Случайные величины.Законы распределения случайных величин.
материал по теме

                               СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.                                       ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Понятие случайной величины. Законы распределения случайных величин

Определение. Случайной величиной, связанной  с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно.

Случайные величины обозначаются  Х, Y и т.д.

Примеры.

1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}.

2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y  -  число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.

Ещё примеры!!! Тюрин, с.177.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

В примерах 1,2 случайные величины  являются дискретными.

Замечание. В ШКМ не изучается понятие счетного множества. Поэтому, наверно, и понятия дискретной СВ тоже нет (у Тюрина – точно нет). Даже студентам ФМФ некоторых специальностей понятие счётного множества приходится объяснять «на пальцах». Зато у Ткачевой есть понятие ДСВ и НСВ!

Определение (нестрогое пока!). Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка.

Разные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений.  Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину,  кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.

Определение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

        Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан  виде таблицы.

        В верхней строке перечисляются все возможные значения  случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются  вероятности  соответствующих значений:  - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .

Так как в результате каждого опыта  случайная величина Х обязательно  принимает только одно из значений: ,,…,,(…), то события  ,…,,(…) образуют полную группу попарно несовместных событий. Значит, .

Определение. Дискретная случайная величина Х считается заданной, если указано конечное или счетное множество чисел ,,…,,(…), и  каждому из них поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем .

Для наглядности закон распределения можно изобразить графически – на плоскости отмечаются точки с координатами  и соединяются отрезками. Полученная ломаная называется  многоугольником распределения СВ.

Пример 1.  Случайная величина Х – число выпавших очков при однократном бросании игральной кости. Её закон распределения имеет вид:

.    

Пример 2. Опыт – стрельба по мишени до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна  р,  – вероятность  промаха при каждом отдельном выстреле. Случайная величина X – число израсходованных патронов.

Проверим выполнение условия .

.

Пример 3.  Биномиальное распределение.

Производится серия испытаний по схеме Бернулли: проводится n независимых опытов, в каждом из которых интересующее нас событие А наступает с одной и той же вероятностью p,  – вероятность наступления события  в каждом отдельном опыте. Случайная величина X – число наступлений события  А в рассматриваемой серии опытов, то есть число «успехов».

Вероятность каждого возможного значения случайной величины X находится по формуле Бернулли:  (вероятность 0 успехов и n успехов можно найти и через вероятность произведения независимых событий).

Условие  получается непосредственно по формуле бинома Ньютона:

Пример 4. Распределение Пуассона. Как и в предыдущем примере производится серия испытаний по схеме Бернулли, но теперь число опытов n очень велико (считают, что ). Случайная величина Х - число успехов, только теперь вероятность каждого возможного значения СВ X вычисляется не по формуле Бернулли, а по приближенной формуле Пуассона:

.

Проверим выполнение условия .

.

Функция распределения случайной величины

(интегральный закон распределения случайной величины)

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, для непрерывной случайной величины все её значения перечислить невозможно (у НСВ множество значений несчётно). Кроме того, каждое свое определенное значение непрерывная случайная величина принимает с нулевой вероятностью, поэтому непрерывная случайная величина характеризуется не вероятностями отдельных значений, а вероятностями того, что случайная величина принимает значение из некоторого интервала.

Пусть дана произвольная случайная величина Х. Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого числа х: . Вероятность этого события является функцией от х и обозначается F(x). Таким образом,

.        (1)

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяемая вероятностью того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х.

Из определения следует, что .

Следует отметить, что формула (1) связывает математический анализ (слева в формуле - функция одной действительной переменной) и теорию вероятностей (справа  - вероятность события).

Функцию F(x) иногда называют интегральным законом распределения случайной величины Х.

  Математическое ожидание дискретной случайной величины

В некоторых задачах теории вероятности не обязательно знать весь закон распределения. Их можно решать, оперируя только некоторыми числовыми характеристиками.

        Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

        Пусть Х – дискретная случайная величина,  возможные значения которой  принимаются с вероятностями соответственно  , причем  .

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной  величины  Х  называется число

,                         (1)

равное сумме произведений возможных значений величины X на вероятности этих значений.

Причем если в правой части равенства ( находится ряд, то он должен сходиться абсолютно (чтобы М[Х] было неизменным при перестановке столбцов в таблице распределения величины Х). Если ряд расходится, то М[Х] не существует. Смысл числа М[Х]: около числа М[Х] колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной Х в больших сериях опытов.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной  величины Х – числа очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.

Решение. Составим закон распределения этой случайной величины.

Тогда  .

        В данном примере М[Х] не совпадает ни с одним возможным значением случайной величины Х.

Пример 2.        Пусть Х – число выстрелов по цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле постоянна и равна р. Найти М[Х].

Решение. Случайная величина  X  имеет геометрическое распределение:

Найдем математическое ожидание:

.

Ряд  получен из ряда  почленным дифференцированием. Так как

        ,

то  .

Получаем, что .

        Таким образом, среднее число требующихся для попадания в цель выстрелов равно . То есть при проведении большого числа серий выстрелов для попадания в цель в среднем  потребуется  выстрелов. Это число может служить исходным при расчете числа необходимых снарядов.

        Пример 3. Найти математической ожидание дискретной случайной  величины Х, распределенной по закону Пуассона.

.

.

Таким образом, параметр , характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное, как математическое ожидание величины Х.

Математическое ожидание непрерывной случайной  величины

        Для непрерывной случайной величины нельзя применить определение  математического ожидания дискретной величины (вероятность каждого отдельного значения  непрерывной случайной величины равна нулю).

Определение. Пусть Х  – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности  . Если сходится интеграл , то математическим ожиданием непрерывной случайной величины  X называется число

.

        Таким образом, выяснен теоретико-вероятностный смысл параметра a, входящего в выражение для нормального закона: параметр а является математическим ожиданием величины  Х.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины совпадает с самой постоянной: .

Справедливость этого свойства очевидна, если рассмотреть постоянную величину как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Тогда .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[cХ]=сМ[Х] .

Так как определение математического ожидания для ДСВ и для НСВ разное, то доказательство необходимо провести для каждой из этих величин отдельно.

Пусть X – ДСВ, то есть её закон распределения и закон распределения величины сХ можно представить в виде таблицы:

Тогда .

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности :

.

3.        Для любых случайных величин X и Y  .

                                       Дисперсия случайной величины

        Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание, которое характеризует среднее значение случайной величины.

        Например:

М[Х]= •(-0,01)+ •0,02=0

М[Y]=200•+(-200)• =0

М[Х]=М[Y]

        Математические ожидания равны, но характер их распределения существенно различен: разброс величины Х вокруг ее математического ожидания намного меньше разброса величины Y.

        В двух различных  географических местностях  могут быть одинаковые средние уровни осадков, в двух учреждениях с различным соотношением низко- и высокооплачиваемых ситуациях  может оказаться одна и та же средняя заработная плата и т.д.

        Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения (т.е. разброс значений этой величины), вводят другую ее числовую характеристику дисперсию (или рассеяние).

        На первый взгляд наиболее естественно характеризовать рассеивание с помощью разности между случайной величиной и ее средним значением. Эта разность Х-М[Х] то же является случайной величиной называется отклонением. А если взять ее математическое ожидание М[Х] – М[М[Х]]= М[Х]- М[Х]=0

              Свойства математического ожидания:

Среднее значение отклонения получилось равным нулю, потому что положительное и отрицательное отклонения (т.е. отклонение в ту или иную сторону от среднего) взаимно уравновешиваются.

        В действительности, степень рассеивания должна определяться его абсолютной величиной . Но с трудно ориентировать. Поэтому рассмотрим квадраты отклонения.

Определение: Дисперсией сложной величины х называется число D[Х]=  

    М[(Х-М[Х])2]        (1)

Число  - называется средним квадратичным отклонением случайной величины х.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то средний квадрат отклонения характеризует само отклонение, а точнее .

              Свойства дисперсии:

10        D[cХ]=M[c-M[c]]2=(c-M[c])2•1=0

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

            20        D[cХ]=c2D[Х]

           Доказательство:

D[cХ]=Mc(cХ-M[cХ])2]= M[(cХ-cM[Х])2]= M[c2(Х-M[Х])2]=c2D[Х].

              30        D[Х]=M[Х2]-M2[Х]                (2)

Доказательство:

D[Х]=M[(Х-M[Х])2]=M[Х2]-2(M[Х])2+M[M[Х]2]=M[Х2]-2(M[Х])2+(M[Х])2=M[Х2]-(M[Х])2=M[Х2]-M2[Х]

Формула (2) более удобна для вычисления дисперсии, чем формула (1).

            40        Х,  -  независимых случайных величин D[Х]=D[x]+D[]!

Пример 1.                Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, подчиняется законам распределения.

М[Х]=1•0,3+2•0,2+3•0,5=2,2

M[Y]=1•0,1+2•0,6+3•0,3=2,2

Математическое ожидание числа очков для обоих стрелков одинаково.

D[Х]=M[(Х-M[Х]2)=1.44•0.3+0.04•0.2+0.64•0.5=0.76

D[Y]=1,44•0,1+0,04•0,6+0,64•0,3=0,36

Следовательно, при одинаковом среднем для числа очков, выбиваемых обоими стрелками, рассеяние результатов у первого превышает рассеяние у второго. Таким образом, у второго стрелка большая кучность, то есть результаты его стрельбы более устойчивы.

Заметим, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуется ее математическим ожиданием.

D[Х] и D[Y] проще было считать по формуле (2)

D[Х]= (1•0,3+4•0,2+9•0,5)-2,22=5,6-4,84=0,76

Таким образом, D[Х]=. Следовательно, смысл параметра , входящего в выражение для нормального закона, заключается в том, что  является средним квадратичным отклонением величины Х.