Элективный курс "Элементы математической логики"
методическая разработка (9 класс) на тему

Рабочая программа

элективного курса для 9 –х классов

« ЭЛЕМЕНТЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ЛОГИКИ»

Соколовой Натальи Владимировны,

учителя первой квалификационной категории

2012-2013 учебный год

Пояснительная записка.

Общеизвестно, что умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, экономике и политике. Логика как раз и есть учение о способах рассуждений безотносительно к тому, где и для чего они используются. Элективный курс «Элементы математической логики» предназначен для обучения учащихся умению логически мыслить, что способствует успешному усвоению математических знаний, расширению кругозора, развитию интересов и склонностей к математике.

Данный курс относится к ориентационному типу. Его цель – помочь удостовериться в правильности (или неправильности) сделанного выбора профиля обучения.

Теоретический материал, связанный с понятием математической логики, формально выходит за рамки школьной программы по математике. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя и не так глубоко). Современные требования к уровню математической подготовки предполагают их ясное понимание, умение делать правильные выводы. На преодоление этих трудностей и ориентирован данный элективный курс.

Математической особенностью курса является такое изложение материала, при котором новое содержание изучается на конкретных примерах и задачах занимательного характера. Кроме того, особое внимание уделяется овладению учащимися математическими методами поиска решений, логическими рассуждениями.

Цели элективного курса:

- познакомить учащихся с элементами математической логики, историей ее развития как науки;

- показать роль математической логики для обоснования логического строения геометрии и арифметики;

- обучить простейшим логическим операциям, развивать строгое мышление;

- выработать привычку пользоваться простыми, но фундаментальными математическими идеями.

Основные задачи курса:

1. Сформировать знания:

- основных понятий математической логики;

- простейших логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания;

- методов решения логических задач, поиска оптимального варианта.

2. Сформировать умения:

- логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать факты;

- выдвигать в ходе рассуждений гипотезы, исследовать их совместимость с исходными данными, приходить к заключению (правильному выводу), получать верные утверждения из заданных посылок;

- использовать язык математики для анализа информации.

Основные формы организации занятий:

1. Интерактивные лекции-дискуссии.

2. Работа в группах.

3. Работа с научными текстами.

4. Самостоятельная работа над теоретическим материалом.

5. Практические занятия по решению задач.

6. Домашняя контрольная работа.

7. Выполнение творческих заданий.

Ожидаемые результаты:

- развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

- расширение кругозора.

Программа курса рассчитана на 12 часов. По окончании курса предполагается защита творческих работ.

Содержание курса

1. Введение (2 ч).

Понятие логики. Законы логики в трудах Аристотеля. Силлогизмы, парадоксы (примеры). Что такое математическая логика. Теория доказательств, математическая модель. Развитие математической логики. Формальный язык.

2. Логика высказываний (2 ч).

 Верные, неверные высказывания. Простые и сложные высказывания. Логические связки «или», «и», «если», «не». Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Таблица истинности. Практическое занятие. Решение задач на составление высказываний, определение их вида. Составление высказываний данной логической структуры.

3. Математические софизмы (1 ч).

Понятие математических софизмов. Их роль для обоснования логического строения геометрии и арифметики. Апории (софизмы) мудреца V века до н.э. Зенона Элейского: о стреле, Ахиллес и черепаха. Задача Флавия. Задача на выбор наилучшего варианта.

4. Принцип Дирихле (1 ч).

Сущность принципа Дирихле. Задача «о кроликах в клетке». Популярные задачи на применение принципа Дирихле.

5. Теория графов (2 ч).

Что называется графом в математике? Примеры использования теории графов на практике: при нахождении наилучших вариантов подвоза товаров по магазинам, материалов по стройкам и т.д. Использование графов для решения логических проблем. «Задача коммивояжера». Граф позиционной игры.

6. Решение логических задач (2 ч).

Общие рекомендации по решению логических задач. Сведение анализа задачи к системе записей: схемы, таблицы. Типология задач: лжецы и правдивые, взвешивания, размен денег, переливания.

7. Математические игры и логические головоломки (1 ч).

Математическая теория логических игр. Закономерности ходов. Знакомство с популярными головоломками: морской бой, игра в «15», кубик «Рубика», «Быки и коровы», «Крестики и нолики». Поиск выигрышной стратегии.

8. Защита творческих работ (1 ч).

Темы творческих работ и сообщений:

1. Логика – основа философских идей Платона.
2. «Отец логики» - Аристотель.
3. Система счисления Фибоначчи.
4. Математическая задача раскладывания пасьянсов.
5. Основы математической логики в трудах Г. Лейбница.
6. Дж. Буль. Его вклад в формирование математической логики как научной дисциплины.

Календарно- тематическое планирование

Литература

1. Байиф Ж.К. Логические задачи. – М.: Мир, 1978.
2. Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. – М.: Мир, 1975.
3. Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика. – М.: Мир, 1978.
4. Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. – М.: Наука, 1969.
5. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – М.: Наука, 1978.
6. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978.
7. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.
8. Гжегорчик А. Популярная логика. – М.: Наука, 1978.
9. Гик Е.А. Занимательные математические игры. – М.: Знание, 1982.
10.  Кутасов А.Д. Элементы математической логики. – М.: Просвещение, 1977.
11.  Никольская И.Л. Математическая логика. – М.: Высшая школа, 1981.
12.  Столяр А.А. Как мы рассуждаем. – Минск: Высшая школа, 1968.
13.  Фрейденталь Х. Язык логики. – М.: Наука, 1968.
14.  Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика, 1998.
15.  Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: «Аванта+», 1998.

Приложение

Введение.

Парадоксы:

Читатель, должно быть, помнит курьезный эпизод из романа Сервантеса "Дон-Кихот". Не успел Санчо Панса освоиться со своим губернаторским положением, как ему учинили хитроумное испытание.

    Некое поместье делится на две половины многоводною рекою. Через реку переброшен мост, а поблизости зловеще возвышается виселица. Закон гласит: "Всяк проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою, куда и зачем он идет; кто скажет правду, тех пропускать беспрепятственно, а кто солжет, тех без всякого снисхождения казнить через повешение".

    И надо же было так случиться, что однажды некий человек, приведенный к присяге, заявил: он-де клянется, что пришел сюда, дабы его... вздернули на эту вот самую виселицу и ни за чем другим. Стоило видеть недоумение судей! В самом деле, если позволить чудаку-незнакомцу следовать дальше, то это будет означать, что он нарушил присягу и согласно закону подлежит казни. С другой стороны, как его повесить? Ведь он клялся, будто только затем и пришел, чтобы его повесили, - стало быть, присяга его не ложна, и на основании этого же самого закона надлежит пропустить его неприкосновенным.

    Бедняга Санчо не мог похвастать мудростью библейского царя Соломона. Однако он безропотно взялся за нелегкое дело и ничто же сумняшеся рассудил так: "Ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, что соврала, пусть повесят". "Но, сеньор губернатор, - возразил ошеломленный оппонент, - если разрезать человека на части, то он непременно умрет, и тогда ни та, ни другая статья закона не будет исполнена. Между тем закон требует, чтобы его соблюли во всей полноте!". Сеньор губернатор, окончательно поставленный в тупик, по доброте душевной, посоветовал просто-напросто отпустить странного просителя на все четыре стороны.

    Итак, закон был нарушен. Но что мог поделать добрый простак Санчо, который не умел даже расписаться под своим решением? Ну, а мы, читатели Сервантеса, находясь во всеоружии логики и математики, можем ли мы спустя 400 лет справиться с подобными головоломками? Чтобы разобраться в этом вопросе, нам придется заглянуть в удивительный мир парадоксов, побывать по ту сторону здравого смысла.

    Парадоксы известны с незапамятных времен. Знаменитому критскому философу Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры, приписывается довольно нелестный отзыв о своих соотечественниках: "Все критяне - лжецы". Только вот беда: сам Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он лжец, значит, он возводит напраслину на своих земляков и на себя самого, то есть говорит неправду. Как же все-таки: ложно или истинно высказывание, порочащее обитателей острова - колыбели человеческой культуры?

    Парадокс Эпименида, известный иначе как "парадокс лжеца", встречается еще и в менее афористической, зато более сильной форме: "я лгу", или "высказывание, которое я сейчас произношу, ложно". Стоящее в кавычках выражение, очевидно, не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант парадокса принадлежит Эвбулиду (IV век до н. э.).

Предмет формальной логики

Выяснение специфической особенности логической формы служит предпосылкой для определения предмета формальной логики. Он, как и предмет любой науки, представляет объективный характер. Формальная логика изучает объективно сложившуюся структуру мыслительного процесса, установившиеся связи понятий и суждений при выведении нового знания в умозаключениях. Вполне естественно, что устойчивые связи элементов правильной мысли приобретают характер законов. Анализ таких связей наряду с описанием структурных форм мышления составляет предмет изучения формальной логики. Логика есть наука о законах и формах правильного мышления.

Задача формальной логики - установить правила обеспечения стройности и последовательности истинного мышления. Не охватывая всех сторон познавательного процесса, формальная логика не представляет собой всеобщего метода познания. Законы этой науки остаются специфическими законами мышления, они не распространяются на всю окружающую действительность.

Особенностью предмета формальной логики служит также анализ форм и законов мышления вне их возникновения и развития.

Следует подчеркнуть, что логика берет уже сложившуюся форму, рассматривая ее как нечто устоявшееся, без всякой собственной истории. Сложный процесс формирования и совершенствования внутренней структуры мысли лежит за пределами предмета логики; она раскрывает форму мышления вне связи с историческим развитием познания.

Логическая форма и законы мышления являются общими для всех людей. Внутренняя структура мысли, как и синтаксические правила языка, непосредственно вплетены в конкретную деятельность человека, определяются свойствами и отношениями объективного мира.

Так, вполне очевидно, что в содержательном плане мысли юриста отличаются от мыслей биолога, музыкант думает иначе, нежели экономист; ученый использует в своих исследованиях такие понятия и термины, которые не употребляются в повседневном мышлении.

Однако во многих различных по содержанию мыслях можно обнаружить нечто существенно общее. Общее характеризуется не конкретным содержанием этих мыслей, а схемой, способом построения. Дело в том, что логический строй мышления человека обладает важнейшей особенностью - какую бы словесную оболочку не принимали наши мысли, на каком бы языке они не излагались, они обязательно должны принять общечеловеческие формы. Без этого невозможны осуществление "обмена" мыслями людей разных поколений и профессий, а также взаимное понимание представителей различных стран и народов. Единство человеческого мышления обусловлено единством материального мира и его законов, отражающихся в законах человеческого мышления. Великий русский писатель-мыслитель Л.Н. Толстой не без основания считал, что "мысль - начало всего. И мыслями можно управлять. И потому главное дело совершенствования: работать над мыслями". Управлять мыслью можно по следующим направлениям:

• со стороны содержания, т.е. предельно просто и всесторонне отражать основные признаки исследуемого объекта;
• со стороны логической формы (структуры) нашей мысли, добиваясь ее определенности, непротиворечивости, последовательности и обоснованности.

Язык формальной логики

С чем же связано наличие собственного языка логики как науки? Дело в том, что естественному языку присущи некоторые недостатки, которые не позволяют логике ограничиваться использованием только его.

Основными недостатками естественного языка являются: изменение значения слов с развитием общественной практики и по истечении определенного времени; многозначность некоторых слов; расплывчатость, неопределенность отдельных слов, не позволяющая с их помощью определить предмет науки; несовершенство правил построения выражений, которое в логическом смысле несет на себе печать многозначности понимания вербальной мысли; деление естественного языка на большое количество языков разных стран и народов, в результате чего одна и та же мысль может быть оформлена различными языками.

Формальная логика пытается искоренить данные недостатки в своей области. Это достигается на основе введения специального символического языка. Внутри формальной логики операции с мыслями заменяются действиями со знаками. Общепринятым в современной логике является так называемый язык логики предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения и структуру этого языка.

Важное значение для выявления логической формы мыслей при анализе естественного языка имеет смысловая или семантическая характеристика языковых выражений. В этом плане в формальной логике используются две группы терминов дескриптивные и логические.

Дескриптивные термины (лат.descriptic- описание) - это имена предметов, предикаторы и функциональные знаки. Они выражаются словами естественного языка и на данный момент речемыслительной деятельности адекватно отражают предмет мышления.

Имена предметов - это слова или словосочетания, которые обозначают отдельные предметы или классы однородных предметов.

Предикаторы - это языковые выражения, которые обозначают свойства или отношения, наличие которых в суждениях утверждается или отрицается.

Функциональные знаки - это принятые обозначения предметных функций, операций ( Sin a , "+" и др.).

Логические термины заменяют в естественном языке определенные союзы (логические постоянные, или логические константы).

На основе семантических категорий естественного языка создан специальный алфавит языка логики предикатов.

С помощью приведенного искусственного языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов, систематическое изложение которой осуществляется в символической логике. Нами же элементы языка логики предикатов будут использоваться в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка. Естественные и формальные языки.

 Информация становится понятной, если она выражена языком, на котором говорят те, кому предназначена информация.

В процессе развития человеческого общества люди выработали большое число языков. Примеры языков:

·        разговорные языки (в настоящее время в мире их насчитывают более 2000);

·        языки мимики и жестов;

·        языки чертежей, рисунков, схем;

·        языки науки (математики, химии, биологии и т.д.);

·        языки искусства (живописи, музыки, скульптуры, архитектуры и т.д.);

·        специальные языки (азбука Брайля для слепых, азбука Морзе, Эсперанто, морской семафор и т.д.);

·        алгоритмические языки (блок-схемы, языки программирования).

 Язык –– это знаковая система, используемая для целей коммуникации и познания. Основой большинства языков является алфавит – набор символов, из которых можно составлять слова и фразы данного языка.

Язык характеризуется:

·        набором используемых знаков;

·        правилами образования из этих знаков таких языковых конструкций, как “слова”, “фразы” и “тексты” (в широком толковании этих понятий);

·        набором синтаксических, семантических и прагматических правил использования этих языковых конструкций.

 Все языки можно разделить на естественные и искусственные.

Естественными называются “обычные”, “разговорные” языки, которые складываются стихийно и в течение долгого времени. История каждого такого языка неотделима от истории народа, владеющего им. Естественный язык, предназначенный, прежде всего, для повседневного общения, имеет целый ряд своеобразных черт:

·      почти все слова имеют не одно, а несколько значений;

·      часто встречаются слова с неточным и неясным содержанием;

·      значения отдельных слов и выражений зависят не только от них самих, но и от их окружения (контекста);

·      распространены синонимы (разное звучание - одинаковый смысл) и омонимы (одинаковое звучание - разный смысл);

·      одни и те же предметы могут иметь несколько названий;

·      есть слова, не обозначающие никаких предметов;

·      многие соглашения относительно употребления слов не формулируются явно, а только предполагаются и для каждого правила есть исключения и т.д.

Основными функциями естественного языка являются:

·      коммуникативная (функция общения);

·      когнитивная (познавательная функция);

·      эмоциональная (функция формирования личности);

·      директивная (функция воздействия).

 Искусственные языки создаются людьми для специальных целей либо для определенных групп людей: язык математики, морской семафор, язык программирования. Характерной особенностью искусственных языков является однозначная определенность их словаря, правил образования выражений и правил придания им значений.

Любой язык –– и естественный и искусственный –– обладает набором определенных правил. Они могут быть явно и строго сформулированными (формализованными), а могут допускать различные варианты их использования.

Формализованный (формальный) язык –– язык, характеризующийся точными правилами построения выражений и их понимания. Он строится в соответствии с четкими правилами, обеспечивая непротиворечивое, точное и компактное отображение свойств и отношений изучаемой предметной области (моделируемых объектов).

В отличие от естественных языков формальным языкам присущи четко сформулированные правила семантической интерпретации и синтаксического преобразования используемых знаков, а также то, что смысл и значение знаков не изменяется в зависимости от каких-либо прагматических обстоятельств (например, от контекста).

Большинство формальных языков (созданных конструкций) строится по следующей схеме. сначала выбирается алфавит, или совокупность исходных символов, из которых будут строиться все выражения языка; затем описывается синтаксис языка, то есть правила построения осмысленных выражений. Буквами в алфавите формального языка могут быть и буквы алфавитов естественных языков, и скобки, и специальные знаки и т.п. Из букв, по определенным правилам можно составлять слова и выражения. Осмысленные выражения получаются в формальном языке, только если соблюдены определенные в языке правила образования. Для каждого формального языка совокупность этих правил должна быть строго определена и модификация любого из них приводит чаще всего к появлению новой разновидности (диалекта) этого языка.

Формальные языки широко применяются в науке и технике. В процессе научного исследования и практической деятельности формальные языки обычно используются в тесной взаимосвязи с естественным языком, поскольку последний обладает гораздо большими выразительными возможностями. В то же время формальный язык является средством более точного представления знаний, чем естественный язык, а следовательно, средством более точного и объективного обмена информацией между людьми.

Формальные языки часто конструируются на базе языка математики. Веком бурного развития различных формальных языков можно считать XX век.

С точки зрения информатики, среди формальных языков наиболее значительную роль играют формальный язык логики (язык алгебры логики) и языки программирования.

Возникновение языков программирования приходится на начало 50-х годов XX века.

Языков программирования и их диалектов (разновидностей) насчитывается несколько тысяч. Классифицировать их можно по-разному. Некоторые авторы разбивают все многообразие языков программирования на процедурные и декларативные. В процедурных языках преобразование данных задается с помощью описания последовательности действий над ними. В декларативных языках преобразование данных задается посредством описания отношений между самими данными. Согласно другой классификации, языки программирования можно разделить на процедурные, функциональные, логические, объектно-ориентированные. Однако любая классификация несколько условна, поскольку, как правило, большинство языков программирования включает в себя возможности языков разных типов. Особое место среди языков программирования занимают языки, обеспечивающие работу систем управления базами данных (СУБД). Часто в них выделяют две подсистемы: язык описания данных и язык манипулирования

Формально-логические законы

Формально-логические законы складывались и развивались по мере развития разума. Эти законы - своеобразная фиксация свойств и признаков, постоянно наблюдаемых в реальной жизни: таких как определенность, уникальность и стабильность объектов окружающего мира. Но здесь должно быть четкое понимание: логические законы - это не фиксация конкретных законов развития мира. Будучи аналитическими предложениями, они не могут ничего сказать о фактическом мире. Это именно законы правильного построения мыслительных цепочек. В этом смысле - как выразители признаков правильного мышления - они действуют в абсолютно любом рассуждении, к чему-бы оно ни применялось. Таким образом - логические законы относятся только к форме мышления, а не к его объекту.

Поэтому формально-логические законы абсолютно глобальны в социально-культуральном смысле - они действуют во все времена и во всех странах, люди разных национальностей и разной культуры мыслят логически, используя одни и те же законы.

Собственно - вот эти законы:

Закон тождества

Закон непротиворечия

Закон исключенного третьего

Закон достаточного основания

Исходя из самого названия, правильное мышление должно удовлетворять некоторым обязательным правилам, подчиняться некоторым законам, не зависящим от конкретных точек его приложения. И подобными правилами выступают законы формальной логики. Так как я буду подходить к каждому из этих законов с методологической меркой, я построю их рассмотрение по следующей схеме:

формулировка закона-метода

краткий комментарий

выводы - применительно к мыслительным тактикам

результат - применительно к мыслительной стратегии

Первый закон - закон тождества

Формулировка: всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

Комментарий: Как видим - все достаточно просто. Если подчиняться закону тождества, то нельзя в процессе рассуждения заменять какое-либо понятие другим понятием, любая подмена понятий недопустима. Это требование очевидно, но на практике такие подмены имеют место практически всегда. Ведь одну и туже мысль можно выразить на разных языках и в различной форме, что нередко приводит к изменению первоначального смысла понятия, к подмене одной мысли другой. Многие языки содержат синонимы и омонимы, которые являются просто генераторами ошибок, связанных с нарушением первого закона. Классический пример - слово "субъект", которое может привести к полной логической неразберихе. Как вам такое предложение: "Данный субъект, являясь объектом исследования, не может оказаться его субъектом"?...

Закон тождества даже интуитивно кажется в высшей степени простым и очевидным. Но существуют не только случаи его неправильного применения (точней - неприменения), но также и неверные интерпретации этого закона. Заявлялось, например, что из закона тождества следует то, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Подобные интерпретации - просто неумение применить законы формальной логики к собственным рассуждениям. Закон ничего не говорит о способности чего-либо к изменениям. Если применять его в этом смысле, то можно заявить только то, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается неизменной, то она остается неизменной.

Вывод: нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные.

Результат применения: закон тождества обеспечивает определенность логического мышления.

Второй закон - закон непротиворечия

Формулировка: два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными; по крайне мере одно из них необходимо ложно.

Комментарий: я начну его с известного всем парадокса об абсолютной броне и абсолютном снаряде: Может ли снаряд, пробивающий абсолютно все, пробить броню, которая абсолютно ничем не пробиваема?

Для ответа на этот парадокс достаточно еще раз взглянуть на формулировку второго закона, чтобы получить правильное решение:

При заданных условиях задача логически противоречива: всепробивающий снаряд и неразрушимая броня не могут существовать одновременно.

Если первый закон выражает отношение логической однозначности, то второй - отношение логической несовместимости. Он действует в отношении любых противоположных суждений - и противных (контрарных) и противоречащих (контрадикторных). Итак - оба противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, по крайне мере одно из них необходимо ложно.

О том, каким может быть второе утверждение, закон непротиворечия не говорит. В основе закона непротиворечия лежит качественная определенность вещей и явлений, относительная устойчивость их свойств. Но нужно четко понимать, что второй закон отрицает только логические противоречия. Это отрицание не имеет никакого отношения к противоречиям реальной действительности. Формально-логические противоречия - это не противоречия объективной действительности, а противоречия неправильного рассуждения.

Интересно, что постоянно предпринимаются попытки оспорить закон непротиворечия - буквально со времен Аристотеля, впервые его сформулировавшего. Основная часть подобных попыток связана с неверным толкованием понятия "логическое отрицание". Логическое отрицание имеет место тогда, и только тогда, когда высказывание и его отрицание совпадают абсолютно во всем (т.е. относятся к одному и тому же объекту, рассматриваемому в одном и том же отношении), кроме одной единственной вещи: то, что утверждается в одном высказывании, отрицается в другом. Если это простое правило не соблюдается - противоречия фактически нет, поскольку нет отрицания.

Пример: На вопрос, хочу ли я есть, я отвечаю: "И да и нет". Противоречие, вроде бы, налицо, ведь формально-логически невозможно в одно и то же время одновременно и хотеть и не хотеть одного и того же. На самом деле такой ответ может быть вполне осмысленным, и приниматься за противоречивый только ввиду его лаконичности. Если попросить меня объяснить (развернуть) свой ответ, я скажу : "Если приготовлен шашлык, я, пожалуй, поем, в остальных случаях - воздержусь".

Противоречие исчезает сразу, как только выясняется, что утверждение относится к одному объекту (шашлык), а отрицание - к другому (вся остальная еда). Таким образом, в основе подобных противоречий - не нарушение второго закона логики, а риторика и метафоричность, цель которых - кажущаяся парадоксальность высказывания. Эта цель чаще всего достигается путем банального несоблюдения первого закона - закона тождества (объекта, времени или отношения): "Я и спал, и не спал", "Ни жив ни мертв", "Песня слышится, и не слышится", "Умный, но дурак" и пр. Подобные (логически-мнимые) противоречия широко применяются в художественной литературе и в бытовых диалогах, но они не несут логической нагрузки. Литературные цели применения подобных оборотов неисчерпаемы: усиление выразительности, ироничности, скрытая насмешка или подсказка и пр. "Он был чертовски умен - даже знал таблицу умножения на шесть", "Да она просто немая - говорить не более ста слов в минуту" - я думаю, комментарии излишни.

Если принять, что истинно такое высказывание, которое соответствует действительности, а ложное - то, что ей не соответствует, то закон непротиворечия можно будет сформулировать так: "Ни одно высказывание не является одновременно и истинным и ложным". В такой формулировке закон особенно убедителен, т.к. истина и ложь - две несовместимые характеристики высказывания. Истинное высказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Тот, кто отрицает закон противоречия, должен признать, что в этом случае одно и то же высказывание может соответствовать реальному положению вещей и одновременно не соответствовать ему. В таком случае сами понятия истины и ложности становятся бессмысленными, в том числе - и как критерии оценки знания.

Вывод: Утверждая что-либо о каком-либо объекте, мы не можем, не противореча себе, отрицать то же самое о том же самом объекте, взятом в то же самое время и в том же самом отношении.

Результат применения: второй закон обеспечивает непротиворечивость и последовательность мышления, способность фиксировать и исправлять всякого рода противоречия в своих и чужих рассуждениях.

Третий закон - закон исключенного третьего

Формулировка: два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными: одно из них необходимо истинно; другое - необходимо ложно; третье суждение исключено.

Или - более краткий вариант: "Из двух противоречащих друг другу суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано".

Истинность отрицания равнозначна ложности утверждения. В силу этого закон исключенного третьего можно передать и так: "Каждое высказывание является или истинным или ложным".

Комментарий: Само название закона выражает его смысл: дело может обстоять только так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его отрицание, и никакой третьей возможности нет. Если закон непротиворечия утверждает, что из двух противоположных высказываний одно - необходимо ложно, то закон исключения третьего говорит, что одно из них - обязательно истинно. А так как одно и то же высказывание не может быть одновременно и истинным и ложным, то имеем то, что одно из этих высказываний обязательно истинно, другое - ложно, а какому-нибудь третьему варианту просто не остается места.

Поскольку закон исключенного третьего действует только в отношении противоречащих суждений, из которых одно необходимо истинно, а другое необходимо ложно, то рассуждение ведется по формуле: "ИЛИ-ИЛИ" ("Или пришел, или НЕ пришел", "Или живой или НЕ живой", "Или черный, или НЕ черный" и пр). Таким образом - даже еще не ознакомившись с каким-то утверждением (например - гипотезой), мы зарание планируем только два вида развития событий - эта гипотеза может оказаться либо истинной, либо ложной. Других вариантов просто нет. Существует масса ироничных обыгрываний этого закона - ведь сказать о чем-то, что оно "либо есть, либо нет" - фактически не сказать ничего. Помните анекдот о том, что "могу копать, а могу и не копать"? Но вся эта ирония уместна лишь в том случае, если закон применяется на неверном поле - когда при помощи него пытаются или найти истину, или сформулировать заключение о реальном мире. Но закон исключенного третьего и не призван указывать, какое именно из данных суждений истинно. Этот вопрос решается при помощи практики, устанавливающей соответствие или несоответствие суждения объективной действительности. Однако этот закон задает направление нашего мышления в поиске истины - возможно только два решения вопроса, причем одно из них необходимо является истинным. Всякое третье, среднее решение исключено.

Из истории логики: Гегель весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего. Последний он представлял, в частности, в такой форме: "Дух является зеленым или не является зеленым", и задавал "каверзный" вопрос: какое из этих двух утверждений истинно? Ответ на этот вопрос не представляет, однако, труда. Ни одно из двух утверждений: "Дух зеленый" и "Дух не зеленый" не является истинным, поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только к осмысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными. Бессмысленное же не истинно и не ложно. Гегелевская критика логических законов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которого у них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения. Случай с критикой закона исключенного третьего - один из примеров такого подхода.

Критика закона исключенного третьего (Л.Бауэр) привела к созданию нового направления в логике - интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди отброшенных, например, оказывается доказательство путем приведения к противоречию, или абсурду.

Обращаю внимание на суть любой критики законов формальной логики: все сторонники концепции "расширения" формальной логики сдвигают центр тяжести логических исследований с изучения правильных способов рассуждения на разработку каких-либо конкретных проблем: теории познания, причинности, индукции и т.д. В логику вводятся темы, интересные и важные сами по себе, но не имеющие отношения к собственно формальной логике, как к набору приемов правильного мышления. Закон исключенного третьего, не рассматривая самих противоречий, запрещает признавать одновременно истинным или одновременно ложным два противоречащих друг другу суждения. В этом и состоит его смысл.

Вывод: нельзя уклоняться от признания истинным одного из двух противоречащих друг другу высказывай и искать нечто третье между ними.

Результат применения: достигается однозначность логического мышления.

Четвертый закон - закон достаточного основания

Формулировка: всякая истинная мысль имеет достаточное основание.

Комментарий: Этот закон фактически заявляет то, что все мысли которые можно объяснить, считаются истинными, а те которые объяснить нельзя - ложными. В логике высказываний этот закон формулы не имеет, так как он имеет содержательный характер. На этом стоит остановиться несколько подробней:

Достаточным, т. е. действительным, невымышленным основанием наших мыслей может являться индивидуальная практика. Действительно, истинность некоторых суждений подтверждается путем их непосредственного сопоставления с фактами действительности  (Пример: "[Истинно, что]Идет дождь", "[Является ложью то, что]Я был в Акапулько"). Но личный опыт ограничен. Поэтому в реальной деятельности всегда приходится опираться на опыт других людей. Благодаря развитию научных знаний субъект использует в качестве оснований своих мыслей опыт предшественников, закрепленный в законах и аксиомах науки, в принципах и положениях, существующих в любой области человеческой деятельности. Для подтверждения какого-либо частного случая нет необходимости обращаться к его практической проверке, обосновывать его при помощи личного опыта. Если, например, мне известен закон Архимеда, то мне совсем не обязательно искать ванну с водой, чтобы, поместив туда предмет, выяснить, сколько он потерял в весе. Закон Архимеда будет достаточным основанием для подтверждения этого частного случая.

Целью науки является не только добывание знания, но и его передача. Именно поэтому недопустимы никакие логические огрехи в формальном представлении уже добытого знания. Таким образом - знание должно быть логически контролируемым. Именно это оптимально для его сохранения, передачи и развития. И именно поэтому научное знание, как совокупность уже доказанных логических предложений, может служить основанием для последующих доказательных рассуждений.

Закон достаточного основания фактически сводится к следующему требованию: "всякое суждение, прежде чем быть принятым за истину, должно быть обосновано". Таким образом из этого закона вытекает, что при правильном рассуждении ничто не должно приниматься просто так, на веру. В каждом случае каждого утверждения следует указывать основания, в силу которых оно считается истинным. Как видим - закон достаточного основания изначально выступает, как методологический принцип, обеспечивающий способность мышления поставлять основания к последующим рассуждениям. Ведь все, что уже корректно доказано, можно положить в основу последующим доказательствам.

Вывод: достаточным основанием какой либо мысли может быть любая другая, уже проверенная и признанная истинной мысль, из которой вытекает истинность рассматриваемой мысли.

Результат применения: закон обеспечивает обоснованность мышления. Во всех случаях, когда мы утверждаем что-либо, мы обязаны доказать свою правоту, т.е. привести достаточные основания, подтверждающие истинность наших мыслей.

Логика высказываний

 Верные, неверные высказывания. Простые и сложные высказывания. Логические связки «или», «и», «если», «не». Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Таблица истинности. Практическое занятие. Решение задач на составление высказываний, определение их вида. Составление высказываний данной логической структуры.

Остановимся пока на следующих обозначениях: отрицание

"неверно что ...", "не ..."

~a.

конъюнкция

"... и ..."

a & b (a, b - конъюнкты).

дизъюнкция

"... или ..."

a v b (a, b - дизъюнкты).

импликация

"если ..., то ..."

a => b (a - основание, b - следствие).

эквивалентность (равнозначность)

"... тогда и только тогда ...", "... если и только если ..."

a <=> b.

         Пример .

В качестве исходного материала возьмём высказывание:"ДУЕТ ВЕТЕР" и "ИДЕТ ДОЖДЬ"

Тогда высказывание "НЕВЕРНО, ЧТО ВЕТЕР ДУЕТ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ИДЕТ ДОЖДЬ" является сложным по отношению к исходным.

Обозначим буквой P высказывание "ДУЕТ ВЕТЕР" , а буквой Q высказывание "ИДЕТ ДОЖДЬ". Тогда из сложного высказывания мы видим, что вначале было построено высказывание "ВЕТЕР ДУЕТ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ИДЕТ ДОЖДЬ", а потом с его помощью путём применения связки НЕ ("НЕВЕРНО, ЧТО") - уже окончательное утверждение. Таким образом, нашему анализу соответствует формула:           ¬( P ~ Q )        

Логическое высказывание. Значение высказывания

1. Чтобы переводить переводить задачи в форму, понятную компьютеру, нужно не только уметь составлять алгоритмы и описывать объекты. Для решения некоторых задач нужно научить компьютер делать выбор. Например, в алгоритме с ветвлением компьютер выбирает очередное действие в зависимости от какого-то условия:

Если         парта дальше третьей

То          –  Увеличить число на 3

Иначе   –  Увеличить число на 6

2. Но компьютеру можно поручить и более сложный выбор, научить его рассуждать, делать выводы.

3. Предложить выбрать из трех предложений такое, в котором сообщается факт:

Сколько сейчас времени?

Посмотрите, пожалуйста, на часы!

Сейчас два часа сорок минут.

4. Сделать вывод: факт сообщается в повествовательном предложении, а не в вопросительном или побудительном.

5. Итак, если мы сообщаем какой-то факт, то мы что-то утверждаем. Но наше утверждение может оказаться верным или неверным.

6. Оценить каждое утверждение (устно):

Страус летает (неверно)

В здании нашей школы четыре этажа.

В конце вопросительного предложения ставиться точка (неверно)

Сегодня вторник.

Сумма двух нечетных чисел – нечетное число (неверно)

7. Компьютеру должны быть заранее известны все выводы, к которым он может прийти в конкретной задаче, и все условия, на основании которых можно сделать эти выводы.

8. Любое условие и любой вывод можно записать с помощью логического высказывания – предложения, которое что-то утверждает. В одних ситуациях это утверждение может быть верно, а в других – неверно. Поэтому высказывание может иметь одно из двух значений: «истина» или «ложь».

9. Значение "истина" принято обозначать цифрой 1, а значение "ложь" – цифрой 0.

Вопросы:

Что такое высказывание?

Какие у него могут быть значения?

У какого высказывания значение равно нулю? Единицы?

Дома:

Придумайте новые высказывания для следующих объектов:

Удочка, фонарь, соль, книга, червяки, пряник, палатка.

Впиши значения своих высказываний для всех предметов.

3. Математические софизмы).

Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Песенка английских студентов.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев! Приведем пример софизма. Если равны половины, то, равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит ,полное-то же самое, что и пустое.

К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи ,не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается,  но никогда не обращается в ноль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.