коммутативные полугруппы натуральных чисел
проект на тему
В данной работе представлены: история исследования коммунитативных полугрупп натуральных чисел и результаты экспериментов по вычислению множества исключений при сложении коммунитативных полургупп.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 34.78 КБ |
Предварительный просмотр:
Проектная работа на тему: «Сложение коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения.»
Выполнила : Кувыкова Дарья Сергеевна
Содержание.
- Вступление. Почему выбрана данная тема?
- Цели работы.
- Определение полугруппы, натуральных чисел.
- История исследования полугрупп, замкнутых относительно сложения.
- Мои эксперименты.
- Результаты экспериментов.
- Вывод.
- Использованная литература.
Вступление. Почему выбрана данная тема?
На одном из семинаров по предмету « Понятийный аппарат математики» мной было замечено, что при сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a =2, а b-любое нечетное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\{все нечетные натуральные числа до b}.
Я решила выяснить, есть ли какая-нибудь закономерность для вычисления множества исключений при сложении полугрупп натуральных чисел, где a- нечетное число; b-нечетное число,a-четное число; b-четное число,a-четное число;b-нечетное число, и , по возможности, установить ее.
Цели:
- Дать определение полугрупп.
- Дать определение натуральных чисел.
- Изучить историю исследования полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения.
- Самой исследовать такие полугруппы, провести эксперименты.
- На основе наблюдения и результатов экспериментов составить, если это возможно, формулу или алгоритм вычисления результата сложения двух коммуникативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения.
Полугруппы натуральных чисел.
Полугруппа – множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.
Бинарной операцией на множестве S называется отображение множества всех упорядоченных пар (x, y) элементов из S в множество S, то есть правило, сопоставляющее любой такой паре вполне определенный элемент из S - результат применения данной операции к x и y. В зависимости от выбора символа для обозначения операции указанный результат обозначается как x + y, x + y, x " y, x ╒ y, x ╥ y и т.п. Операция + называется ассоциативной, если она удовлетворяет тождеству ассоциативности (по школьной терминологии, сочетательному закону): для любых x, y, z
(x + y) + z = x + (y + z).
Полугруппой называется всякое множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией. Полугруппа S с операцией + называется коммутативной, если для любых x, y k S
x + y = y + x.
Если полугрупповая операция обозначена знаком + [знаком " или отсутствием знака], то ее называют сложением [умножением] и говорят об аддитивной [мультипликативной] полугруппе.
Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:
- подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, …);
- обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход, то есть ноль не считается натуральным числом. Второй подход встречается у некоторых зарубежных авторов — например, он принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Кроме того, отсчёт с нуля широко распространён в программировании (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся натуральное число, большее чем .
Примеры коммуникативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения:
3 +7; 4+11; 2+5 и т.д.
История исследования.
«За годы изучения этой темы опубликовано более 600 статей и более 500 тезисов докладов на различных конференциях, главным образом всесоюзных и международных. При этом более 270 статей напечатано в центральных отечественных математических журналах, более 130 - в международных журналах или трудах международных конференций, более 110 - в "Математических записках Уральского университета" (выходивших в 60-80-х годах). Отмечу обобщающие публикации по областям исследований, которым в семинаре уделялось особенно большое внимание и в которые участники семинара внесли заметный (а в некоторых вопросах - определяющий) вклад. Это обзорные статьи [6]-[13], а также монографии [14] и [15]; вторая из монографий представляет собой не просто английский перевод, а модифицированную и расширенную версию первой. Несколько из упомянутых обзорных статей, как непосредственно видно по их названиям, посвящены проблематике тождеств и другим аспектам теории многообразий. В указанных трудах обозреваются все основные достижения в соответствующих областях, принадлежащие многочисленным авторам из разных стран. Глава [16] справочной монографии по общей алгебре посвящена алгебраической теории полугрупп в целом и дает имеющий энциклопедический характер развернутый очерк этой теории (включая приложения к теориям формальных языков, автоматов и кодов) по состоянию на начало 90-х годов. Аналогичный характер имеют более ранние публикации автора данной заметки в Большой советской энциклопедии (3-е изд.) и пятитомной Математической энциклопедии (1977-1985): для первой была написана статья "Полугруппа", для второй - цикл из 40 статей по теории полугрупп. Недавно несколькими участниками семинара (М. В. Волковым, А. П. Замятиным и И. О. Коряковым) под руководством и при участии автора данной заметки подготовлен цикл из 11 статей для однотомной энциклопедии "Дискретная математика", выход которой в 2001 году.
Помимо оригинальных публикаций, определенное внимание было уделено нами и переводам на русский язык нескольких фундаментальных зарубежных трудов в областях, входящих в круг интересов участников семинара. Это двухтомная монография [17], основным переводчиком которой был В. А. Баранский (он перевел 11 глав из 12, одна глава переведена В. Г. Житомирским), монография [18] и учебное пособие [19], переведенные И. О. Коряковым.» , - по Л.Н. Шеврину.
Мои эксперименты.
На одном из семинаров по предмету « Понятийный аппарат математики» мной было замечено, что при сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a =2, а b-любое нечетное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\{все нечетные натуральные числа до b}.
Я решила выяснить, есть ли какая-нибудь закономерность для вычисления множества исключений при сложении полугрупп натуральных чисел, где a- нечетное число; b-нечетное число,a-четное число; b-четное число,a-четное число;b-нечетное число.
Я провела следующие эксперименты:
Пусть a=3, b=7, тогда
3+7=\{1,2,4,5,8,11};
Пусть a=5, b=7, тогда
5+7=\{1,2,3,4,6,8,9,11,13,16,18,23};
Пусть a=4, b=5, тогда
4+5=\{1,2,3,4,6,7,11};
Пусть a=2, b=4, тогда
2+4=2;
Пусть a=11, b=7, тогда
11+7=\{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,13,15,16,17,19,20,23,24,26,27,30,31,34,37,38,41,45,48,52, 59};
Пусть a=2, b=5, тогда
2+5=\{1,3};
Пусть a=2, b=11, тогда
2+11=\{1,3,5,7,9}.
Результаты исследования.
При сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a =2, а b-любое нечетное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\{все нечетные натуральные числа до b}.
При сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a - четное натуральное число, а b- четное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\пустое множество.
Для вычисления результата сложения двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, где а – нечетное число, а b – четное число и а,b - нечетные числа мною выведен алгоритм, который я приведу ниже.
Алгоритм.
- Сумма будет равна НОД (а,b).
- Во множество исключений войдут: все числа, меньшие меньшего из чисел а и b.
Например, если а < b,то все числа, меньшие а.
- Определяем наибольшее число множества исключений по формуле:
m (искомое число)= аb-(a+b).
- Сравниваем числа: b, a+b, 2a. Вписываем во множество исключений все числа, большие а, но меньшие меньшего их этих чисел.
Например, если b – наименьшее из этих чисел, то во множество исключений войдут все числа, большие а (т.к. а < b), но меньшие b.
- Поочередно вычитаем из числа m: a n раз, b d раз, a+b c раз,( где n, d, c – любые числа), пока в результате вычитания мы не получим одно из полученных ранее нами чисел .
Например, пусть a=5, b=7, тогда
5+7=\{1,2,3,4,6,8,9,11,13,16,18,23};
Где 1,2,3,4-числа, меньшие а; 6- число между a и b (т.к. в данном случае b – наименьшее из чисел a+b, 2а, b); 8, 9, 11, 13, 16,18 – результаты поочередного вычитания из наибольшего числа множества исключений чисел a n раз, b d раз, a+b c раз,( где n, d, c – любые числа); 23 – наибольшее число множества исключений, выведенное по приведенной выше формуле.
Вывод.
Мною были проведены описанные выше эксперименты и получен алгоритм вычисления множества исключений от результатов сложения двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN, где а – нечетное число, а b – четное число и а,b - нечетные числа, которое было мною представлено выше.
При сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a =2, а b-любое нечетное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\{все нечетные натуральные числа до b}.
При сложении двух коммутативных полугрупп натуральных чисел, замкнутых относительно сложения, в результате сложения aN+bN(если a –четное число, а b-четное натуральное число) мы получаем НОД(a,b)\пустое множество.
Поставленные во вступлении цели достигнуты, работа выполнена полностью.
Литература.
1.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D4%F0%EE%E1%E5%ED%E8%F3%F1%E0
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница
3. http://dxdy.ru/topic9137.html
4. http://enc-dic.com/enc_math/Perrona---frobeniusa-teorema-3104.html
6.https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EE%EB%F3%E3%F0%F3%EF%EF%E0
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/26/picture-302148-1380195112.jpg)
Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел. НОД и НОК натуральных чисел
урок алгебры в 10 классе...
«Натуральный ряд. Округление натуральных чисел.» 5 класс, ФГОС
Дидактические цели:обобщить и систематизировать знания и представления о натуральных числах: - обучающие: продолжить формирование у учащихся представления о натуральных ч...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/10/picture-561496-1420886305.jpg)
Методическая разработка урока по математике в 5 классе " УРОК–ПУТЕШЕСТВИЕ К ОСТРОВУ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ "
Урок-путешествие. Первый урок математики в 5 классе позволяет повторить знания, полученные в начальной школе,с использованием игровых технологий....
![](/sites/default/files/pictures/2015/11/04/picture-544286-1446613539.jpg)
Ряд натуральных чисел. Десятичная система записи натуральных чисел_5 класс_первый урок математики
Урок изучения нового материала, схемы, задания для устной работы....
Презентация по теме "Натуральные числа. Десятичная запись натуральных чисел"
Презентация к уроку математики в 5 классе по теме "Натуральные числа. Десятичная запись натуральных чисел"...
Натуральные числа и нуль. Множество натуральных чисел и его свойства. Различие между цифрой и числом. Рождение шестидесятеричной системы счисления. Появление десятичной записи чисел
презентация к уроку...
![](/sites/default/files/pictures/2018/01/31/picture-184555-1517402018.jpg)
РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.ЦИФРЫ.ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
Презентация к уроку математики в 5 классе на тему:"РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.ЦИФРЫ.ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ."...