Неравенства с параметром
материал для подготовки к егэ (гиа) на тему

 Неравенства с параметром

1.   Неравенство f(a, b, с, ..., k, х) > ϕ(а, b, с, ..., k, x)              (2)

где а, b, с, ..., k — параметры, а. х — действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

2.  Система значений параметров a = a0, b = b0,  ..., k = k0, при которой выражения

f (a, b, с.....k, x) и ϕ (а, b, с, .... k, x)

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

 3. х = х0  называется допустимым значением х, если f (а, b,  ..., k, x0) и ϕ (а,  b,  с,   ...,  k, x0)

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства

4. Действительное число x0 называется частным решением неравенства, если неравенство

f(a, b, с, ..., k, х) > ϕ(а, b, с, ..., k, x) верно при любой системе допустимых значений параметров.

Множество всех частных решений неравенства  называется общим решением этого неравенства.

5. Решить неравенство  — значит указать,  при каких   значениях параметров существует общее решение и каково оно.

п.1 Линейные неравенства и неравенства приводимые к линейным

Каждое из неравенств вида Ах > В, Ах < В, Ах ≥ В или Ах≤ B, где А и В — действительные числа или функции от параметров, а х — действительная переменная величина, называется линейным неравенством с одним неизвестным (х).

Пример. Решить  неравенство (т—1)⋅x <5m.

Решение.

(т – 1)⋅x <5m

При т = 1  0⋅x < 5, х — любое число,

при т > 1 х <,

 при m < 1 x >.

Ответ: при т = 1  х — любое число; при т > 1 х <; при m < 1 x >.

п.2 Квадратные неравенства

Каждое из неравенств вида mx2 + рх + q > 0, тх2 + px + q <0, тх2 + рх + q ≥ 0

или тх2 + px + q ≤ 0, где т ≠ 0, называется квадратным относительно х (m, р, q — действительные числа или функции от некоторых параметров).

Допустимыми являются те значения параметров, при которых m, p, q — действительны.   

Пример. Решить неравенство x2 +2x + a >0.

Решение.

x2 +2x + a >0

Пусть  D — дискриминант   трехчлена  x2 +2x + a .   При D = 0, т.  е. при а=1, неравенство принимает вид: (х +1)2 > 0.

Оно верно при любых действительных значениях х, кроме х= –1.

При D < 0, т. е. при а > 1, неравенство  справедливо при любых действительных значениях х.

При D > 0, т. е. при а < 1, трехчлен x2 +2x + a  имеет два корня: – 1 – и –1+ решением неравенства служит

(–∞;– 1 – ) ∪ (–1+; +∞).

Это неравенство легко решить графически. Для этого представим его в виде x 2 + 2х > – а  (1а) .                        

и построим график функции у = x 2 + 2х  (рис.  1).

Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = – а являются корнями уравнения x2 +2x  = – а.

Из рисунка видно, что

при – а > –1, т. е. при а < 1, решением неравенства (1 а) служит (–∞; х1) ∪ (x2; +∞);

при – а = –1, т. е. при а = 1, х — любое действительное число, кроме –1;

при – а < –1, т. е. при а > 1, х — любое действительное число.

п.3 Показательные и логарифмические неравенства

п.17.4

п. 4 Тригонометрические неравенства

Будем называть тригонометрическими неравенства, содержащие неизвестные только под знаком тригонометрической функции.

Например, неравенство sin ax ≥ 0,5 тригонометрическое относительно х.

Для решения его на единичной окружности с центром в начале координат (рис. 4) находим две точки, ордината каждой из которых равна 0,5. Одна из них является концом каждой из дуг множества

arcsin 0,5 + 2πn =,   а   другая —концом   каждой   из  дуг

множества . Из   рисунка  видно,   что  данное   неравенство  справедливо   при ,  < ах < .

Отсюда при а > 0 получим:    

при а < 0  

при а = 0 решения нет.

Пример. Решить неравенство    sin ах < b  при  0 < b < \.

Построив на единичной окружности две точки с ординатой, равной b (рис. 5), заметим, что данное неравенство справедливо при

π – arcsin b + 2πn < ах < 2π + arcsin b + 2πn.

Отсюда     при а > 0

при   а < 0

при a = 0 х — любое действительное число.