Педагогические, теоретические и практические аспекты выполнения заданий повышенного уровня С2
презентация к уроку ( класс) на тему

Слайд 1

«Изучение педагогических, теоретических и практических аспектов , проблемы ЕГЭ» Решение заданий С2

Слайд 2

Темы для которых создаются проверочные задания С 2 в ЕГЭ. Прямые и плоскости в пространстве: взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, перпендикуляр и наклонная, параллельное проектирование, изображение пространственных фигур. 2. Измерение геометрических величин: угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями в пространстве; расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между прямыми и плоскостями. 3. Векторно-координатный метод: векторы и операции над ними; простейшие задачи, решаемые векторно-координатным методом.

Слайд 3

Умения, которые должны быть сформированы у учащихся решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, расстояний, углов, площадей, объемов); 2) использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; 3) проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.

Слайд 4

Распространенные методы решения стереометрических задач. Векторно-координатный метод. 2. Поэтапно-вычислительный или геометрический. 3. Метод площадей и объемов. 4. Метод преобразований: осевая симметрия, симметрия относительно плоскости, центральная симметрия, гомотетия, поворот.

Слайд 5

Типичные ошибки построения чертежей . ( Очень важно, чтобы объемное тело на вашем чертеже выглядело действительно объемным . )

Слайд 8

Параллельное проецирование . 1 Проекцией круга в общем случае окажется эллипс. 2 Проекцией прямоугольника — параллелограмм. 3 Проекцией отрезка будет отрезок. 4 Вот как выглядит проекция куба на плоскость: Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Слайд 9

Традиционный метод решения 1. В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину. 2. Здесь можно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Преимущества традиционного решения: 1. Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах; 2. При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Слайд 10

Традиционный метод решения Недостатки: 1. Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии; 2. Дополнительные построения каждый раз приходится придумывать «с нуля».

Слайд 11

Метод координат в пространстве 2 . Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A , B , C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1. 3. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = ( A ; B ; C ).

Слайд 12

Угол между ненулевыми векторами. Если φ – угол между ненулевыми векторами Расстояние между точками А( x 1 ;y 1 ;z 1 ) и B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) равно

Слайд 13

Координаты середины отрезка A (x a ; y a ; z a ) и B (x b ; y b ; z b ). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Слайд 14

Задача . Найти косинус угла между векторами a(4; 3; 0) и b(0; 12; 5). Так как координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Ответ : 36/65

Слайд 15

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ Задача . В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A (1; 6; 3), (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC. Решение . 1. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4). 2. Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). 3.Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9). Ответ : AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Слайд 16

Введение системы координат Метод координат В задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить т.е. указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z. Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Слайд 17

Некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек.

Слайд 18

Куб - самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°. Система координат вводится просто: Начало координат — в точке D ; Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок; Ось x направляем по ребру DC , y — по ребру AD, а ось z — по ребру DD 1 . x y A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A 1 Z

Слайд 19

Координаты нижней грани: А(0, 1 ,0) В(1, 1 ,0) С(1, 0 ,0) D (0, 0 ,0) Координаты верхней грани: А 1 (0, 1 ,1) В 1 (1, 1 ,1) С 1 (1, 0 ,1) D 1 (0 , 0 ,1 ) z A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 х у

Слайд 20

Координаты трехугольной призмы Вводим систему координат: Начало координат — в точке A; Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи; X B A C H y

Слайд 21

X y z B C A B 1 A 1 C 1 Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA 1 , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Слайд 22

Координаты четырехугольной пирамиды 1. Вводим систему координат с началом в точке A . 2. Ось OX направлена параллельно ребру AB ; 3. Ось OY параллельно AD . Поскольку ABCD — квадрат, AB ⊥ AD . 4. Ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Слайд 23

Координаты четырехугольной пирамиды D C B A y S Z X x С B D A y o

Слайд 24

Координаты шестиугольной призмы Координаты нижней грани

Слайд 25

Координаты верхней грани

Слайд 26

C2 . В правильной четырехугольной призме и плоскостью АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA 1 взята точка М так, что AM=8 На ребре BB 1 взята точка K так, что B 1 K =8 Найдите угол между плоскостью DMK и плоскостью CC 1 D 1 . D 1 B A D C K M 8 8 12 21 D 1 C 1 B 1 A 1 x y z

Слайд 27

Решение: Запишем координаты точек: М(0;0;13),К(12;0;8), D 1 (0 ;12;0 ) Подставим их в систему уравнений : Отсюда: С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12х13). Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Слайд 28

Аналогично С(12;12;21), С 1 (12;12;0), D 1 (0 ; 12 ;0 ) Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол:

Слайд 29

С2 . В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью BDD 1 . А С В D А 1 С 1 В 1 D 1 Решение. Так как О середина отрезка BD , то АО  (BDD 1 ) .  AB 1 О – искомый. АО = ; АВ 1 = 5 (в п/у  АВВ 1 ). sin  AB 1 O =AO: AB 1 = 3 √ 2 3 √ 2 10 10  AB 1 О =arcsin 3 √ 2 10

Слайд 30

Найти угол между прямой и плоскостью в кубе

Слайд 31

Найти угол между плоскостями в кубе

Слайд 32

Высота равна 2, ребро основания равно 1. Найти угол между плоскостями

Слайд 33

Рёбра многогранника равны 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Слайд 34

Найти расстояние между прямой и плоскостью в кубе

Слайд 35

Практическая работа по построению сечений параллелепипеда .

Слайд 36

Практическая работа по построению сечений параллелепипеда и тетраэдра.