«Развитие логического мышления у учащихся на уроках математики в условиях внедрения ФГОС ООО»
статья по математике по теме

Габдуллина А.Р.

учитель математики

МБОУ «Школа №150»

Приволжского района города Казани

Методическая тема:

 «Развитие логического мышления у учащихся на уроках математики в условиях внедрения ФГОС ООО»

Одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, то есть способность делать из правильных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов.

О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности. И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает и развивается главным образом в процессе изучения математики, ибо математика – это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, то есть строго доказывается.

Это же значение изучения математики указывал и  М.И.Калинин, призывая молодежь серьезно изучать математику: «Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика – это гимнастика ума».

В связи с этим легко понять, почему так важно самому выводить формулы, доказывать тождества и теоремы. Ведь дело не в том, чтобы запомнить их на всю жизнь. Возможно, что они забудутся, но останется привычка рассуждать, сохранится умение объяснять, доказывать не только другим, но и самому себе какие-то истины, укрепится умение искать и находить рациональные пути решения возникающих в жизни проблем.

Вот эту культуру, дисциплину мысли, ее последовательность, глубину и критичность, широту и оригинальность, а так же необходимую пищу для мышления – систему знаний дает школа.

Процесс обучения предполагает целенаправленное управление мыслительной деятельностью учащихся, что приводит к продвижению учеников в их умственном развитии. Чтобы развить мышление учащихся, нужно показать им как функционирует мышление на практике. Развитие происходит в деятельности, поэтому необходимо создавать ученикам условия соответствующей деятельности, нужно демонстрировать сложную картину поиска решения, всю трудность этой работы. В этом случае ученики становятся активными участниками процесса поиска решения, начинают понимать источники возникновения решения. Как результат – ими легче осваиваются причины ошибок, затруднений, оценивается найденный способ решения и ход логических мыслей, а без этого знания не могут перейти в убеждения.

Системное развитие логического мышления должно быть неотрывно от урока, каждый ученик должен принимать участие в процессе решения не только стандартных заданий, но и задач развивающего характера (активно или пассивно).

На уроках учитель должен моделировать ту умственную деятельность, которая нужна на данном этапе развития (учить анализировать задачи, делать чертежи, выявлять отношения объектов и т.д.). Это имеет обучающее и воспитывающее значение: учащиеся приобщаются к методу поиска, ориентируются не только на результат, но и на процесс его достижения, т.е. учатся мыслить логически.

Если организовать обучение учащихся 5-6 классов решению развивающих заданий по специально разработанной методике, то это будет способствовать развитию у них логического мышления, а именно:

- повышению уровня развития комбинаторного мышления;

- овладению наиболее употребительными приемами рассуждения и доказательства: рассуждением по аналогии, обоснованием или опровержением на примере, дедуктивным рассуждением,

- формированию мыслительных операций;

- формированию умения проводить логический анализ при решении задачи;

- формированию умения организовывать поиск решения таким образом, чтобы ни одно решение не потерять;

- формированию умения анализировать чертеж, повышению уровня развития «геометрического зрения»;

- формированию умения выявлять логические закономерности;

Можно выделить два подхода к формированию и становлению логико-математического мышления:

1.традиционное обучение, приводящее в зависимости от воздействия и других объективных причин к формированию либо эмпирического, либо теоретического мышления.

2.специально организованное обучение, ориентированное на формирование учебной деятельности, приводящее к становлению теоретического мышления.

         Для формирования логического мышления приоритетным является второй подход, который и был положен в основу формирования технологии. Проблема развития  свойств личности, входящих в понятие «логическое мышление», требует длительной, целенаправленной работы, поэтому эпизодическое использование творческих задач не принесет желаемого результата. Развивающие задания должны включать в себя всю систему познавательных действий и операций, начиная от действий, связанных с восприятием, запоминанием, припоминанием, осмысливанием и кончая операциями логического и творческого мышления.

          Работая в системе традиционного обучения, учитель по мере своих возможностей стремится выстроить процесс обучения максимально развивающим для учеников. Этих целей на мой взгляд можно добиться, используя систему развивающих задач различных видов.

Задача в теории обучения понимается в широком смысле. В это понятие можно включить любое задание, требующее осуществления какого-либо познавательного акта, любой учебный текст, подлежащий усвоению. Согласно А.Н. Леонтьеву, задача - это есть цель, данная в определенных условиях. К.И. Нешков и А.Д. Семушин выделяют следующие типы задач в зависимости от их функций: задачи с дидактическими функциями, задачи с познавательными функциями, задачи с развивающими функциями. По мнению Ю.М. Колягина, функции задач должны соответствовать основным компонентам образования: обучению, воспитанию и развитию. Е.И. Лященко, анализируя требования к задачам, исходит из деления задач на дидактические, познавательные, развивающие.

К развивающим задачам, или задачам с развивающими функциями относятся:

-  задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, надо применять имеющиеся знания в иной комбинации;

-задачи, с помощью и на основе которых приобретаются знания по предмету.

           Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов была составлена система развивающих заданий по темам:

· аналогия;

· исключение лишнего;

· «в худшем случае»;

· классификация;

· логические задачи;

· перебор;

· задачи с геометрическим содержанием;

· задачи «на переливание»;

· задачи-шутки;

· ребусы ;

· занимательные задания;

·   частично-поисковые задачи

Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.

Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, т.к. в большинстве своем эти задачи не привязаны к темам и не требуют особой теоретической подготовки.

Задачи на переливание, логические задачи, ребусы, задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Задачи на аналогию и исключение лишнего используются для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.

Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.

Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:

1.выбранные задания должны быть посильными для детей;

2.задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

3.если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;

4.ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;

5.если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка.

В приложении 2 приведены примеры домашних олимпиад для увлекающихся математикой. Задачи ученики решают дома, что не исключает возможности консультаций с родителями, обсуждения с товарищами, изучения дополнительной литературы. При решении этих заданий ученик может улучшить свою оценку по предмету.

Система развивающих заданий  

Аналогия

Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогий между фигурами.

Например:

1.уменьшаемое – разность, множитель - …?

2.продолжите ряд: 1, 5, 13, 29, …

7, 19, 37, 61, …

Исключение лишнего

В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.

Например,

1.Сумма, разность, множитель, частное

2. 9, 12, 8, 15

3. см, дм, , км.

В приложениях 4,5,6 приведены примеры использования задач на аналогию и исключение «лишнего» при фронтальной устной работе учащихся на уроках.

В худшем случае

Это прием решения задачи, где для доказательства какого-либо утверждения можно рассмотреть самый неудобный, худший случай, в котором утверждение выполняется. Если мы докажем утверждение для худшего случая, то тем более оно будет верно и в остальных случаях. Главное – правильно определить этот худший случай.

Например:

1.В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся четыре человека, родившиеся в один и тот же месяц.

2.Есть три ключа от трех замков. Какое наименьшее количество проб нужно осуществить, чтобы подобрать ключи к замкам?

Классификация

Классификация – это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может принимать различные значения.

Например:

Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?

Логические задачи

Логические задачи – это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать.

Сухомлинский наблюдал за ходом мышление детей, и наблюдения подтвердили, "что в первую очередь нужно научить детей охватывать мыслью ряд предметов, явлений, событий осмысливать связки между ними... Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить, например, задачу - следствие неумения абстрагироваться, отвлекаться от конкретного. Нужно научить ребят мыслить абстрактными понятиями".

Вот одна из задач, что деть решали в школе Сухомлинского: "Из одного берега на другой нужно перевезти волка, козы и капусты. Одновременно не можно ни перевозить, ни оставлять вместе на березе волка и козу, козу и капусту. Можно перевозить только волка с капустой или же каждого "пассажира" отдельно. Можно делать скольких угодно рейсов. Как перевезти волка, козы и капусты, чтобы все обошлось благополучно?"

Интересно, что задача о волке, козе и капусте обстоятельно проанализирована в книге немецкого ученого А. Ноумана "Принять решение - но как?", где в популярной форме изложены основы теории принятия решений. В книге приведена картинка, на которой изображены волк, коза и капуста на берегу реки, а также графическая схема решения задачи, которая отражает состояния "пассажиров" на обоих берегах, а также переезды через реку туда и обратно. Тем самым шуточная задача является первым звеном в построении серьезной математической дисциплины.

Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный инструмент для такого развития.

Например:

1.Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше, чем мальчики?

2.Наташа произнесла истинное утверждение. Лена повторила его дословно и оно стало ложным. Что сказала Наташа?

В приложении 3 приведены примеры заданий с логическим содержанием для учащихся увлеченных математикой, эти задания даются учащимся дополнительно к домашнему заданию.

Перебор

Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.

Например:

1. Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна пятерка?

2. В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).

Задачи с геометрическим содержанием

1.Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.

2.Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов).

3.Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько кубиков имеют 3 окрашенные грани, 2 окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?

В приложении 5 показано, как можно использовать задачи с геометрическим  содержанием  (на разрезание) при изучении темы «Площадь».

Задачи на переливание

1.В первый сосуд входит 10 литров воды. Как, используя еще два пустых сосуда по 5 и 7 литров, разделить воду на две части?

2. Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1л воды?

Задачи-шутки

1.Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько он на самом деле стоит. Сколько стоит гусь?

2.Сколько концов у двух палок, у трех палок, у пяти с половиной палок?

3.Какой математический знак нужно поставить между 5 и 6, чтобы полученное число было больше 5, но меньше 6?

4.Один поезд отправляется из Москвы в Пермь, одновременно с ним выходит поезд из Перми в Москву, скорость которого в два раза больше. Какой из поездов в момент встречи будет находиться дальше от Москвы?

5.Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?

Занимательные задачи

1.Чему равно произведение -109*(-108)*…107*108?

2.Чему равна сумма -65+ (-64)+(-63)+…+64+65+66?

3.Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь? (Скорость спортсмена считать постоянной).

Частично – поисковые задачи.

Иногда говорят, что умение творить – удел немногих и творческая личность является подарком богов. Но мы говорим не о воспитании гениев, а о формировании личности, умеющей мыслить самостоятельно, нестандартно. Когда одного из великих математиков спросили, почему он такой гениальный, ответ был следующим: «потому, что я знаю три тысячи алгоритмов!». По мнению Гальперина П.Я., «инсайт», «озарение», и интеллектуальное творчество проявляется в умении человека, знакомого с различными подходами к решению научных проблем, в нужный момент «достать» из своей памяти тот или иной алгоритм рассуждения. Задачи данного этапа и являются выражением именно такого подхода к проблеме развития творческих способностей.

Частично – поисковая задача содержит такой вид задания, в процессе решения которого учащиеся, как правило, самостоятельно без участия учителя или при его незначительной помощи, открывают новые для себя знания и способы их добывания.

 К конкретным частично – поисковым задачам можно отнести: задания на нахождение закономерности, на нахождение принципа группировки, расположение приведенных слов, цифр, явлений.

Примеры задач:

1. По какому признаку можно объединить следующие числа:

121, 40, 31, 22  (по сумме)

2, 9,20 (по начальной букве)

1,5,7 (по количеству букв в слове)

2. Выявите закономерность:

1,3,4,7,11,18….

2,8,3,7,4,6…..

3. Найдите принцип, по которому расставлены числа, и вставьте пропущенные

4  8  6    9  4  1

6  2  4    6  ?  2

8  6  ?    1  9   ?

Помимо ответа на вопрос поисковой задачи, рекомендуется давать задания на выявление способа ее решения, т. е. системы логических операций, применяемых в решении.

После ознакомления с приемами работы на доступных всем примерах наступает этап ввода более сложных задач.

Например: Когда данное равенство верно 9+8=5? (часы) 

Проведенная работа по формированию логического мышления у учащихся 5-7 классов позволяет сделать следующие выводы:

· логическое мышление развивается интенсивнее, если создавать на уроке атмосферу уважения, поощрять инициативу и стимулировать творчество учащихся;

· система развивающих заданий позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает мышление учащихся.

1. Литература

1. Валина В.         «Праздник числа» – М:1993

1. Волкова С.И. Столярова Н.Н. «Развитие познавательных способностей детей на уроках математики».
2. Моро М.И. Пышкало А.М. «Методика преподавания математики».
3. Сорокин П.И. «Занимательные задачи по математике»        М: 1985
4. Урунтаева Г.А. Афонькина Ю.А. «Помоги принцу найти золушку»        М:1994
5. Педагогика         под ред.         Щукиной        М 1966
6. Труднев В.П.        «Считай, смекай, отгадывай»        Санкт-Петербург:1997
7. Корчемлюк О.М.        «Задания для развития памяти и внимания на уроках математики».        
8. Л.М.Фридман «Учитесь учиться математике» М., «Просвещение», 1985 г.
9. Преподавание математики в сельской школ (сборник методических статей) М., «Просвещение», 1984 г.
10. Журналы «Математика в школе» № 4, 1991 г., № 4, 1995 г.
11. «Повышение эффективности обучения математике в школе». М., «Просвещение», 1989 г.
12. Б.В.Гнедко «Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике» М «Просвещение», 1990 г.
13. П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев «Обучение математике в школе» М., «Столетие», 1996 г.
14.  Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи». М., 1989 г.
15. Семенов Е. М., Горбунова Е. Д. «Развитие мышления на уроках математики». Свердловск, 1966 г.

17.Л.Ф.Пичурин «За страницами учебника математики», М. «Просвещение», 1999

18. Л.Ф.Фридман, И.Ю.Кулагина «Психологический справочник для учителя» М., «Совершенство», 1998 г.