Методические рекомендации для обучающихся по теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей"
методическая разработка (10 класс) на тему

Методические рекомендации для обучающихся по изучению темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»  учебной дисциплины «Математика»

На изучение темы  отводится 12 часов: 8  аудиторных часов и на самостоятельное изучение 4 часа.

Методические рекомендации содержат теоретический материал по теме; примеры решений задач; задачи для решений с ответами

Теоретический материал

Комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных элементов.

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” .

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Правило комбинаторики (умножения) – если элемент А можно выбрать п способами, элемент В выбрать m способами, то комбинацию , состоящую из А и В элементов можно выбрать n • m способами.

1. Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: на слайде

2.Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Ответ:151200 способов

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А243. По формуле находим

Ответ: 12144 способа

3.Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

Ответ: 120 комиссий.

Задачи для решения на закрепление

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

                      забега на 5-ти беговых дорожках?  

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая      

                      цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно  Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

            Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                

                       девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          

                  варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        

                  считаются разными, поэтому:

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                      6, 7, 8, 9  при условии, что в записи числа каждая цифра используется только                

                      один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из  

                  трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

                  расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

                  и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

                  элементов по три.

                  По формуле числа размещений находим:

Ответ:  504 трехзначных чисел.

Задача№5  Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  

                     человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

                   возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из  7

                   человек. Искомое число способов равно 

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                       распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

                                                                Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                       10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                        побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

                                                                                   Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                       зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

                  второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из    

                  оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

                  Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

                                              Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.                                                                                                                                                                Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                      время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:   способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10. В 9  классе учатся 7 учащихся, в 10  - 9 учащихся, а в 11  - 8 учащихся. Для

                       работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

                       трех – из 10,  и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора  

                       учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

                  первой совокупности (С72)  может сочетаться с каждым вариантом выбора из    

                  второй (С93)  ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81)  по правилу  

                  умножения получаем:

                                                                                                 Ответ: 14 112 способов.

Разработчик: Короткова Н.Н. преподаватель математики

              Одобрено на заседании ПЦК  25.10.2014г. протокол  №3