Разработка методики преподавания элементов теории вероятностей и статистики в 8-х и 9-х классах средней общеобразовательной школы
рабочая программа (9 класс) по теме

УДК 512.64:514.12(07)

                                                                          На правах рукописи

Научно-практическая разработка

Францева Наталия Валентиновна

Разработка  методики  преподавания элементов теории

вероятности в 8-х и 9-х классах средней

общеобразовательной школы.

     В работе рассмотрены особенности преподавания элементов теории вероятности и математической статистики в составе курса математики средней общеобразовательной школы. Кроме того, в составе методики разработаны поурочные планы соответственно для 8-го и 9-го классов. Приведены практические и контрольные работы, предлагаемые учащимся в структуре курса, а также образцы оформления задач. В качестве приложения к электронной версии работы добавлен компьютерный практикум.

г. Москва

2011

Введение. Общая характеристика работы

     Актуальность темы.

Процесс внедрения элементов теории вероятностей и математической статистики в обязательный курс школьной математики является делом достаточно специфическим и трудным. Существует тезис о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с закономерностями строго детерминированных явлений. Поэтому, по мнению ряда педагогов - математиков, стохастическая линия должна войти в школьную математику в качестве самостоятельной линии, которая обеспечивала бы формирование, систематизацию и развитие представлений о стохастической природе явлений окружающего нас мира.

     Согласно подходам, изложенным в подавляющем большинстве методической литературы, считается, что главным при изучении данного курса должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. Необходимо отметить, что в процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, в то время, как задачей курса является формирование полезных навыков, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

     В связи с тем, что изучение теории вероятностей и математической статистики в школьный курс было введено недавно, в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью данного курса, количество методической литературы тоже пока невелико. Таким образом, разработка методики преподавания элементов теории вероятности в 8-х и 9-х классах средней общеобразовательной школы и обобщение итогов реализации этого курса является актуальной темой.

     Целью исследования является разработка методики преподавания элементов теории вероятности в 8-х и 9-х классах средней общеобразовательной школы.

     Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи исследования:

• обоснован метод структурирования курса отдельно для 8-го и отдельно для 9-го классов и разбиение его на отдельные темы и уроки;
• обоснованы способы разработки программ практических занятий, увязанных с общей структурой курса;
• обоснованы критерии оценки для контрольных работ, предназначенных для определения степени овладения учащимися изучаемого материала.

     Объектом исследования является процесс освоения курса теории вероятности учащимися 8-х и 9-х классов средней общеобразовательной школы

     Методологической и теоретической основой исследования послужил синтез результатов теоретических и экспериментальных исследований в области методики преподавания элементов теории вероятности. Достоверность научных выводов и практических рекомендаций основывается на положениях, сформулированных в работах Б.В. Гнеденко, И.И. Кикоина, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина и В.И. Левина. В качестве одного из компонентов основ практической реализации курса преподавания теории вероятности явились авторские разработки факультативных курсов по стохастике Н.Н. Авдеевой.

      Информационная база исследования включает научные источники в виде данных и сведений из книг, журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций и семинаров, официальные документы в виде образовательных стандартов, результаты собственных разработок и проведенных уроков.

     Наиболее существенные результаты и научная новизна  исследовательской работы состоят в разработке методики, позволяющей  учащимся эффективно усваивать теоретические основы курса теории вероятностей и математической статистики в сочетании с прикладной реализацией полученных знаний в современной жизни.

     Исследование эффективности усвоения учащимися теоретических вопросов  на уроках, изучение результатов выполненных ими практических занятий и  контрольных работ, а также соотнесение их с поставленными при разработке методической основы уроков целями и эмпирическое тестирование эффективности применения различных моделей подачи материала привели к следующим результатам, содержащим, по мнению автора, элементы научной новизны:

• Разработана методика  преподавания элементов теории вероятности учащимся 8-х и 9-х классов средней общеобразовательной школы.
• Разработана двухгодичная структура курса, сформированная из отдельных уроков, практических занятий и контрольных работ, обладающая внутренней логико-математической связанностью и имеющая взаимосвязи с рядом практических вопросов, изучаемых учащимися в курсе других дисциплин (физика, экономика и др.)
• Разработана и реализована последовательность преподавания уроков на базе структуры курса;
• Разработан и реализован комплекс практических занятий, опирающихся на теоретическую базу уроков;
• Разработан и реализован комплекс задач, иллюстрирующих различные аспекты изучаемого курса и  позволяющих учащимся сформировать стойкие навыки их решения;
• Разработан и реализован комплекс контрольных работ, позволяющий оценить степень усвоения учащимися преподаваемого курса.

     Практическая значимость исследования. Разработанная методика преподавания, а также полученные и использованные в работе обобщенные результаты исследований и экспериментов могут быть применены при преподавании курса теории вероятностей в 8-х и 9-х классах средней общеобразовательной школы. Они могут быть также использованы при разработке индивидуальных планов уроков, практических занятий и подготовке к контрольным работам при преподавании этого курса.

     Апробация результатов исследования. 

     Внедрение основных элементов работы выполнено в ГОУ СОШ № 648 в 2009-2011 годах при преподавании курса теории вероятности и математической статистики в гимназических 8-х и 9-х классах.

    По предварительным результатам работы сделан доклад на Всероссийском съезде учителей математики в Московском Университете в 2010 году

     Публикации Предварительные результаты работы опубликованы Сборнике тезисов докладов Всероссийского съезда учителей математики в Московском Университете в 2010 году.

     Структура и объём работы. Работа состоит из четырех разделов, введения, и библиографии, содержащей 19 наименований. Работа, изложенная на 142 страницах, содержит 8 рисунков, а также таблицы и приложение.

     Раздел 1. Особенности изучения элементов теории вероятности и математической статистики в общеобразовательной средней школе.  

     Вопрос о модернизации математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов XX века выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, И.И. Кикоиным, А.Н. Колмогоровым, А.И. Маркушевичем, А.Я. Хинчиным. Обращаясь к широкому кругу читателей – математиков, педагогов и методистов, Б.В. Гнеденко писал: «Давно назрел и не терпит дальнейших отлагательств вопрос о введении в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Законы жёсткой детерминации, на изучение которых целиком ориентировано наше школьное образование, лишь односторонне раскрывают сущность окружающего мира. Случайный характер многих явлений действительности оказывается за пределами внимания наших школьников. В результате этого их представления о характере многих природных и общественных процессов носят однобокий характер и неадекватны современной науке. Необходимо познакомить их со статистическими законами, раскрывающими многогранные связи бытия предметов и явлений» [8].

В.И. Левин писал: «…Необходимую для… деятельности статистическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни» [11].

     Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и статистики вошли в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного, а также в факультативный курс изучения математики.

     Учитывая назревшую необходимость развития отдельных качеств мышления учащихся, появляются авторские разработки факультативных курсов по стохастике. Примером тому может быть курс Н.Н. Авдеевой [1] по статистике для V (VI) и VIII (IX) классов и курс элементов математической статистики для IX (X) класса средней школы. Разработанный курс был апробирован на факультативных занятиях в базовой школе № 352 МОПИ им. Н.К. Крупской (ныне МГОУ) и в Школе юных математиков при этом институте.

В IX (X) классе были проведены проверочные работы, результаты которых, а также наблюдения преподавателей и опрос учащихся показали, что предлагаемый материал был вполне доступен учащимся, вызывал у них большой интерес, показывая конкретное применение математики к решению практических задач науки и техники [1].

Процесс внедрения элементов теории вероятностей и математической статистики в обязательный курс школьной математики оказался делом специфическим и трудным. Существует тезис о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с закономерностями строго детерминированных явлений. Поэтому, по мнению ряда педагогов - математиков, стохастическая линия должна войти в школьную математику в качестве самостоятельной линии, которая обеспечивала бы формирование, систематизацию и развитие представлений о стохастической природе явлений окружающего нас мира.

     Так как изучение теории вероятностей и математической статистики в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью данного курса, количество методической литературы тоже пока невелико. Согласно подходам, изложенным в подавляющем большинстве литературы, считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, в то время, как задачей курса является формирование полезных навыков, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

     Изучение курса должно начинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей. Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов [6]. Начинать обучения комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом перебора. Начинать изучение комбинаторики следует с введения простейших формул. Перед тем как дать ученикам формулу следует поставить какую-либо проблемную задачу, например, перед тем как дать учащимся формулу перестановок можно предложить решить следующую задачу. Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? Решая данную задачу систематическим перебором, можно определить, что количество таких чисел будет равно шести.

     Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий. Основными комбинаторными понятиями являются: сочетания, перестановки, размещения. На первом этапе сами термины можно не вводить, главное чтобы учащийся осознавал наборы какого типа нужно составить в данной задаче.

     После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, появляется следующая задача – подсчет количества возможных наборов. Такие задачи решаются с помощью применения принципа умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Данная тема хорошо изложена в учебниках [5] и [17].

     Далее следует изменить условие задачи, увеличив количество цифр до 10. И сказать, что решать данную задачу перебором нерационально, так как на это уйдет слишком много времени. Для решения задач такого вида используется следующая теорема:

     Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например, 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа – n2  элементов, тогда i-я группа содержит ni  элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется . Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что правило умножения подсчитывает упорядоченные наборы, то есть порядок в них важен.

     Данную формулу можно применить к решению следующей задачи. Сколько существует пятизначных натуральных чисел. Решение. Как известно всего существует 10 цифр. Представим пятизначное число, где на первой позиции могут стоять все цифры кроме 0, так как если там будет стоять 0, точисло будет четырехзначным. На второй позиции может находиться любая из 10 цифр. Аналогично на оставшихся трех позициях могут находиться любая из 10 цифр. Таким образом, имеется 5 групп элементов. При этом первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержат по 10 элементов. Тогда, используя формулу, может быть определено количество пятизначных чисел: N=9.10.10.10.10=90000.Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтобы учащиеся лучше овладели навыками работы с ними.

     Далее рассматривается теорема о выборе с учетом порядка. Общее количество выбора k элементов из n элементов с учетом порядка  определяется формулой:

и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

     После этого рассматривается теорема о выборе без учета порядка. Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой:

 и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

     После изучения основных формул комбинаторики можно давать учащимся задачи на вычисление вероятности, для решения которых необходимо применять комбинаторные формулы.

     Далее нужно перейти к теории вероятностей. Одной из ключевых задач при этом задач является формирование понятия случайного события. Любое из явлений называется событием. Изучение понятия события зачастую сопряжено у учащихся с трудностями психологического характера. Его обычно ученики воспринимают как единичное выполнение какого-либо действия. Поэтому формирование представления о данном понятии должно начинаться с рассмотрения простейших вероятностных моделей. Сформировать данное понятие удобно на различных примерах из жизни. В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Например, мы не можем точно сказать при подбрасывании, монеты упадет ли она вверх гербом или цифрой [9]. Тогда случайным событием будет называться любое событие, связанное со случайным экспериментом.

     Также необходимо сформировать у учащихся представления о таких основных понятиях теории вероятностей, как достоверные события, невозможные и равновероятные события. Существенным элементом, способствующим формированию представления о понятии «событие», является их классификация:

• достоверное событие всегда происходит в результате испытания;
• невозможное событие никогда не происходит;
• случайное событие может произойти или не произойти в результате испытания.

Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры из жизни. После определения этих понятий следует привести пример. Например,      при подбрасывании кубика, достоверное событие – падение кубика на грань,  невозможное событие – кубик станет на ребро, случайное событие – выпадение какой либо грани. Далее опираясь на введенные определения и на жизненный опыт учащихся необходимо рассмотреть задачи на определение типа события. Важно рассмотреть большое количество примеров событий и случайных экспериментов.

     Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное понятия – понятие элементарного исхода. Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти. Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

     Пример исхода – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости. В отличие от других событий исходы еще называют элементарными событиями, желая подчеркнуть, что эти события состоят только из одного исхода и не делимы на более мелкие. Важно отметить, что в теории вероятностей события обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D…

     Далее вводятся основные операции над событиями. При введении следует с осторожностью пользоваться кругами Эйлера, так как учащиеся мало знакомы с теорией множеств. После определения операции можно привести пример,  описывающий данную операцию. Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Бросается кубик. Событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа.

     Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

С=А∙В

(А – выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом. Противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

     Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты. Далее нужно дать определения совместных, несовместных событий и зависимых, независимых событий.

     События A и B называются несовместными, если они не могут произойти в результате одного испытания. События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания. Здесь также следует рассмотреть примеры, для лучшего усвоения этих понятий.

     Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание. Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно. Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или нет при данном испытании. Количественная характеристика испытания выражает значения некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании. До испытания нельзя сказать чему будет равна данная величина, поэтому она называется случайной.     Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Для этого можно использовать эмпирические методы, для того чтобы извлечь очевидные закономерности.

     Испытание – один раз подбрасываем монету. События: А – выпадет орел; В – выпадет решка. События А и В несовместны, так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка. Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

     Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что , значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

     После введения трех важных понятий: случайный эксперимент, случайное событие, исход, можно переходить к определению вероятности. Первым должно быть рассмотрено статистическое понятие вероятности. Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n раз. Тогда отношение n/N  называют относительной частотой.

     Следующим шагом в продолжение вероятностной линии идет введение классического и статистического определения вероятности.

     При большом количестве повторений испытания относительная частота событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большом количестве повторений испытания относительная частота события будет стремиться к определенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А). Таким образом, вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события при большом повторении числа экспериментов. В математике неограниченное число повторений принято записывать в виде предела при N стремящегося к бесконечности:

.

Данное определение называют статистическим определением вероятности.

Далее следует объяснить, что найти вероятность с помощью этого определения нельзя, так как нет гарантий, что относительная частота будет к чему-то приближаться; также нельзя сказать, насколько много повторений эксперимента нужно сделать, чтобы полученная частота достаточно хорошо приближала вероятность. Исходя из этого определения, учащиеся могут установить, что вероятность заключена в интервале: . Так как n всегда меньше либо равно N.

     Следует предложить задания на проведение серии экспериментов с целью оценить вероятности возможных исходов эксперимента. При этом можно использовать групповую форму работы и в конце объединить результаты всех групп для получения выводов об относительной частоте событий. Примером такого задания может служить подбрасывание монеты. Это является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет «орёл», а в 50% – «решка».

     После этого следует перейти к изучению классической вероятности. Введение другого определения можно обосновать тем, что не в каждом случае можно провести длинную серию экспериментов. В некоторых случаях вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Здесь необходимо вспомнить понятия элементарного исхода. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных  исходах. Принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А. В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (то есть m), к общему числу всех исходов n:

.

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

     После рассмотрения простейших примеров вычисления вероятности учащимся может показаться, что вычисление вероятностей любого события не вызывает особого труда, поэтому учителю нужно предостеречь учащихся от ошибок. Для этого учащимся может быть предложен следующий алгоритм при решении задач на нахождение вероятности:

• перечислить возможные исходы опыта (полное или частичное);
• обосновать равновозможность перечисленных исходов (можно опираться на прямые указания в тексте задачи: случайно, наугад и т.д.);
• вычислить общее количество исходов (то есть число n);
• описать благоприятные исходы для данного события и вычислить их количество;
• вычислить вероятность по формуле;
• оценить полученный результат.

     На первых этапах следует предлагать задачи, в которых число исходов опыта можно пересчитать вручную, без использования формул комбинаторики.  После получения ответа необходимо обсудить с учащимися его реальный смысл. Выяснить совпадает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основным свойствам. Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?  В таком случае на помощь приходит комбинаторика.

     Нужно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

• вероятность достоверного события равна единице: Р(E) = 1;
• вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом:

• вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø) = 0;
• вероятность противоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А);
• вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).

Теперь необходимо вспомнить определения независимых событий. Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

     Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи. На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, для третьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

     Решение. Пусть событие А – первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.        

В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга. а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б) Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие  означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

Р()=Р()+Р()+Р()=

= Р(А)Р()Р()+Р()Р(В)Р()+Р()Р()Р(С)

Однако такую вероятность можно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1–Р(А). Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

Р() = 0,1438.

в) Составим отрицание к событию, рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда – ни один из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(). Вычислим при помощи формулы противоположного события: Р()=1 – Р()=1 – 0,99 = 0,01.

Возникает вопрос, как вычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, при условии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А, при условии, что уже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(А) и обозначается  PB(A):

.

Из этой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимых событий: .

     Решим следующую задачу. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности, получим: .

Пусть некоторое событие А может наступить при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn.Причем известны вероятности этих событий и известны условные вероятности , , …, .   Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема:

     Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

.

     Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

     Необходимо чтобы учащиеся понимали разницу между этими двумя подходами. Чтобы осознавали, что одно это определение вероятности, а другое – способ вычисления вероятности. Таким образом, можно сделать вывод, что определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены. После введения классического определения вероятности в учебниках обычно вводиться геометрическая вероятность.

     На следующем этапе изучаем формулу полной вероятности и формулу Бейеса. Важно рассмотреть применения данных формул на различных примерах, для того чтобы сформировать у учащихся умения применять данные формулы к решению задач.

     Для введения формулы Бейеса составим задачу.  Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Так, как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связи с тем, что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности: , , …, . Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

.

Заменив , получим: .

     Задача: Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p1, второго р2. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Необходимо найти вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В – прибор отказал, событие А1 – оба узла исправны, А2 – первый узел отказал, а второй исправен, А3 – первый узел исправен, а второй узел отказал, А4 – оба узла отказали. Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности: Р(А1)=р1р2; Р(А2)=(1-р1)р2; Р(А3)=р1(1-р2);Р(А4)=(1-р1)(1-р2). Так как наблюдалось событие В, то , .

     Применяя формулу Бейеса получим:

.

     Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

     Для лучшего понимания, учителю следует привести пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.

     Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

     Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Рассмотрим следующий пример.

     Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

     Также изучается понятие дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины, а также правила вычисления основных характеристик этих величин. Важно показать практический смысл этих характеристик.

     Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Далее следует дать четкое определение дискретной и непрерывной случайной величины. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

     При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

     Сумма вероятностей второй строки таблицы равна:

     Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд  сходится и его сумма равна единице.

Для закрепления этого раздела стоит решить следующую задачу.  

     В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х1=50; х2=1; х3=0. Вероятности этих возможных значений равны: р1=0,01; р2= 0,1; р3=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

и для контроля просуммируем нижнюю строку таблицы: 0,01+0,1+0,89=1

     Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Также следует привести пример построения такого многоугольника.

Как мы ранее сказали, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

     Одной из важных характеристик в теории вероятности является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере. Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения x1, x2, …, xn. Вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством: .

     После определения математического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно может пригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

     Для введения понятия дисперсии можно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

     Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x): D(Х)=M[X-М(Х)]2.

     Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2.

     Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины. Например, средним квадратичным отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии .

     Задача: Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание: .

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения: , , .

Напишем закон квадрата отклонения:

По определению .

Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2 можно найти дисперсию гораздо быстрее: .

     Так как вычисления математического ожидания и дисперсии не вызывает существенной сложности, то затрачивать большое количество времени на эту тему не стоит.

     На последнем этапе переходим к изучению статистики, используя ранее полученные знания. На этом этапе появляется много новых терминов, здесь учителю можно посоветовать следующее: попросить учащихся завести словари, куда бы они заносили новые понятия и по мере надобности могли бы туда заглядывать, также можно предложить сделать таблицу, аналогичную таблице приведенной в учебнике [13].

     Статистические исследования являются завершающим этапом изучения курса. Здесь рассматриваются примеры статистических исследований в области спорта, полученные ранее. Изучаются основные методы оценки статистических гипотез, регрессионный анализ. Также учащимся может быть предложено самостоятельно провести несложное статистическое исследование.

     Для успешного освоения учащимися материала необходимо показать, что получаемые на занятиях по математике знания и умения, им понадобятся в их практической деятельности. Известно, что негативное отношение учащихся к математике во многом объясняется тем, что они не видят практического применения математических знаний умений [12]. Легче всего показать значимость изучения теории вероятности и статистики на сюжетных задачах, сформулированных в виде реальных проблемных ситуаций. Задачи должны подбираться таким образом, чтобы для их решения требовались определенные математические умения. Кроме того, математические задачи являются одним из средств формирования полезных умений. Учителю можно использовать различные данные, которые  можно найти в учебнике [16]. При использовании таких задач достигаются возможность продемонстрировать учащимся проблемные ситуации, следовательно, у них появляется заинтересованность в изучении математики.

     Целесообразно использовать задачи, в которых предлагается недостающие данные получить самостоятельно. Таким образом, при решении задач подразумевающих самостоятельное получение данных, создается предпосылка для развития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочной литературой и так далее. Кроме того, решая такие задачи, учащиеся реально видят связь изучаемого ими материала с практикой [10]. Важнейшим способом самостоятельного получения исходной информации является использование опубликованной информации (справочная литература, журналы, Интернет и т.д.). Решение таких задач развивает у учеников умение работать со специальной литературой.

     Самостоятельное получение данных в результате эксперимента. Предлагаемые задачи подходят для аудиторной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимает много времени и не отвлекает от решения задачи. Так как нет специализированной литературы, которая бы содержала задачи, удовлетворяющим выше перечисленным требованиям, то учителю придется самостоятельно составлять задачи. Достаточно много интересных задач, которые после переработки можно использовать, находятся в следующих источниках: [14], [7], [12], [4], [15], [2].

Раздел 2. Уроки 8-ого класса.

Раздел 3. Уроки 9-ого класса.

Раздел 4. Результаты и выводы.

     Двухлетний опыт преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в 8-х и 9-х классах средней общеобразовательной школы позволяет рассмотреть промежуточные результаты усвоения учащимися этого курса, и на их основании сделать определенные выводы.

     Знакомство со стохастическими процессами обогащает знание учащихся о мире, в котором мы живем. В отличие от традиционных школьных разделов математики, которые представляют собой математику жестких связей и закономерностей, теория вероятностей и математическая статистика это разделы математики, применяемые в условиях неопределенных процессов, широко распространенных в современном мире. Эти разделы математики используются для решения множества прикладных задач современности. Именно в этом заключается мировоззренческая важность преподавания предмета «Теория вероятностей и статистика» в средней общеобразовательной школе.

     В то же время, введение в процесс преподавания в школе математики элементов теории вероятностей и математической статистики породило, как объективные, так и субъективные трудности для учителей и учащихся.

     К этим трудностям может быть, в первую очередь, отнесено отсутствие традиции преподавания данного предмета в курсе изучения математики в средней общеобразовательной школе. Последняя более-менее успешная попытка включения элементов комбинаторики в учебник алгебры для выпускных классов школы относится к середине 70-х годов  прошлого века. После этого такой предмет в школе практически не изучался. Поэтому подавляющее большинство нынешних учителей лишено возможности вести предмет так, как его преподавали им. Вокруг теории вероятностей, как любого новшества, возникает определенный ореол настороженности. Преподавателям математики приходится доказывать целесообразность изучения этого предмета, не пользуясь существенной поддержкой педагогической общественности. В ряде случаев, возникают ситуации, когда классные руководители не могут правильно заполнить с учениками дневники и страницу журнала, так как не знают, как правильно писать название предмета.

     Иногда возникает проблема негативного отношения к этому новому предмету со стороны родителей, связанная с невозможностью оказания эффективной помощи ребенку в его изучении, обусловленная отсутствием собственных знаний в этой области. Отсутствие отметки по данному предмету в аттестате часто не настраивает учащихся на его добросовестное изучение, что обусловлено особенностями психологии современных учеников.

     На момент введения нового предмета среди учителей математики не было достаточного количества специалистов, свободно владеющих содержанием курса теории вероятностей и математической статистики, решающих вероятностные задачи на том же уровне, что и задачи по алгебре. Открытие различных многочисленных курсов, предназначенных для повышения квалификации в этой области, пока не позволяет эффективно решить эту проблему. Кроме того, на фоне многообразия учебно-методической литературы по другим разделам математики существует определенный недостаток таких материалов по теории вероятностей и математической статистике. Существование нескольких вариантов учебников не способно заменить недостающих методик изучения курса. Проблема усугубляется тем, что подавляющее большинство учителей математики не изучало методики преподавания теории вероятностей и математической статистики в педагогических высших учебных заведениях. Поэтому каждый педагог должен самостоятельно создавать эту методику методом проб и ошибок при необходимости получения однозначно положительного результата. Все это не способствует стремлению учителей математики преподавать теорию вероятностей.

     Преподавание предметов, составляющих традиционный курс математики в средней общеобразовательной школе, базируется на ряде элементарных навыков, формирующих фундамент математического образования школьников, таких как решение уравнений, вычисления, решение задач на движение и ряда других. При этом при решении такого рода задач от учащихся, в первую очередь, требуется правильное определение и применение правил.

     Преподавание курса «Теория вероятностей и статистика» требует от учителя кардинального изменения стиля своей работы. Оно подразумевает организацию дискуссий на уроке, интенсивную устную работу, а также расширение собственного кругозора в областях других наук, таких, как биология, география, история, литература и многих других, в дополнение к сложившимся методам и подходам к обучению. До определенной степени, подходы к изучению элементов теории вероятностей могут быть заимствованы из курса геометрии, где, также, часто необходимо решить несколько задач, абсолютно непохожих друг на друга. При этом задачи, стоящие в учебнике рядом, не аналогичны, и решение одной из задач не означает, что будет с легкостью решена следующая. Поэтому главным условием роста профессионализма учителя в области преподавания теории вероятностей и математической статистики является изменение технологии учительской деятельности при преподавании этого курса. Это положение является чрезвычайно актуальным для учителей математики, проработавших десятки лет в школе.

     Аналогичные изменения должны произойти и в позиции ученика. В первую очередь должно измениться его поведение на уроке и при подготовке к нему. Известно, что дети привыкли к определенному стилю преподавания математики, требующему от них умения решать пусть и обширный, но заранее очерченный круг заданий. Зачастую они довольствуются тем, что умеют многократно воспроизводить изученный алгоритм и даже противятся попыткам решить задачу другим способом. Большие трудности возникают у учеников обычных классов при решении нестандартных задач, тем более задач повышенной сложности, в основе которых лежит редко используемый алгоритм. Часто возникают ситуации, когда ребенок не готов к собственной интеллектуальной активности и к аргументированному отстаиванию своей точки зрения. Поэтому на уроках, где изучаются элементы теории вероятностей и математической статистики, требуется создание специальной среды, способствующей этим изменениям, и погружение в нее учащихся. В первую очередь это касается проведения практических работ, экспериментов, исследовательской и проектной деятельности непосредственно в ходе урока. Важно активное участие учащихся в дискуссии, а также поиск ими информации за пределами школьного учебника, анализ различных массивов данных с целью выявления закономерностей, самостоятельный выбор инструментария для своей работы. При этом представляется абсолютно необходимым использование в работе на уроке и дома информационно-вычислительной техники, включая ресурсы Internet. Безусловно, эти требования усложняют жизнь и ученику, и учителю.

     Подходы, реализуемые при изучении теории вероятности и математической статистики, должны изменить и отношение учеников к случайному событию, которое часто идет вразрез с имеющимися у детей представлениями. Необходимо иметь в виду, что собственный жизненный опыт и фантазия учеников порой только мешают им, уводя в сторону от решения задачи. Богатое воображение учащихся подлежит жесткому ограничению с самых первых уроков, когда вводятся понятия «случайный эксперимент», «исход эксперимента» и ряд других. Из обсуждения должны быть исключены любые фантастические условия проведения случайного эксперимента, и до учащихся должна быть донесена мысль, что «случайно» обозначает вовсе не «все что угодно». На протяжении многих уроков надо формировать понимание того, что ищется закон, который управляет случайными процессами без влияния везения и фантастики, причем стихийно это понимание у учащихся не образуется.

     К сожалению, усвоение вероятностных и статистических понятий происходит только на уроках теории вероятностей и математической статистики и не подкрепляется при изучении прочих школьных предметов. Вероятностное мышление со всем многообразием ожидаемых исходов не присутствует в их содержании. В курсе их изучения по-прежнему царят неизбежность наступления ожидаемого результата и полная предсказуемость всех процессов. Знакомство с современными задачами экономики, рассматривающими обоснование целесообразности освоения новых территорий, строительства промышленных объектов, железнодорожных магистралей, выбора мест для строительства школ, больниц - все это остается за рамками школьного образования. Выпускник школы может и не догадываться, что за всем этим стоит современная математика.

     Одной из традиционных сложностей математических дисциплин является анализ текста условия задачи. Это особенно проявляется в курсе преподавания теории вероятностей и математической статистики, где все задачи являются сюжетными. В отличие от курса алгебры, где в контрольных работах, как правило, всегда присутствуют задачи на вычисления, решение уравнений и неравенств, контрольная работа по теории вероятностей содержит исключительно текстовые задачи. Даже несложные вероятностные задачи сводятся к одному или двум комбинаторным приемам, решение которых учащиеся должны освоить максимум за три урока. При этом необходимо иметь в виду, что сюжетные задачи по теории вероятности, комбинаторике и статистике гораздо разнообразнее, чем алгебраические. Помимо «классических» задач на бросание кубиков, монет, вытягивание наугад разноцветных карточек, существует огромное число прочих сюжетов. И для ученика часто очень трудно решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке». Увидеть аналогию в задачах на вытаскивание из мешка разноцветных шариков или черных и белых пешек способны только достаточно подготовленные ученики.

     Несмотря на перечисленные выше трудности, которые возникают у учителей, учащихся и их родителей преподавание и изучение нового предмета «Теория вероятностей и статистика» в средней общеобразовательной школе является насущной необходимостью, обусловленной реалиями современного мира.

        Библиографический список:

1. Авдеева Н.Н. О статистическом образовании в школе / Н.Н. Авдеева // Математика в школе. – 1973. – №3. – С.4-8.
2. Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. – Ярославль: Академия развития, 2006. – 192 с.
3.  Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. М, ДРОФА, 2004.
4. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2002. – 445 с.
5. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. – М.: МЦНМО, 2006. – 400 с.
6. Виленкин, Н.Я. Популярная комбинаторика / Н.Я. Виленкин. – М.: Наука, 1975. – 208 с.
7. Глеман. М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы: пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. – М.: Просвещение, 1979. – 176 с.
8. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе / Б.В. Гнеденко // На путях обновления школьного курса математики. – М., 1978.
9. Иванов. В.С. Основы математической статистики. Учебное пособие для институтов физической культуры / В. С. Иванов. – М.: Физкультура и спорт, 1990. – 176 с.
10. Караулова, Л.В. Математические задачи, как средство формирования профессионально значимых умений студента: дисс. на соискание степени канд. пед. наук / Л.В. Караулова. – Киров, 2004. – 184 с.
11.  Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе, М, «Просвещение» 2010.
12. Левин В.И. Некоторые вопросы преподавания математики в средней школе / В.И. Левин // Математическое просвещение. – 1959. – №4. – С.9.
13. Матальский, М.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк. – Гордно: ГрГУ – 2002. – 248 с.
14. Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразовательных учреждений /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2003. – 46 с.
15. Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями / Ф. Мостеллер. – М.: Наука, 1975. – 112 с.
16. Солодовников, А.С. Теория вероятностей/ А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1978. – 192 с.
17.  Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика, М, МЦНМО, Московские учебники, 2008.
18. Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2008. – 256 с.
19. Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе / А.П. Шихова. – Киров: Вятка, 1994. – 62 с.