падает в геометрической прогрессии с увеличением высоты. Это критически важно для работы барометрических альтиметров (высотомеров) и систем кондиционирования кабины. Атмосферное давление P (в мм рт. ст.) на высоте x (в километрах) можно приближенно описать показательной функцией:. В случае внезапной разгерметизации пассажирского лайнера экипаж должен экстренно снизиться на высоту, где атмосферное давление составляет не менее 380 мм рт. ст. (чтобы пассажиры могли дышать без кислородных масок какое-то время). Определите, на какую высоту x должен снизиться самолет.

Ответ: Самолет должен снизиться на высоту не более 5.41 км (округляя для авиационной безопасности в меньшую сторону — до 5.4 км). В интервалах (учитывая, что высота не может быть отрицательной):

32. Условие. Шум авиационных двигателей измеряется в децибелах (dB). Известно, что громкость звука связана с интенсивностью звуковой волны логарифмической зависимостью. По санитарным нормам шум в районе аэропорта в ночное время строго ограничен. Уровень шума L (в dB) на определенном расстоянии от ВПП (взлётно-посадочная полоса) зависит от коэффициента тяги двигателей k(k>1) и выражается формулой: . По экологическим нормам ночного полета уровень шума не должен превышать 100 дБ. Бортовой компьютер должен рассчитать допустимый режим тяги k. Решите неравенство.

Ответ: Коэффициент тяги двигателей k при взлете в ночное время должен находиться в диапазоне от 1 (исключая) до 3 (включительно). В интервалах:

Тема. Последовательности и прогрессии. Арифметическая прогрессия.

33. Условие: Пассажирский самолет выполняет полет на эшелоне (высоте) 10100метров. Для захода на посадку диспетчер дал команду снижаться. Безопасная траектория рассчитана так, что за каждую первую минуту снижения самолет теряет ровно 400 метров высоты, а за каждую последующую минуту скорость снижения увеличивается на одну и ту же величину — 50 метров в минуту (то есть за вторую минуту он снизится на 450 метров, за третью — на 500 метров и так далее). На какой высоте окажется самолет через 10 минут после начала снижения?

Ответ: Через 10 минут после начала снижения самолет окажется на высоте 3850 метров.

34. Условие: При подъеме в стабильных атмосферных условиях каждые 5 км высоты атмосферное давление уменьшается примерно в 2 раза (то есть умножается на 0,5). Данный процесс описывается геометрической прогрессией. На уровне моря (0 км) нормальное атмосферное давление составляет примерно 100 кПа (килопаскалей). Какое атмосферное давление будет за бортом пассажирского лайнера, если он летит на эшелоне 15 км?

Ответ: На высоте 15 км атмосферное давление за бортом лайнера составит 12,5 кПа.

Тема. Непрерывные функции. Производная.

35. Условие: Пассажирский лайнер выполняет заход на посадку. Его высота по приборам (в метрах) изменяется в зависимости от времени t (в секундах) по закону: . Какую вертикальную скорость (в м/с) покажет прибор вариометр в кабине пилотов ровно через 2 минуты (t = 120 секунд) после начала отсчета? Снижается самолет или набирает высоту?

Ответ: Вариометр покажет скорость 7,2 м/с на снижение (или – 7,2 м/с).

36. Условие: Расход топлива грузового самолета Q (в тоннах за час полета) зависит от высоты эшелона h (в километрах) и описывается функцией: . На какой высоте h пилоту выгодно вести самолет, чтобы часовой расход топлива был минимальным? Каким будет этот расход?

Ответ: Оптимальная высота полета — 11 км (эшелон FL360). Минимальный расход составит 3,9 тонны в час.

37. Условие: Мощность сигнала бортовой радиостанции, принимаемого на земле, зависит от расстояния до самолета и высоты его полета. Математически это описывается как произведение двух независимых факторов среды. Дальность стабильной работы радиосвязи S в процессе набора высоты зависит от времени полета t (в минутах) и выражается формулой: . Где:

•  - фактор, связанный с удалением самолета от антенны.
•   - фактор, связанный с ростом высоты.

Найдите скорость изменения дальности связи через 4 минуты после взлета.

Ответ: Скорость увеличения дальности радиосвязи на 4-й минуте составляет 16 км/мин.

38. Условие: Инженеры испытывают новый двигатель для гражданского самолета. В процессе теста они меняют режим работы двигателя. При этом и расход топлива (u), и создаваемая тяга (v) меняются. Расход топлива в секунду растет по закону:  (грамм/сек). Тяга двигателя растет медленнее, по закону: (кгс). Удельный расход топлива — это их частное: . Найдите производную этой функции  , которая показывает, как быстро меняется экономичность двигателя со временем.

Ответ: Производная удельного расхода равна

Тема. Исследование функции с помощью производной

39. Условие: Часовой расход топлива грузового самолета в зависимости от скорости полета v (в км/ч) приближенно описывается функцией:  (л/ч). Найдите скорость , при которой часовой расход топлива будет минимальным. Чего равен этот расход?

Ответ: 600 км/ч

40. Условие: При разбеге самолета его скорость изменяется нелинейно, так как с ростом скорости увеличивается сопротивление воздуха, а тяга некоторых типов двигателей (например, турбовинтовых) может падать. Экспериментально установлено, что зависимость скорости пассажирского самолета от времени с момента начала разбега до отрыва описывается функцией:

(где  — скорость в м/с, t — время в секундах). Время разбега до отрыва составляет t = 20 секунд. Найдите:

1. Формулу изменения ускорения самолета a(t).
2. Мгновенное ускорение в момент отрыва (t = 20).

Ответ: 1.  ; 2. 

Тема.  Первообразная и интеграл

41. Условие: Истребитель выполняет набор высоты. Вертикальная скорость самолета задана функцией  (в метрах в секунду), где t — время маневра в секундах. На сколько метров поднимется самолет за промежуток времени от c до  c?

Ответ: Самолет поднимется на 900 метров.

42. Условие: Датчик расхода показывает, сколько килограмм топлива сгорает в турбине за одну секунду. Интеграл помогает сложить этот ежесекундный расход и получить общую массу сгоревшего топлива за перелет. Расход топлива грузового дрона во время набора высоты постепенно снижается и описывается функцией (в килограммах за минуту), где t — время в минутах. Сколько топлива потратит дрон за первые 4 минуты полета?

Ответ: 24 кг топлива.

43. Условие: Чтобы рассчитать подъемную силу самолета, конструкторам нужно точно знать площадь его крыла. Если край крыла имеет изгиб, его площадь считают через интеграл. Форма задней кромки крыла легкого самолета (в метрах) задана функцией, где x меняется от 0 до 2. Передняя кромка совпадает с осями координат. Найдите площадь этого крыла

Ответ: Площадь крыла составляет примерно

Тема. Объем многогранников

44. Условие: Кессон-бак (топливный бак, интегрированный в силовую конструкцию крыла) имеет форму прямой призмы. Основанием этой призмы является трапеция (профиль крыла в разрезе) с основаниями , и высотой трапеции h = 0,3. Длина топливного бака (высота призмы H) вдоль размаха крыла составляет 5 м . Определите, сколько литров авиационного керосина поместится в этот бак ().

Ответ: 900 литров

45. Условие: Для расчета максимальной коммерческой загрузки транспортного самолета логистам необходимо знать точный объем грузовой кабины. Грузовой отсек военно-транспортного самолета Ил-76 имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 24,5 м (без рампы), ширина — 3,45 м, а высота — 3,4 м. Найдите полный объем этого отсека.

Ответ: 

Тема. Тела вращения

46. Условие: Носовые обтекатели (радомы) истребителей и сверхзвуковых пассажирских самолетов (таких как Concorde или Ту-144) часто имеют строго коническую форму для снижения лобового сопротивления на сверхзвуковых скоростях. Носовой конус истребителя имеет длину (высоту) H = 2,4 м и радиус основания R = 0,5 м. Конструкторам необходимо покрыть его внешнюю поверхность специальным радиопрозрачным термостойким лаком. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить (площадь боковой поверхности конуса).

Ответ: 

Тема. Площади поверхности и объемы круглых тел

47. Условие: В некоторых самолетах (например, в компоновке лоукостеров или на дальнемагистральных рейсах) в багажном отсеке устанавливают дополнительные временные топливные баки для увеличения дальности полета. Они обычно имеют цилиндрическую форму. Дополнительный топливной бак имеет форму цилиндра длиной L = 5 м и диаметром D = 1,4 м. Определите массу авиационного керосина, который поместится в этот бак, если плотность керосина составляет.

Ответ: 6160 кг (или 6,16тонн).

48. Условие: При полете в условиях облачности на коке (центральном конусе) вентилятора двигателя может образовываться лед. Чтобы этого не происходило, внутрь кока подается горячий воздух от компрессора, который прогревает его металлическую обшивку. Входной кок вентилятора имеет форму конуса с радиусом основания R = 0,3 м и высотой H = 0,4 м. Каков внутренний объем этого конуса, который заполняется горячим воздухом для защиты от обледенения?

Ответ:

Тема. Движения

49. Условие: На навигационном дисплее пилота шкала отображения установлена в режиме подобия. Длина участка глиссады (траектории снижения) на экране составляет 5 см. Известно, что коэффициент подобия (масштаб) экрана равен k = 1:200 000 (в 1 см на экране — 2 км в реальности). Какова реальная длина этого участка траектории в километрах?

Ответ: 10 км.

Тема. Системы рациональных, иррациональных показательных и логарифмических уравнений и неравенств

50. Условие: Бортовой компьютер рассчитывает время полета по маршруту. Скорость самолета относительно воздуха (истинная скорость) постоянна. При полете по ветру и против ветра путевая скорость (скорость относительно земли) меняется. Самолет пролетает расстояние 240 км между городами по ветру за 30 минут (0,5 часа), а обратно против того же ветра — за 40 минут ( часа). Составьте систему уравнений и найдите собственную скорость самолета x и скорость ветра y (в км/ч).

Ответ: Скорость самолета — 420 км/ч, скорость ветра — 60 км/ч.

51. Условие: Диспетчерская система контролирует сближение двух беспилотников в зоне посадки. Их расстояния до контрольной точки выражаются квадратными корнями из-за разницы высот и удаленности. Сумма расстояний от двух дронов до антенны периметра составляет 4 км, а разность этих же расстояний равна 2 км. Пусть расстояние до первого дрона — , а до второго — . Найдите параметры удаленности x и y.

Ответ: 

52. Условие: Изменение температуры турбины (x) и обшивки (y) описывается системой показательных уравнений, где переменные связаны с теплопроводимостью материалов:

Найдите показатели температурных коэффициентов x и y.

Ответ: ,

53. Условие: При падении плотности воздуха на больших высотах подъемная сила крыла падает экспоненциально. Дрону-разведчику необходимо оставаться в «безопасном коридоре» высот, где плотность воздуха достаточна для полета, но при этом он находится выше зоны действия систем ближнего обнаружения. Границы безопасного эшелона (в сотнях метров) задаются системой показательных неравенств:

Определите диапазон высот , в котором полет безопасен.

Ответ:

54. Условие: Скорость самолета и удельный расход топлива связаны логарифмической зависимостью (закон Бреге для дальности полета). Бортовой компьютер оптимизирует два параметра: x (оптимальная скорость на эшелоне) и y (высотный коэффициент). Для нахождения оптимального режима навигационный компьютер решает систему уравнений:

Найдите параметры x и y

Ответ: ,

Тема. Задачи с параметрами

55. Условие:  Если у двухдвигательного самолета отказывает один двигатель, он начинает плавно терять высоту (снижаться) до тех пор, пока тяга оставшегося двигателя не уравновесит лобовое сопротивление на новом эшелоне.

Траектория вынужденного снижения самолета задана уравнением: , где:

• x — время снижения (в минутах),
• a — параметр, зависящий от полетного веса самолета.

При каких значениях параметра a самолет снизится и стабилизирует полет ровно в один определенный момент времени (уравнение имеет единственное решение)?

Ответ: При a = 9.

Тема.  Комплексные числа

56. Условие: Авиационная радиостанция работает на переменном токе. Бортовой инженер настраивает антенну системы связи. Полное сопротивление (импеданс) цепи складывается из активного сопротивления (резисторы) и реактивного сопротивления (катушки индуктивности и конденсаторы) и записывается как комплексное число: . Активное сопротивление антенны составляет  , а реактивное

1. Запишите импеданс цепи Z в комплексной форме.
2. Найдите модуль импеданса (общее фактическое сопротивление), который влияет на потребление тока.

Ответ:  Ом, Ом

57. Условие: Курсо-глиссадная система (ILS) помогает самолету заходить на посадку по приборам. Бортовой приемник принимает два сигнала от наземных маяков. На одной частоте приходят две радиоволны, которые складываются. Их можно представить как векторы на комплексной плоскости. Первый сигнал описывается комплексным числом , а второй сигнал . Найдите результирующий сигнал  , который зафиксирует бортовой компьютер, и определите, в какой четверти комплексной плоскости он находится.

Ответ: , сигнал находится в IV четверти

Тема. Элементы теории графов

58. Условие: Региональная авиакомпания выполняет рейсы между пятью городами: A, B, C, D и E. Менеджеру нужно найти самый дешевый способ перелета из города A в город E (возможно, с пересадками). Связи между городами и стоимость билетов (в условных единицах) заданы взвешенным графом:

• Из A есть рейсы в B (стоимость 3) и в C (стоимость 5).
• Из B можно улететь в C (стоимость 1) и в D (стоимость 6).
• Из C есть рейс в E (стоимость 7).
• Из D есть рейс в E (стоимость 2).

Найдите маршрут от A до E с минимальной суммарной стоимостью.

Ответ: Кратчайший (самый дешевый) путь имеет стоимость 11. Маршруты:  или .

59. Условие: Перед тем как самолет вылетит в рейc, наземные службы должны выполнить комплекс работ. Некоторые процессы можно делать параллельно, а некоторые — строго друг за другом. Это описывается ориентированным ациклическим графом (сетевым графиком), где стрелки показывают порядок действий.

Даны этапы предполётного обслуживания:

• Задача А (Высадка пассажиров) занимает 15 минут.
• Задача Б (Уборка салона) может начаться только после выполнения А. Занимает 10 минут.
• Задача В (Заправка топливом) может выполняться параллельно с уборкой, но тоже строго после А. Занимает 20 минут.
• Задача Г (Посадка новых пассажиров) может начаться только тогда, когда выполнены и уборка (Б), и заправка (В).

Постройте логическую цепочку и определите минимальное время, через которое может начаться посадка новых пассажиров (Г) после остановки самолета.

Ответ: Минимальное время до начала посадки составляет 35 минут.

Тема. Случайные опыты, случайные события и вероятности событий

60. Условие: Перед посадкой на рейс Москва — Сочи на стойке регистрации осталось всего 12 свободных мест, из которых 3 места находятся у окна, 5 мест у прохода, а остальные — посередине. Пассажир получает место случайным образом. Какова вероятность того, что пассажиру достанется место у окна?

Ответ: Вероятность получить место у окна равна 0,25

Тема. Операции над множествами и событиями. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность. Независимые события

61. Условие: Перед посадкой багаж пассажиров проходит автоматическую проверку. Система безопасности может остановить чемодан по двум причинам: если сканер обнаружит запрещенные жидкости (событие A) или если он заметит подозрительные металлические предметы (событие B). Вероятность того, что случайно выбранный чемодан вызовет подозрение из-за жидкостей, равна  . Вероятность остановки из-за металла равна  . Предположим, что эти события несовместны (в одном чемодане не оказывается и то, и другое одновременно). Какова вероятность того, что чемодан будет отправлен на дополнительный ручной досмотр (событие C)?

Ответ: Вероятность отправки чемодана на досмотр равна 0,08

62. Условие: Для максимальной безопасности на современных лайнерах устанавливают три одинаковых, независимо работающих бортовых компьютера. Самолет может продолжать безопасный полет, пока работает хотя бы один из них. Вероятность сбоя одного компьютера в течение полета крайне мала и составляет 0,01. Компьютеры независимы друг от друга. Какова вероятность критической ситуации, при которой откажут все три компьютера одновременно?

Ответ: Вероятность одновременного отказа всех систем равна 0,000001 (или один шанс из миллиона).

63. Условие: Вероятность того, что пилот посадит самолет с первой попытки, сильно зависит от погоды. Условная вероятность математически записывается как — вероятность события A при условии, что B произошло. Вероятность того, что в аэропорту назначения будет сильный туман (событие B), равна 0,1. Вероятность того, что самолет уйдет на второй круг при условии, что в аэропорту туман (событие  ), равна 0,6. Найдите общую вероятность того, что самолет прилетит, застанет туман и уйдет на второй круг.

Ответ: Вероятность такого сценария равна 0,06

64. Условие: На борту самолета установлены две независимые радиостанции для связи с диспетчером: основная и резервная. Они работают на разных частотах и от разных аккумуляторов. Вероятность безотказной работы основной радиостанции в течение рейса равна 0,95, а резервной 0,90. Поскольку они независимы, найдите вероятность того, что в течение полета обе радиостанции будут исправно работать.

Ответ: Вероятность бесперебойной работы обеих радиостанций равна 0,855

Тема. Элементы комбинаторики

65. Условие: В авиакомпании работают 8 опытных вторых пилотов. Для выполнения специального рейса руководству нужно выбрать двоих из них. Сколькими способами можно сформировать эту пару вторых пилотов?

Ответ: Сформировать пару вторых пилотов можно 28 способами.

66. Условие: В кабине тренажера-симулятора самолета есть 3 разных кресла: кресло КВС (командира), кресло второго пилота и кресло инспектирующего инструктора. На практику пришли 5 курсантов авиационного училища. Сколькими способами можно занять эти 3 кресла тремя курсантами из пяти?

Ответ: Распределить курсантов по местам можно 60 способами.

67. Условие: Перед вылетом на рулежной дорожке у взлетно-посадочной полосы (ВПП) выстроились 4 самолета разных авиакомпаний: Аэрофлот, S7, Уральские авиалинии и Победа. Диспетчер должен определить порядок их взлета. Сколько существует различных вариантов составить очередь на взлет из этих 4 самолетов?

Ответ: Существует 24 различных варианта составить очередность взлета.

Тема. Серии последовательных испытаний. Испытания Бернулли. Случайный выбор из конечной совокупности

68. Условие: На складе авиационно-технической базы лежит коробка, в которой находится 10 новых авиационных датчиков. Известно, что среди них 8 идеальных и 2 с микродефектами. Техник случайным образом берет со склада 2 датчика для установки на самолет. Какова вероятность того, что оба выбранных датчика окажутся исправными (без дефектов)?

Ответ: Вероятность выбрать два исправных датчика составляет примерно 0,622

69. Условие: Курсант летного училища отрабатывает на симуляторе сложный заход на посадку в условиях сильного бокового ветра. Статистика показывает, что вероятность успешного захода (без подсказки инструктора) для него в каждом отдельном испытании равна  . Соответственно, вероятность ошибки  . Курсант выполняет 3 независимые попытки. Найдите вероятность того, что из 3 попыток ровно 2 попытки будут успешными.

Ответ: Вероятность того, что курсант успешно выполнит ровно 2 посадки из 3, равна 0,384

70. Условие: При входе в ледяное облако на крыле самолета активируются 4 независимых датчика обледенения. Чтобы автоматика включила противообледенительную систему, нужно, чтобы сработал хотя бы один из них. Но инженерам важно знать вероятность "идеального" отклика. Вероятность безотказного срабатывания каждого датчика при появлении льда равна 0,9. Какова вероятность того, что при входе в облако сработают все 4 датчика?

Ответ: Вероятность одновременного успешного срабатывания всех четырех датчиков равна 0,6561.

Тема. Случайные величины и распределения

71. Условие: Инженеры оценивают надежность системы кондиционирования воздуха в кабине пилотов за 1000 часов налета. Случайная величина X — это число мелких сбоев системы за этот период. Задан закон распределения этой дискретной величины (таблица вероятностей):

1. Убедитесь, что это распределение задано корректно.
2. Найдите математическое ожидание — среднее количество сбоев, которое инженерам стоит ожидать на практике за 1000 часов.

Ответ: Математическое ожидание равно 1 сбою за 1000 часов налета.

Тема. Элементы математической статистики

72. Условие: Аналитический отдел аэропорта исследует задержки вылетов из-за предполётной противообледенительной обработки самолетов. Была сделана случайная выборка из 10 рейсов и зафиксировано время их задержки (в минутах): 5,8,5,12,15,5,10,8,22,10. Для данной выборки найдите:

1. Объем выборки (n).
2. Моду () — самое частое время задержки.
3. Медиану () — значение, которое делит упорядоченную выборку ровно пополам.
4. Выборочное среднее () — среднее время задержки рейса.

Ответ:

73. Условие: Авиакомпания тестирует новый профиль снижения самолета для экономии топлива на двух одинаковых лайнерах. Средний расход у обоих пилотов получился одинаковым, но инженерам важно оценить стабильность результатов. Чем меньше разброс данных, тем более предсказуем полет. Выборка экономии топлива (в кг) за 5 рейсов для первого пилота: 40, 50,45,55,60. Выборочное среднее для него. Найдите размах выборки (R) и выборочную дисперсию () для этого пилота, чтобы оценить вариацию данных.

Ответ: Размах , выборочная дисперсия 

Список литературы

Основная учебная литература

1. Башмаков, М. И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. — М.: Издательский центр «Академия», 2021. — 256 с.
2. Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — 495 с.
3. Дадаян, А. А. Математика: учебник для точных и технических специальностей СПО / А. А. Дадаян. — М.: ИНФРА-М, 2022. — 544 с.
4. Григорьев, В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. — М.: Издательский центр «Академия», 2020. — 320 с.
5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для СПО / В. Е. Гмурман. — 12-е изд. — М.: Издательство Юрайт, 2022. — 479 с.

Дополнительная и профильная литература

6. Чемоданов, В. П. Конструкция и техническая эксплуатация воздушных судов и авиационных двигателей / В. П. Чемоданов. — М.: Транспорт, 2018
7. Михайлов, А. Н. Основы аэродинамики и динамики полета транспортных самолетов: учебное пособие / А. Н. Михайлов. — Ульяновск: УВАУ ГА, 2014.
8. Кузнецов, А. А. Надежность авиационного оборудования и безопасность полетов / А. А. Кузнецов. — М.: Транспорт, 2019.

Электронные ресурсы и нормативно-технические источники

11. Электронно-библиотечная система (ЭБС) «Знаниум» / Раздел: Среднее профессиональное образование. Математика. — URL: https://znanium.com/ (дата обращения: 2026).
12. Электронная библиотека издательского центра «Академия» (Профессиональное образование). — URL: https://academia-library.ru/.