олимпиада по математике 10 класс
олимпиадные задания (10 класс) на тему

Олимпиада ВОШ 2014-2015 (школьный этап)

10 класс

1.   По определению, n ! = 1 · 2 · 3 ·...· n .
   Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! ·2! · 3! · ... · 20!,  чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

2.   М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

3. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

                               
4. Решите неравенство :       

5.   На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
Кто выиграет при правильной игре?

Олимпиада ВОШ 2014-2015 (школьный этап)

10 класс (ответы и решения)

1. Ответ. 10! 

    Решение.

    Заметим, что

1! · 2! · 3! · 4! ·...· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·...· (19! · 20!) =
= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·...· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·...· (19!)2 · (2 · 4 · 6 · 8 ·...· 18 · 20) =
= (1!)2 · (3!)2 · (5!)2 ·...· (19!)2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·...· (10 · 2)) =
= (1! · 3! ·...· 19!)2  · 210 · (1 · 2 · 3 ·...· 10) = (1! · 3! ·...· 19!)2  · (25)2 · 10!
Мы видим, что первые два множителя квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат.
Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата.

2.  Ответ. Хватит.
    Решение. Пусть первоначально квас стоил  х%  от денежки,   а хлеб – (100-х)%.

     После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс .   Отсюда . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.

3. Ответ. 1996.

    Решение. Первая цифра  числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», - любой из пяти ( 0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4·10·10·5= 2000;  так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

4. Ответ. 3.

    Решение.   Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

5. Ответ.  Выигрывает 1-ый при правильной стратегии.

    Решение.  Опишем стратегию первого игрока.
Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.
Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101– х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101– х)  нечетное число от 1 до 99).
Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т.е. проиграет.