Уравнения с параметром
материал для подготовки к егэ (гиа) на тему

 Уравнения с параметром

п. 1 Понятие уравнения с параметром

Рассмотрим уравнения вида f (а, b, с, ..., k, х) = ϕ (а, b, с, ..., k, x)

где а, b, с, ..., k, х — переменные величины.

Любая система значений переменных a = a0, b = b0, c = c0, …, k =k0, x = x0, при которой обе части уравнения (1)  принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных а, b, с, ..., k, х.

Пусть А — множество допустимых значений а, В — множество допустимых значений b, ..., X — множество допустимых значений х, т. е. а∈А, b∈B, ..., x∈X. Если из каждого множества А, В, С, ..., К выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению а, b, с, ..., k и подставить их в уравнение, то получим уравнение  относительно х, т. е. уравнение  с одной переменной.

║Переменные а, b, с, ..., x, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Условимся в дальнейшем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: а, b, с, d, ..., k, l, т, п, а неизвестные — буквами х, у, z. Так, в уравнении

m и п — параметры, а х — неизвестное.

Допустимой является любая система значений т, п и х, удовлетворяющая условию m ≠3, п ≠ –1, х ≠0.

При т = 4, п = 1 получим уравнение

при m = 5, п = 3 получим уравнение  и т. д.

║Решить уравнение (1) — значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

 В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности. ║Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Совершенно ясно, что при таком определении справедливы теоремы, сформулированные выше.

п. 2 Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным

Уравнение вида Ах — В = 0, где А и В — выражения, зависящие только от параметров, а х — неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Оно приводится к виду Ах = В и при А ≠ 0 имеет единственное решение х =  при каждой системе допустимых значении параметров.

При А = 0 и В = 0  x — любое число, а при A = 0 и В ≠ 0 решения нет.

Пример. Решить  уравнение (а2 – 1)⋅x – (2а2 + а – 3) =0.

Решение.

(а2 – 1)⋅x – (2а2 + а – 3) =0,

(а2 – 1)х = 2а2 + а – 3,

является линейным относительно x. Оно имеет смысл при любых действительных значениях параметра а.

Приведя его к виду (а – 1) (a + 1) х = (2а + 3) (а – 1), заметим, что при a = 1 оно принимает вид: 0⋅х = 0, т. е, решением его служит любое действительное число.

При а = – 1 уравнение имеет вид: 0⋅x = 2, т. е. не имеет решения.

При a≠±1 уравнение имеет единственное решение

Ответ: при a = 1 х — любое действительное число; при а = – 1 нет решений; при a≠±1

п. 3 Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

Уравнение вида тх2 + px + q=0 , где x— неизвестное, m, p, q — выражения, зависящие только от параметров, и m ≠ 0, называется квадратным уравнением относительно х.

Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых т, р, q — действительны.

Пример. Решить   уравнение тх2 + 3mx – (m+2)=0.

Уравнение тх2 + 3mx – (m+2)=0 имеет смысл при любых действительных значениях параметра m .

При m = 0 оно принимает вид: 0⋅х2 + 3⋅0⋅x – (0+2)=0, 0⋅x =2 и не имеет корней.

При т ≠ 0 оно является квадратным.

тх2 + 3mx – (m+2)=0,

D = 9m2 + 4m⋅(m + 2)= 9m2 + 4m2 + 8m = 13m2 + 8m,

1) если D > 0, 13m2 + 8m>0, m⋅(13m + 8)>0, m<– и m > 0, то  уравнение имеет два действительных корня .

2) если D = 0, 13m2 + 8m=0, m⋅(13m + 8)=0, m =– , m = 0  (случай, когда m = 0 рассмотрен), то уравнение имеет единственный корень

3) если D < 0, 13m2 + 8m<0, m⋅(13m + 8)<0, –, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при – нет корней; при m =– один корень  при m<– и m > 0 два корня .

п. 4 Иррациональные уравнения

Уравнение f(a,b , с, ..., k, х) = ϕ(а, b, с, ..., k, х) называется иррациональным с одним неизвестным x, если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно х.

Например, уравнения

иррациональные относительно x. Здесь а и b — параметры.  Как и в   предыдущих  случаях,   мы  будем  искать  действительные    корни, причем будем исходить из того, что

.

При F (а, b, с, ..., k, х) ≥ 0 и п — четном, т. е. в случае п = 2k (n натуральное) будем рассматривать только арифметическое значение .

Решение таких уравнений сводится к постепенному переходу от иррационального к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения. Но известно, что в таком случае возможно появление посторонних корней. Следовательно, решение должно сопровождаться тщательной проверкой. Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений. Рассмотрим различные способы решения таких уравнений, не отдавая преимущества ни одному из них.

Пример. Решить уравнение

Возведя обе его части в квадрат, получим:

(a – 2)⋅x = 2a + 1.

При а = 2 уравнение (a – 2)⋅x = 2a + 1 принимает вид: 0⋅x = 5, т. е.   не имеет решений.

При а ≠ 2  х = 

Для проверки решения подставим полученное значение х в левую и правую части уравнения

Левая часть   .

При  и при   

при  

Правая часть

Отсюда видно, что   является   корнем   уравнения  при . При  решения нет.

Ответ: при  х =  при  решения нет.

Решение иррационального уравнения часто сводится к нахождению корней квадратного уравнения, не равносильного исходному. На последнем, завершающем этапе решения необходимо установить, какой из найденных корней и при каких значениях параметров является корнем исходного уравнения. Иногда это удобно сделать, используя свойство корней квадратного уравнения. Пусть х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с=0, где а, b, с — действительные числа, a ≠0, х1 < х2, λ — действительное число. В таком случае

п. 5 Показательные и логарифмические уравнения

Уравнение вида , где  а > 0  и   b > 0,   будем  называть  элементарным  показательным уравнением.

Областью определения его D служит пересечение областей определения функций  f (х) и ϕ (x). При а = b = 1 решением уравнения  служит множество D. При а = 1 и b≠ 1 оно равносильно системепри а ≠ 1, b = 1 системе при  а = b (а > 0, a≠1, b > 0, b ≠ 1) мы получим уравнение   f (х) = ϕ (x),   равносильное .

Для решения уравнения  в случае а ≠ b (а ≠ 1, b≠ 1) будем исходить из того, что уравнения   и , где с > 0 (с ≠ 1), равносильны.

Совершенно безразлично, какое положительное, отличное от единицы число взять за основание логарифма. В этом легко убедиться, если учесть, что , где

с > 0 (с ≠ 1), k > 0 (k ≠ 1), М > О, N > 0.

Если же за основание взять число а, то уравнение  запишется так:

f (х) = ϕ (х) ⋅ logc b.

Решение любого показательного уравнения, вообще говоря, сводится к нахождению корней некоторого элементарного показательного уравнения.

Пример. Решить уравнение

Уравнение  имеет смысл при а > 0. Областью определения его служит множество всех действительных чисел. Приведя его к виду заметим, что при   а = 1 х — любое действительное число, при а > 0 (а≠1) – x – 1= – 2x +1, – x +2x = 1 + 1, х = 2.

Ответ: при а = 1 х — любое действительное число, при а > 0 (а≠1) х = 2.

Уравнение где а > 0 (а≠ 1), b>0 (b ≠ 1), будем называть элементарным  логарифмическим уравнением.  Областью определения его служит решение системы

.

При а = b мы получим уравнение f (х) = ϕ (х), равносильное уравнению (в области определения уравнения).

Если а≠b, то решение уравнения сводится к решению уравнения

что равносильно уравнению

Здесь  использована  формула   , где N > 0, а > 0 (а≠1), b >0   (b≠1).

Решение логарифмического уравнения,  как правило, сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения вида .

Пример. Решить уравнение 3 lg2 (х — а)–10⋅lg (х — а) + 3 = 0.

3 lg2 (х — а)–10⋅lg (х — а) + 3 = 0 квадратное относительно lg (х — а),

 lg (х — а)=t, 3t2 – 10t + 3=0, D = 100 – 4⋅3⋅3= 100 – 36= 64,

 равносильно совокупности двух уравнений:

а) lg (х — а) = 3, отсюда х = а + 1000.

б) lg(x — a) =, т. е. x = а + .

х = а + 1000

Левая часть 3 lg2 (a + 1000 — а)–10⋅lg (a + 1000 — а) + 3 =3⋅lg2 1000 – 10⋅lg1000 + 3= 27 – 30 +3=0.

Правая часть 0.

x = а +

Левая часть  3 lg2 (a +  — а)–10⋅lg (a +  — а) + 3 =3⋅lg2  – 10⋅lg + 3=

Правая часть 0.

Ответ: х1 = а + 1000, x2 = а + .

п. 6 Тригонометрические уравнения

Уравнение   называется   тригонометрическим,    если   неизвестное находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений. Уравнение sin (f (x)) = а, где |а|≤ 1, равносильно совокупности уравнений

 f (х) = arcsin a + 2πп и f (х) = π – arcsin а + 2πп или уравнению f (х) = (—1)n arcsin а + πп. Уравнение cos (f (х)) = а,   где   |а| ≤ 1, равносильно  совокупности  уравнений

f (х) =±arccos a + 2πп, а каждое из уравнений tg ( f (x)) = a, ctg (f (х)) = а соответственно равносильно уравнениям f (х) = arctg а + πп и  f (х) = arcctg a + πп.

Пример. Решить уравнение sin (2х + 3) = b + 1.

sin (2х + 3) = b + 1,

При –1≤ b + 1≤1, –2≤ b ≤0 2х + 3= (–1)n⋅arcsin (b +1) +πn, 2х= (–1)n⋅arcsin (b +1) – 3 +πn, х= (–1)n⋅arcsin (b +1)+ +πn, n∈Z.

При b< – 1 и b> 0 решений нет.

Ответ: при –2≤ b ≤0 х= (–1)n⋅arcsin (b +1)+ +πn, n∈Z; при b< – 1 и b> 0 решений нет.

п.  7 Графическое решение некоторых уравнений

Рассмотренный в предыдущих пунктах стандартный способ решения уравнений в отдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен, если применить так называемый графоаналитический метод. Поясним суть этого метода на конкретном примере решения (относительно х) уравнений.

Пример. \\х\ – 2| – | х – 4| = а.

График данного уравнения в системе хОа (Рис. 1) состоит из отдельных прямолинейных звеньев, ограниченных точками: (–2; –6), (0; –2), (2;–2), (4; 2).

Ссылаясь на график, получим:

а) при а < – 6 и при а > 2 решения нет;

б) при а = – 6 х∈ (– ∞;, –2 ];

в) при – 6 < а < –2 уравнение принимает вид:

2х – 2 =а  и, значит,       х = 0,5 (а + 2);

г) при а = –2  х ∈ [0; 2];

д) при    –2 < а < 2    уравнение имеет вид: 2х – 6 =а, значит, х = 0,5 (а + 6);

е) при а = 2   x∈ [4; ∞).

Рис. 1

п.  8 Решение уравнений при некоторых начальных условиях

  Пример. Найти все значения параметра а, при каждом из которых оба уравнения х2 + 4x + 4а = 0 и x2 + 3х + 6а = 0 имеют по два различных корня и между двумя корнями одного уравнения нет ни одного корня другого.

Уравнение х2 + 4x + 4а = 0  имеет два различных корня:

при а < 1, причем .

Корни уравнения x2 + 3х + 6а = 0  

 действительны и различны при а < .

Значит, при а <  — каждое из данных уравнений имеет по два различных корня.  Корни удовлетворяют условию задачи в двух случаях, представленных на рисунках 2 и 3.

Рис. 2                                                                                 Рис. 3

Отсюда видно, что значение а должно удовлетворять одному из двух условий:

 или    при  а < .

Найдем решение неравенства – 2 + 2 равносильного неравенству не имеющему решения при а < .

Вторая приведенная ниже система

вводится к неравенству  (при а<), также не имеющему решения.

п. 9 Применение производной при решении некоторых задач

Пример.  В зависимости от р укажите значения а, для которых уравнение

х3 + 2рх2 + р = а имеет три различных корня.

Пусть f(x) = х3 + 2рх2 + р, тогда  f ′ (х) = х (3х + 4р).

При р = 0  f ′ (х)≥ 0, т. е.  f(x) возрастает на всей числовой прямой и уравнение а = f (х) имеет только один корень.

При р ≠  0 f (х)   имеет две стационарные точки 0 и – р.

f (х) непрерывна на всей числовой прямой,

 при р < 0   – р — точка минимума, 0 — точка максимума,

при р > 0   – р — точка максимума, 0 — точка минимума.

Отсюда видно, что уравнение х3 + 2рх2 + р = а  имеет три различных корня  при

где p<0, или   ,  где р > 0,

т. е.  р3 + р < а < р < 0 или 0 < р < а <   р3 + р.

Выступление на МО

учителей математики

Учитель Плющик Н. П.