Общие педагогические технологии и методики
электронный образовательный ресурс

Код: Бородина Марина Борисовна СОШ№1  __________________________________54915

МБОУ СОШ №1

Ст. Полтавская

ВЫСТУПЛЕНИЕ НА РАЙОННОМ МЕТОДИЧЕСКОМ ОБЪЕДИНЕНИИ

ПО ТЕМЕ: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ НА ЕГЭ»

Выступает:

Бородина М.Б.

Учитель математики

2019г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Организационный момент
2. Вступление
3. Почему учащиеся часто плохо усваивают понятие производной
4. Практическое применение производной как фактор интереса учащихся
5. Методические аспекты обучения производной учащихся 10 - 11 классов
6. Производная в заданиях ЕГЭ
7. Диагностика основных видов задач уровня В на производную в пособиях для подготовки к ЕГЭ
8. Литература

ХОД ВЫСТУПЛЕНИЯ:

1. Организационный момент
2. Вступление

Изучение производной функции в программе средней школы — достаточно сложный процесс, однако усвоение этого материала является очень важным. Ведь понятие производной является фундаментальным для более сложных разделов высшей математики — дифференциального исчисления, математического анализа и других, которые изучаются во всех институтах и техникумах. Поэтому без четкого понимания смысла этого математического термина невозможно дальнейшее освоение школьного курса математики.

3. Почему учащиеся часто плохо усваивают понятие производной

Сложность подачи информации о производной заключается в том, что это одно из абстрактных понятий, физический смысл которых трудно представить наглядно. Если, например, численные величины, их сумму и произведение, возведение в степень несложно объяснить в понятиях окружающего мира (количество, площадь, объем и т.п.), то смысл производной зачастую ускользает от понимания школьников, поэтому они могут выполнять задачи на ее вычисление чисто механически по затверженным формулам.

Это ведет к тому, что в процессе решения учащийся не сможет справиться с заданиями, хоть немного отличающимися от шаблонных, и с такими неравенствами и системами уравнений, где надо применить навыки математического мышления. Педагогам нужно обращать внимание на этот момент и стараться добиться от школьников полного понимания материала.

Производная, как известно, характеризует скорость изменения функции в конкретной точке. Определение этого понятия звучит достаточно сложно: «предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует». Трудность понимания этого определения с точки зрения школьника можно охарактеризовать как «все слова по отдельности понятны, а общий смысл уловить не получается». Разумеется, без подробного и наглядного объяснения ученику останется лишь заучить эту фразу, не понимая ее смысла.

Как же донести до учащихся понятие производной? Это можно сделать, например, простыми примерами из повседневной жизни, а также иллюстрациями физических явлений.

Допустим, два ученика одного класса — назовем их Иванов и Петров — получили за контрольную работу по теме «Системы уравнений и неравенств» по оценке «четыре». При этом Иванов весьма доволен, а Петров опечален. Такое их отношение к оценке станет понятным, если мы будем знать, что Петров — круглый отличник, а Иванов ни разу не получал по математике выше «тройки».

 То есть, если рассматривать их оценки в динамике, мы видим, что у Иванова наблюдается прирост успеваемости (функция растет, ее производная положительна), а у Петрова, напротив, падение (функция убывает, производная отрицательна). То есть конкретная оценка (точка на графике функции) отображает текущее положение дел, а производная (касательная к графику в этой функции) показывает нам тенденцию развития ситуации.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счётчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с движением автомобиля, как и с движением любой материальной точки, связаны величины — путь S и скорость V, которые являются функциями времени t. Ясно, что путь и скорость связаны между собой количественными характеристиками.

В конце XVII века английский учёный Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Это открытие стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками многих процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Построенная Ньютоном модель механического движения остаётся самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и её свойства.

Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: Производная — это скорость, это скорость изменения функции.

Аналогично в физике: движение тел характеризуется не только скоростью, но и ускорением, то есть тем, увеличивается или уменьшается ли его скорость. На этих или других подобных примерах можно пояснить, что производная — важнейшая характеристика именно динамики любых процессов, то есть она описывает закон, по которому изменяется мгновенное значение любой функции. 

4. Практическое применение производной как фактор интереса учащихся

С производной учащимся предстоит столкнуться еще много раз, как в курсе математики, так и при изучении других школьных предметов — физики, химии, экономики. В математике производная поможет им решать уравнения, неравенства и системы уравнений, в физике будет использоваться при описании ускоренного движения, в химии — химических процессов. Поэтому необходимо объяснить им фундаментальную важность этого понятия, без четкого понимания которого будет невозможно продвигаться дальше в изучении наук.

Практическое применение производная имеет в самых различных областях деятельности, особенно в технических дисциплинах и экономике — везде, где мы имеем дело с неравномерно протекающими процессами. Это особенно важно знать тем учащимся, которые планируют связать свою дальнейшую жизнь со специальностями из этих областей.

5. Методические аспекты обучения производной учащихся 10 - 11 классов

Обратимся к методическим рекомендациям методистов по изучению элементов анализа. Так Мордкович А.Г. рекомендует перед изучением понятия производной необходимо выполнить следующие действия:

повторить вопросы, связанных с линейной функцией и элементарными функциями, что объясняется основной идеей дифференциального исчисления (представлением о линейной в малой окрестности некоторой точки функции);

отработать понятия приращения функции и приращения аргумента, что может быть иллюстрировано графиками функций;

выработать у обучающихся твердых навыков в их нахождении;

выяснить геометрический смысл отношения приращения функции к приращению аргумента, ввод понятия касательной к кривой как предельного положения секущей.

После того как это будет отработано, можно переходить к введению понятия производной. Успешной будет связка понятия с основной проблемой дифференциального исчисления, т. к. с проблемой исследования процесса изменения функции. К тому же нужно знать правила, позволяющие данный процесс облегчить. Для изучения геометрического смысла производной, нужно осуществить повтор материала по линейной функции, ее угловому коэффициенту, понятия производной, а также уже рассмотренные задачи про мгновенную скорость, касательную к графику функции. Для этого Мордкович А.Г. считает полезными задания следующих типов:
Найдите производную функции; Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0; Найдите производную функции. Исследуйте функцию и постройте ее график; Определите промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Производная в заданиях ЕГЭ

Производная в заданиях ЕГЭ представлена следующими темами:
Понятие производной функции, геометрический смысл производной. Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

Уравнение касательной к графику функции.

Производные суммы, разности, произведения, частного.

Производные основных элементарных функций.

Вторая производная и ее физический смысл.

7. Диагностика основных видов задач уровня В на производную в пособиях для подготовки к ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ (В) учащиеся могут встретить следующие типы задач.
Рассмотрим некоторые ЗАДАЧИ ЛОВУШКИ «Производная функции».

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени  скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Ответ: 8.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с. Найти ускорение в (м/с2)?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

 м/с.

Тогда находим:

 м/с.

а = 3t-6, a(6)=12 м/с2.

Ответ: 20, 12.

3. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Ответ: 5.

5. 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

6. 

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

Ответ: −0,25.

7. На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких  производная принимает значение 2. Искомая точка 

Ответ: 5.

8.  Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Решение.

Прямая  является касательной к графику функции  в точке  тогда и только тогда, когда одновременно  и  В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

Ответ: 14.

10. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале    (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 

Ответ: −7.

12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

Ответ: 18.

13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Решение.

Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

.  

15. Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5).

Решение.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.

Первообразная

1. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].

Решение.

По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение  имеет 10 решений.

Ответ: 10.

2. На рисунке изображён график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение.

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции  Поэтому

Ответ:7.

3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция  — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и 

Имеем:

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

что позволяет сразу же найти

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для  Поскольку

имеем:

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции  получен сдвигом графика функции  на  единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции  и отрезком  оси абсцисс. Имеем:

Ответ:6.

8. Литература

1.  Семендяев К. Справочник по математике.- М.: Просвещение . 2018 г.

2. Ткачук В. В. Математика-абитуриенту. -М.: Просвещение, 2017г.

3. Колмогоров А . Н . Алгебра начала анализа 10-11.- М.: Просвещение, 2017г.

4. Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников. Теория задачи. -М.: Айрис, 2015г.

5.Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Задача В14. Производная и первообразная. Исследование функций. Рабочая тетрадь; МЦНМО - Москва, 2019.

6. Ященко И.В. Математика. 50 вариантов. Задачник ЕГЭ.- М.: Экзамен, 2019 г.