Задачи на работу.
методическая разработка на тему

Одной из наиболее часто встречающихся проблем у школьников является  вопрос решения задач путем составления системы уравнений.  Особенно это относится к задачам на работу. Поэтому я решила составить полный и четкий алгоритм решения задач на работу, который апробировала на нескольких поколения учеников.

Во- первых оговорим, что нужно знать приступая  к решению задач.

• Вопрос задачи – это подсказка, что обозначить за Х и У ( чаще всего это время);
• Если время дано в разных единицах, то необходимо перейти к одним ( в часы);
• Производительность – это работа, выполненная за единицу  времени;
• Вся работа принимается за 1 или 100%;
• Объектами чаще всего выступают двое ( два тракториста, ученик и токарь, два крана и др);

Во – вторых разберем, как выгодно делать краткую запись к задачи, что бы затем легко составить уравнения.

• Краткая запись состоит из трех столбцов ( производительность,  время, работа);
• Краткая запись состоит из двух блоков ( работают отдельно, работают вместе);

Теперь перейдем  непосредственно к алгоритму решения:

• Вводим обозначения искомых величин через Х и У ( время каждого объекта взятое в отдельности);
• Выражаем  производительность ( работу делим на время);
• Связываем данные задачи двумя уравнениями ( В блоке, где работа рассматривается отдельно, от большего времени вычитаем меньшее и получаем данное в задаче число. В блоке, где работа рассматривается совместно, производительность обоих объектов складываем, умножаем на время и получаем 1 выполненной работы.);
• Решаем систему из двух уравнений с двумя переменными;
• Исключаем ответы неудовлетворяющие условию задачи.

Далее рационально разобрать с классом полное решение следующих задач, при этом четко выделять и оговаривать каждый шаг.

Задача1.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Производительность                   время                       работа

1                                                    х, ? на 10 дней >            1

2                                                     у , ?                                   1

1                                                    х, ?        

2                                                     у , ?                                  

12у + 120 + 12у – у2 – 10у = 0

- у2 + 14у + 120 = 0

D = 196 + 480 = 676= 262

У1 = 20;          У2= -6 < 0 – не удовлетворяет условию задачи.

Х = 10 + 20 = 30

Ответ: 30 и 20 дней.

Задача 2.

Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за2ч 25 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если второму на это понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Производительность                   время                       работа

1                                                    х, ? на 1 Ч >                     1

2                                                     у , ?                                   1

1                                                    45 МИН  =   Ч

2                                  45 МИН  =   Ч +2Ч 15 МИН

3У + 12 +12У – 4У – 4У2 = 0

 - 4У + 11У + 12 =0

D = 121 +48 = 169 = 132

У1 =3;       у2 < 0 – не удовлетворяет условию задачи.

Х = 1 + 3 = 4

Ответ: 3 и 4 ч

Далее рекомендую дать задачи для решения дома, а на следующий урок проработать только те, в которых возникли затруднения. ( все предложенные задачи выбраны из пробников для подготовки к ЕНТ)

Задачи на работу.

1. На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на три дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждым станком в отдельности, если при совместной работе на этих станках в 3 раза большая партия деталей была обработана за 20 дней? ( 15 и 12 дней)

2. Слесарь может выполнить задание по обработке деталей на 15 часов скорее, чем ученик. Если ученик отработает 18ч., а слесарь продолжит выполнение задания в течении  6ч., то будет выполнено  0,6 всего задания. Сколько времени требуется ученику для самостоятельного выполнения задания?  (45ч.)

3. Один рабочий может оклеить обоями помещение за  3 часа. Через 20 мин работы к нему присоединился второй рабочий, который всю работу может выполнить за 5 часов.  За какое время было оклеено все помещение? (2ч.)

4. Два токаря должны были изготовить детали. После трехчасовой совместной работы работать продолжал только второй токарь, который проработал еще 4ч. После этого задание оказалось перевыполненным на 12,5 %. За какое время мог бы выполнить задание каждый токарь, если второму на это понадобиться на 4ч меньше, чем первому? ( 12 и 8 ч)

5. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно, если один из них разгружает ее на 5ч быстрее второго. (10 и 15ч)

6. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла бы убрать урожай каждая бригада, работая отдельно? ( 21 и 28 дней)