Дисперсия и стандартное отклонение числового набора
презентация к уроку по математике (8 класс)

Слайд 1

Слайд 2

15.10.2026 8 класс Вероятность и статистика Урок 6 Дисперсия и стандартное отклонение числового набора

Слайд 3

Отклонение. Дисперсия Цели: учиться применять понятиями отклонение и дисперсия в реальных практических ситуациях; учиться использовать статистические характеристики числовых наборов

Слайд 4

Вопросы Всегда ли средние характеристики числового ряда могут дать точную информацию о нём? Что такое отклонение ? В каком случае для сравнения числовых наборов можно использовать суммы квадратов отклонений ? В каком случае для сравнения числовых наборов предпочтительно вычислить их дисперсии ?

Слайд 5

Характеристики числового ряда Средние характеристики числового ряда позволяют оценить его поведение в среднем Характеристики разброса показывают, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга

Слайд 6

Задание 1 На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготовить одинаковые детали. Результаты рабочих представлены в таблице Вопрос: кого из рабочих предпочтительнее взять на работу?

Слайд 7

Средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая: X =Y = 250 : 5 = 50 (дет./день). Моды у предложенных совокупностей отсутствуют, а медианы одинаковые (50 и 50). Зато можно оценить стабильность производительности.

Слайд 8

Отклонение X 52 54 50 48 46 X= ( 52+54+50+48+46 )/ 5 = 50 Отклонение – разность между средним значением и числом набора Сумма отклонений всегда равна 0, поэтому не может нести информацию о разбросе Сумма отклонений: X - X -2 -4 0 2 4 Набор отклонений : -2-4+0+2+4 = 0 C реднее арифметическое:

Слайд 9

Квадраты отклонений X 52 54 50 48 46 X= ( 52+54+50+48+46 )/ 5 = 50 C реднее арифметическое: Набор квадратов отклонений: X - X -2 -4 0 2 4 Набор отклонений: ( X – X )² 4 16 0 4 16 4+16+ 0+ 4+16 = 40 Сумма квадратов отклонений:

Слайд 10

Дисперсия X 52 54 50 48 46 X - X -2 -4 0 2 4 D x = (4+16+0+4+16)/5 = 40/ 5 = 8 Дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений: Дисперсия – характеристика разброса, мера стабильности. Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность ( X – X )² 4 16 0 4 16 Набор отклонений: Набор квадратов отклонений: Дан числовой набор:

Слайд 12

D x = 8 D у = 56,4

Слайд 13

Выводы При сравнении нескольких числовых наборов с различным количеством чисел в наборе в качестве меры сравнения берут дисперсии наборов При сравнении нескольких числовых наборов с одинаковым количеством чисел в наборе в качестве меры сравнения можно взять суммы квадратов отклонений

Слайд 14

Задание 2 Для определения точности ружья проводят их испытания, проводят десять выстрелов и сравнивают результаты попадания в цель. Какое из трёх ружей стреляет точнее? Какая математическая величина характеризует эту точность?

Слайд 15

Таблица измерений горизонтальных отклонений от цели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 А +1,0 +1,0 +2,0 +1,5 +2,0 +2,0 +1,5 +1,5 +0,5 +1,0 Б +1,0 0 -1,5 +1,5 -0,5 -1,5 +2,0 +1,0 -1,0 +2,0 В -0,5 -1,0 0 -1,5 -1,0 +1,0 +1,0 +1,5 +1,0 +3,0 Средние значения результатов испытаний: А: 1,4 Б: 0,3 В: 0,35

Слайд 16

Дисперсия результатов измерений для ружья А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Результат +1,0 +1,0 +2,0 +1,5 +2,0 +2,0 +1,5 +1,5 +0,5 +1,0 Отклонение -0,4 -0,4 0,6 0,1 0,6 0,6 0,1 0,1 -0,9 -0,4 Квадрат отклонения 0,16 0,16 0,36 0,01 0,36 0,36 0,01 0,01 0,81 0,16

Слайд 17

Дисперсия результатов измерений для ружья Б 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Результат +1,0 0 -1,5 +1,5 -0,5 -1,5 +2,0 +1,0 -1,0 +2,0 Отклонение 0,7 -0,3 -1,8 1,2 -0,8 -1,8 1,7 0,7 -1,3 1,7 Квадрат отклонения 0,49 0,09 3,24 1,44 0,64 3,24 2,89 0,49 1,69 2,89

Слайд 18

Выводы Сравнивая числовые характеристики для двух ружей, можно сделать вывод, что разброс в попаданиях в цель у ружья Б почти в 3 раза больше, чем у ружья А.

Слайд 19

Если в ряду содержится большое число данных, среди которых есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда данных обычно не велика. Недостаток дисперсии. Если исследуемые величины измеряются в каких-либо линейных единицах измерения: килограммах, метрах, часах и т. д., то по сущности вычислений дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. некоторые из этих единиц измерений не имеют реального смысла. Поэтому дисперсию часто заменяют на среднее квадратичное отклонение , другими словами стандартное отклонение .

Слайд 20

Вопросы Всегда ли средние характеристики числового ряда могут дать точную информацию о нём? Что такое отклонение ? В каком случае для сравнения числовых наборов можно использовать суммы квадратов отклонений ? В каком случае для сравнения числовых наборов предпочтительно вычислить их дисперсии ?