Выпускная контрольная работа
материал на тему

Оглавление

Введение        

Глава 1. Основы теории задач на построение в школьном курсе геометрии        

1.1. Геометрические построения на плоскости        

1.2. Схема решения задач на построение        15

1.3. Задачи на построение в школьном курсе геометрии 7 - 9 _        22

Глава 2. Методика обучения решению задач на построение в школьном курсе геометрии        28

2.1. Организация учебно-исследовательской деятельности на основе задач на построение с практическим содержанием        28

2.2. Проектирование уроков по геометрии по теме «Задачи на построение» в 7-9 классах ……………………………………………………   45

Заключение        58

Список литературы        60

Введение

Актуальность исследования. Геометрические построения являются важным элементом математической подготовки школьников. Установлено, что задачи на построение являются эффективным средством развития математической инициативы, нестандартного мышления и логических навыков учащегося. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений [11, c. 34].

Различные аспекты проблемы изучения геометрических построений нашли отражение в истории развития передовых идей в методике геометрии.

Анализ содержания школьного математического образования, проведенный учеными-методистами,  позволил выявить ряд недостатков в обучении школьников решению задач на построение:

1. Наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач на построение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления и воспитание учащихся, и проявляется в виде воздействия на мышление учеников, в первую очередь на логическое. В большинстве случаев, считается, что главная и единственная цель обучения решению таких задач – это формирование практических умений и навыков построения основных геометрических фигур: треугольников, перпендикуляров, биссектрис и т.п. То есть основное внимание уделяется практическому значению задач, при этом совершенно не рассматривается вопрос развития логического мышления учеников и возможности использования задач на построение при изучении геометрии.

2. Знания учащихся по данной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требует учитель – это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом не объясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ученик вынужден запоминать материал без понимания.

3. В настоящий момент в школе недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных методов решения задач на построение как метод преобразований, алгебраический метод, метод геометрического места точек.

4. У учащихся нет четкого представления об этапах решения задач на построение: анализе, построении, доказательстве и исследовании, которые точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. Практически не уделяется внимание одному из важных этапов – исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря на то, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логического мышления.

Сказанное выше определило актуальность данного исследования.

Теоретико – методологическая база исследования. Исследования в области геометрии (Е.В. Потоскуев, В.А. Смирнов, И.Р. Высоцкий,                Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, Л.М. Фридман и др.), в частности, в теории геометрических построений, в решении сложных задач геометрии получили всемирное признание.

 Объект исследования: процесс обучения геометрии учащихся в курсе основной школы 

Предмет исследования: геометрические задачи на построение в школьном курсе планиметрии.

Цель исследования: разработать методику обучения решению планиметрических задач на построение в школьном курсе геометрии.

Задачи исследования:

1. Изучить основы теории планиметрических задач на построение.  

2. Спроектировать дидактическое обеспечение и конспекты уроков по теме "Геометрические задачи на построение".

Краткое содержание:

Глава 1. Основы теории задач на построение в школьном курсе геометрии

1.1. Геометрические построения на плоскости

1.2. Схема решения задач на построение

1.3. Задачи на построение в школьном курсе геометрии 7 - 9

Глава 2. Методика обучения решению задач на построение в школьном курсе геометрии

2.1. Организация учебно-исследовательской деятельности на основе задач на построение с практическим содержанием

2.2. Проектирование уроков по геометрии по теме «Задачи на построение» в 7-9 классах.  

Основы теории задач на построение в школьном курсе геометрии

1.1. Геометрические построения на плоскости

История развития теории геометрических построений

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI—V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. До н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. До н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. До н. э.), Папп (III в. Н. э.) и многие другие.

Математиками пифагорейской школы была решена сравнительно сложная задача о построении правильного пятиугольника. В V в. До н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла. Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. До н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ— построение — доказательство — исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. До н. э., ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» — эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних [16, c. 35].

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Эта традиция до сих пор сказывается в школьном курсе геометрии. С другой стороны, именно греки первые стали привлекать для геометрических построений другие средства, отличные от циркуля и линейки. Так, например, Платон около 400 г. До н. э. решал задачу об удвоении куба с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками. Ту же задачу решали с помощью различных кривых Никомед (с помощью конхоиды), Диоклес (с помощью циссоиды), Папп и другие.

Древнегреческие геометры успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки. Так, например, Аполлоний Пергский решил известную задачу, носящую его имя: «Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей». Некоторые вопросы алгебры связывались в то время учёными с решением конструктивных задач. Например, решение уравнений первой и второй степени греки давали в геометрической форме. При этом корни уравнений находились с помощью определенных геометрических построений.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени. Достаточно сказать, что некоторые задачи, решённые древнегреческими математиками, оказались не под силу математикам первых полутора тысячелетий нашей эры. Так, например, задача Аполлония, решение которой было утрачено, была снова решена только в XVI в. (её решил известный французский математик Франсуа Виет).

Только в новое время (XVII—XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с созданием новых разделов математики. С другой стороны, и вопросы конструктивной геометрии наряду с другими стимулами способствовали созданию новых математических теорий и методов. В тесной связи с геометрическими построениями оказались аналитическая геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия, теория алгебраических уравнений (в частности, вопросы приводимости уравнений), теория алгебраических и трансцендентных чисел, теория аналитических функций [10, c. 26].

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс и другие. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений. Независимо от Виета,  Декарт, Ньютон, Эйлер дали свои решения задачи Аполлония, а Ферма решил аналогичную задачу для пространства. Декарт, создатель аналитической геометрии, успешно применял метод координат к решению задач на построение.

В XVII—XIX вв. разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Уже Леонардо да Винчи (1452—1519) рассматривал построения с помощью линейки и циркуля постоянного размаха. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой. К не менее интересным выводам приходят основоположники проективной геометрии Штейнер (1833), Понселе (1822), исследовавшие геометрические построения, выполняемые линейкой при наличии начерченной окружности с отмеченным центром.

После работ этих авторов появляется ряд исследований о построениях с помощью двусторонней линейки (с параллельными краями), с помощью угольника и других инструментов. Один из крупнейших геометров конца XIX и начала XX в. Д. Гильберт в своей классической книге «Основания геометрии» рассматривает построения с помощью линейки и эталона длины [15, c. 56].

Ещё в XVIII в. (1774) швейцарец Ламберт рассматривал некоторые задачи на построение на ограниченном куске плоскости. Этот же вопрос о построениях «с недоступными элементами» неоднократно изучался впоследствии, так как он представляет большой интерес для практики чертёжника и геодезиста.

Многовековые неудачные попытки решить классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла навели на мысль, что эти задачи вовсе не разрешимы циркулем и линейкой (такое предположение относительно задачи о квадратуре круга высказал ещё в XV в. Леонардо да Винчи, а позднее — Шгифель и изобретатель известного измерительного прибора Нониус). В связи с этим возникла необходимость выяснить, какие задачи разрешимы циркулем и линейкой. Этот вопрос оказался тесно связанным с алгебраической проблемой разрешимости уравнений в радикалах (в частности, в квадратных радикалах). Замечательные исследования, проведённые в этой области К. Гауссом (1777—1855), позволили ему в 1796 г. Полностью решить одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число n, чтобы правильный n-угольник можно было построить циркулем и линейкой? Задача о квадратуре круга привела к глубоким исследованиям в области теории чисел, связанным с изучением свойств числа π. Эти исследования, которые были закончены лишь во второй половине XIX в., позволили доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима циркулем и линейкой [20, c. 34].

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX в. Появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений, работы Ф. Клейна и Энриквеса, «Теория геометрических построений А. Адлера и др. К работам такого рода относятся также недавно опубликованные книги Лебега, Бибербаха. Принципиальным вопросам теории геометрических построений посвящены глубокие исследования С. О. Шатуновского. Всеобщую известность получила превосходная книга И. И. Александрова «Методы решения геометрических задач на построение», впервые вышедшая в 1881 г.; до сих пор она остаётся одним из лучших пособий по конструктивной геометрии.

Аксиомы конструктивной геометрии

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.

Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

Рассмотрим эти аксиомы.

I. Каждая данная фигура построена, т.у. если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, по-другому говоря, построена.

2. Если даны две фигуры, то построено:

а) их объединение

б) пересечение

в) разность (если она не равна пустому множеству)

3. Если дана некоторая фигуpa, то можно построить точку:

а) принадлежащую данной фигуре

б) не принадлежащую ей.

Решая задачи на построение, будем строить новые точки и линии, обладающие некоторыми определенными, указанными свойствами, пользуясь инструментами геометрических построений. Необходимо располагать точными и, для математических целей, полным описанием того или иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом.

Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

б) построить прямую, проходящую через две построенные точки;

в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить окружность, если построены центр окружности и концы отрезка, равного радиусу окружности;

б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построен центр окружности и концы дуги.

Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет: а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой; б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии h, где h - фиксированный элемент для данной двусторонней линейки (ширина); в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h , то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом α к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура Ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если такая существует, то построить ее.

В частности циркуль и линейка позволяют выполнить следующие основные построения:

1. Построить отрезок, соединяющий две построенные точки.
2. Построить прямую, проходящую через две построенные точки.
3. Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.
4. Построить окружность, если построены центр и концы отрезка, равного радиусу окружности.
5. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы дуги.
6. Построить любое конечное число точек пересечения двух построенных фигур, если такие точки существуют.
7. Построить точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре.
8. Построить точку, заведомо не принадлежащую какой-либо построенной фигуре.

Задача на построение состоит, в том, что требуется построить указанными инструментами фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и данной. Каждая фигура, удовлетворяющая условию задачи, называется решением задач [10, c. 35].

Найти решение задачи на построение - значит указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень основных построений, а следовательно, и ход решения задачи, зависит от употребляемого набора инструментов. Следует заметить, что такой подход в определении нахождения решения не рациональный. Иногда целесообразнее укрупнить шаги построения.

Рассматривают как шаг построения целые блоки основных построений. Эти блоки представляют собой решения элементарных задач на построение. Их назовем элементарными построениями. Тогда можно дать следующее определение.

Решить задачу на построение - это значит указать такую конечную последовательность основных (ОП) и элементарных построений (ЭП), после выполнения которых искомая фигура может считаться построенной в силу общих аксиом конструктивной геометрий.

В качестве элементарных построений (ЭП) возьмем следующие задачи.

ЭП I. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку.

ЭП 2. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

ЭП 3. Построить треугольник по трем сторонам.

ЭП 4. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

ЭП 5. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

ЭП 6. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

ЭП 7. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка.

ЭП 8. Построить середину данного отрезка.

ЭП 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. (При этом данная точка может лежать на данной прямой, может и не лежать на ней).

ЭП 10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.

ЭП 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе.

ЭП 12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

ЭП 13. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.

Иногда условиям задачи на построение удовлетворяют несколько фигур. Решить задачу на построение - значит найти все ее решения.

Поясним это определение. Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут отличаться размерами, формой и положением на плоскости. Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, отличающиеся размерами или формой, будем считать различными. С расположением дело обстоит так.

Если условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то задача считается решенной, если:

а) построено некоторое число неравных фигур Ф1,…, Ф2 удовлетворяющих условию задачи,

б) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условию задачи, равна одной из них; считается, что задача имеет n решений (о точностью до равенства).

Если условие задачи предусматривает определенное расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то задача считается решенной, если:

а) построено некоторое число фигур, удовлетворяющих условию задачи [3, c. 19].

б) доказано, что любая фигура, удовлетворяющая условию задачи, совпадает с одной из них. При этом равные фигуры, но различно расположенные, считаются различными решениями. Замечание.

Встречаются задачи, имеющие бесконечное множество решений. Такие задачи называются неопределенными. Очевидно, все решения нельзя построить. В связи с этим вопросом: когда же считать неопределенную задачу решенной?

Решение неопределенной задачи ищется в параметрической форме: указывается прием построения фигур, удовлетворяющих условию задачи, причем эти фигуры определяются выбором определенного положения одной точки на некоторой данной фигуре. Эти точки играют роль геометрического параметра. Задача считается решенной, если при всевозможных допустимых положениях произвольной точки возникают все фигуры, удовлетворяющие условию задачи.

Встречаются задачи такие, что не существуют фигур, удовлетворяющих условию задачи. Например, в параллелограмм (не ромб) нельзя вписать окружность. Нельзя провести прямую через 2 данные точки одним лишь циркулем.

Во всех этих случаях решить задачу на построение - значит доказать, что искомая фигура не существует, или доказать, что она не может быть построена данными средствами.

Условие задачи часто дает известный простор в выборе данных. Например, если требуется построить треугольник по трем сторонам, то данными являются три отрезка, которые могут быть произвольными по величине и положению. Задача в такой формулировке считается решенной, если она решена для всех принципиально различных предположений относительно выбора данных.

Может оказаться, что при таком выборе данных задача решается иначе, чем при другом их выборе, поэтому приходится рассматривать ряд отдельных случаев и давать решение задачи для каждого из них.

2. Схема решения задач на построение

При решении сложных задач основную трудность представляет вопрос о том, как найти способ решения. Решение этого вопроса облегчается, если придерживаться определенной схемы рассуждений. Эта схема состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

Анализ: сначала подразумеваем, что задача решена и искомая фигура построена. Делаем схематически чертеж и, используя все известные теоремы планиметрии, находим связь между данными элементами и искомой фигурой. Этих зависимостей должно быть достаточно, что бы фигура могла быть построена с помощью только циркуля и линейки (или только одного из инструментов).

Построение: используем только данные элементы задачи. Исходя из анализа, строим данную фигуру.

Доказательство: используя данные анализа и все шаги построения докажем, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование: прежде всего, определить имеет ли задача решение, поясняем почему. Затем определяем количество решений задач. Количество решений зависит от условия задачи и положения искомой фигуры на плоскости.

К первому типу относят задачи, где положение фигуры относительно данных элементов не играет никакой роли. Здесь достаточно только отметить имеет или нет задача решение.

Ко второму типу относят задачи, в которых положение искомой фигуры зависит от данных элементов, то есть данных фигур. [3]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий  пример.

Задача. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании α и разность двух других сторон d.

Решение. Заметим, что в условии задачи не указаны инструменты. B таких случаях будем полагать (как и в школе), что задачу надо решить с помощью линейки и циркуля.

Анализ. Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Пусть ∆ABC - искомый треугольник: AB = a, AC–BC = AD=d, =α. Замечаем, что ∆АВD = определен по двум сторонам и углу между ними.

Третья вершина  С искомого треугольника может быть найдена как точка пересечения луча АD и прямой l - серединного перпендикуляра отрезка ВD). Иначе говоря план решения найден, строим треугольник ∆АВD, а затем и третью вершину С.

Построение. В этом пункте реализуем план решения.

Строим последовательно:

1)

2) l, l – серединный перпендикуляр отрезка BD;

3) C, C = [AD) ∩ l.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. Действительно, ∆АВС удовлетворяет всем условиям задачи, т.к. по построению АВ = а, АС – ВС = АD = d, ∠BAD = α.

Исследование. Проверил каждый шаг построения на осуществимость и единственность. Первый шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда 0<α<π. Второй шаг возможен и единственен всегда. Третий шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда  d<аcosα. Действительно, если d < a cos α, то прямая l пересекает луч AD.

Но вернемся к анализу. У нас задача решена, предполагая, что α лежит против меньшей из двух боковых сторон. Если α лежит против большей стороны, то предыдущий метод построения не проходит. Как быть? По теории мы должны и для этого случая дать решение. Нетрудно убедиться, что ΔABF определен (a,d и угол π - α). Построение, доказательство и исследование провoдятcя так же, как и выше.

Методы решения задач на построение

Суть любого из методов геометрических построений – построение в конечном счете отдельных точек, которыми определяется данная фигура.

Метод пересечений (метод ГМТ)

ГМТ – множество точек плоскости (фигуры), выделяемых из всех точек плоскости по каким – либо признакам (свойствам).

Суть метода пересечений: Пусть нужно построить точку Х, удовлетворяющую двум данным условиям, и F1 и F2 – множество точек, удовлетворяющих каждому из условий в отдельности, тогда искомая точка Х – точка пересечения множеств F1 и F2.

Заметим, что успех от применения этого метода полностью зависит от знания конкретных ГМТ. Наиболее часто применяются следующие геометрические места точек:

ГМТ 1. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.

ГMT 2. Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и стоящие от нее на данном расстоянии.

ГМТ 3. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.

ГМТ 4. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми,

ГМТ 5. Множества точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность (без точек А и В ), построенная на отрезке АВ как на диаметре.

ГМТ 6. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под углом α, где α ≠ 90є, α ≠ 180є , есть две дуги с общими концами А и В (без точек А и В), симметричные относительно прямой АВ.

ГМТ 7. Множество точек плоскости, из которых данная окружность видна под углом α, где α ≠ π, есть окружность,- концентрическая с данной, радиус которой больше радиуса данной окружности.

ГМТ 8. Множество точек, делящих всевозможные хорда окружности (O, ОА), проведенные через точку А окружности, в одном и том же отношении λ, где λ > 0, есть окружность (без точки А) с центром на прямой ОА, проходящая через точку А. Если λ = 1, то эта окружность построена на отрезке ОА как на диаметре.

ГМТ 9. Множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В постоянна, есть прямая, перпендикулярная прямой АB.

ГМТ 10. Множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек А и В равна а2, есть окружность с центром в середине отрезка АВ, если 2а2>AB2; середина отрезка AB, если 2a2 = AB2; и пустое множество, если 2a2

ГМТ 11. Множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек А и В постоянно и отлично от единицы, есть окружность с центром на прямой АВ (окружность Аполлония).

Метод геометрических преобразований

Метод геометрических преобразований конкретизируется через метод параллельного переноса, метод поворота, метод осевой симметрии, метод центральной симметрии, метод подобия.

Суть метода: Первоначально вместо искомой фигуры строится вспомогательная фигура, которую легче построить, заменяя или отбрасывая при этом одно из условий; затем с помощью каких -либо геометрических преобразований вспомогательная фигура или ее часть преобразуются в искомую фигуру.

Например:

-построение треугольника по двум углам и биссектрисе третьего угла;

-построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и отношению катетов [1, c. 34].

Алгебраический метод

Суть метода: решение задачи на построение сводят к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Длину искомого отрезка выражают через длины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле. Причем, так как длина отрезка выражается линейными единицами, следовательно, на функцию, определяющую искомый отрезок, должно налагаться определенное условие, а именно, это должна быть однородная функция первого порядка. Кроме того, функция должна быть операцией извлечения корня (если она есть), то только степени   (Например: построение отрезка, являющегося средними геометрическими двух других отрезков.).

Метод оригами - практический метод, основанный на перегибании (реальном или мысленном).

Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого числа разнообразных задач как серьезных, так и забавных.

Решение задачи методом оригами бывают часто более наглядными и понятными.

Некоторые задачи, решаемые методом оригами, имеют решение с помощью циркуля и линейки (например, деление угла на три равных части).

Рассмотрим пример решения задачи методом ГМТ

Задача 1. Построить треугольник ABC по стороне a=BC, опущенной на неё высоте ha и противолежащему углу α. [13, c. 35].

Анализ:

Первое условие говорит, что A находится на расстоянии ha от прямой BC. Множество точек, удовлетворяющих этому условию, - это пара параллельных прямых, отстоящих от BC на это расстояние. Согласно второму условию,  отрезок BC виден под углом ABC=α. Такое ГМТ- есть пара дуг, симметричных относительно BC.

Значит, A - любая из точек пересечения пары прямых с парой дуг. В силу симметрии картинки все получающиеся треугольники равны, поэтому на самом деле решение нашей задачи единственно (или вообще не существует).

Рассмотрим пример решения задачи методом геометрических преобразований

Задача 2. Через точки А и B, данные по одну сторону от прямой l, провести окружность, касающуюся l.

Анализ: Рассмотрим случай, когда прямая AB не параллельна и не перпендикулярна l (рис. 2).

Рисунок 2 - Чертеж к задаче 2

Проведем серединный перпендикуляр p к отрезку AB и отразим относительно него прямую l. Искомая окружность должна касаться и отраженной прямой т. Таким образом, с помощью осевой симметрии мы свели задачу к другой, более известной (во всяком случае, эта вторая задача встречается в стандартных школьных учебниках): вписать в угол (со сторонами l и т) окружность, проходящую через данную точку A (через B такая окружность пройдет автоматически). Эту вспомогательную задачу также можно решить с помощью преобразования, на сей раз - гомотетии. Любая вписанная в угол окружность гомотетична искомой относительно вершины O угла с коэффициентом k=OA/OA′ где A′ - одна из точек ее пересечения с прямой OA. Поэтому достаточно вписать в угол любую окружность ω, а потом растянуть (или сжать) ее в k раз. В рассматриваемом случае задача имеет два решения, т.к. прямая OA пересекает окружность в двух точках [4, c. 46].

Пример применения алгебраического  метода, при котором нужные для построения отрезки или углы выражаются формулами через данные, а вычисления по этим формулам производятся прямым построением, дает построение правильного пятиугольника (рис. 3а). Обозначая его сторону через а, а диагональ через х и пользуясь подобием треугольников ABC и BDA, получаем:

AB : AC = AD : AB = (AC - CD) : AB или а : х = (х- а) : а (т. к. CD = BC = AB = а), показано на рис. 3.

Рисунок 3 - Пример применения - алгебраического метода

1.3. Задачи на построение в школьном курсе геометрии 7-9 

Рассмотрим задачи на построение в школьном курсе геометрии 7 – 9 классов на основе анализа учебника Атанасяна Л.С. “Геометрия 7 – 9”, потому что именно в курсе 7-9 классов изучаются основные задачи на построение.

В 7 классе тема «Задачи на построение» изучается в конце второй главы «Треугольники». В этом параграфе содержатся пункты «Окружность», «Построения циркулем и линейкой» и «Примеры задач на построение». Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются следующие задачи на построение: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 – отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки [8, c. 34].

В третьей главе «Параллельные прямые» рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи).

В четвертой главе «Соотношения между сторонами и углами треугольника» рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.

В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.

В восьмом классе в пятой главе  «Четырехугольники» после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.

В седьмой главе «Подобные треугольники» рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель седьмой главы – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников [8, c. 28].

В начале восьмой главы «Окружность» в пункте «Касательная к окружности» решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель этой главы – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях.

В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.

9 класс: содержит четыре главы. В двенадцатой главе «Длина окружности и площадь круга» в §1 «Правильные многоугольники» рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 – расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках [9, c. 27].

В тринадцатой главе «Движения» изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом.

В 7 классе мы решаем самые простые задачи на построение, поэтому для их решения  достаточно только второго пункта решения задач на построение,  в некоторых используют второй  и третий пункты.

Для решения задач в  8 и 9 классах постепенно вводится использование  уже всех 4 пунктов решения задач на построение. Но несмотря на необходимость и целесообразность использования 4 пункта - исследования, при решении задач на построение, этому этапу  в школе  уделяется недостаточно внимания. Большое внимание уделяется обычно отысканию решения – анализу и построению.

Выводы по первой главе

Итак, что же такое задачи на построение?

Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.

Решая задачи на построение, будем строить новые точки и линии, обладающие некоторыми определенными, указанными свойствами, пользуясь инструментами геометрических построений. Необходимо располагать точными и, для математических целей, полным описанием того или иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. (аксиома линейки, аксиома циркуля, аксиома двусторонней линейки, аксиомы угла).

Задача на построение состоит, в том, что требуется построить указанными инструментами фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и данной. Каждая фигура, удовлетворяющая условию задачи, называется решением задач [10, c. 35].

Найти решение задачи на построение - значит указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Схема решения задач на построение состоит из четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

Основными методами решения задач на построение являются: метод пересечений (метод ГМТ), метод геометрических преобразований, алгебраический метод, метод оригами .

В школьном курсе геометрии, в частности в 7 классе, рассматриваются следующие задачи на построение: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка; построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи); построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам.

В 8 классе рассматриваются задачи на построение  прямоугольника, ромба и квадрата , параллелограмма и трапеции по различным элементам, рассматриваются задача на построение треугольника по данным отношениям, задача о проведении касательной к окружности через данную точку.

В 9 классе рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. А также задачи на построение, решение которых основано на изучении симметрии, поворота и параллельного переноса.

2. Методика обучения решению задач на построение

в школьном курсе геометрии

2.1. Организация учебно-исследовательской деятельности на основе задач на построение с практическим содержанием

 Одной из актуальных проблем методики обучения математике является проблема организации индивидуальных учебных исследований школьников. Учебное исследование – это вид познавательной деятельности, который основан на выполнении учебных заданий, предполагающих самостоятельное выявление учащимися новых для них знаний, способов деятельности и направленных на достижение целей обучения. Учебное исследование способствует формированию следующих умений:

- добывать новые предметные знания, приемы и способы действий;

- самостоятельно организовывать поиск;

- достигать поставленных целей обучения;

- формировать мыслительные операции, такие как аналогия, классификация, обобщение и т.п.

Поскольку во всех работах, посвященных привлечению учащихся к учебно-исследовательской деятельности в процессе решения задач, доказывается развитие исследовательских умений и навыков (формируются умения выдвигать гипотезу, выявлять существенные аспекты исследуемой ситуации и т.д.), то развивающая функция учебного исследования очевидна.

Кроме того, учебные исследования помогают достижению познавательного отношения к действительности, в силу того, что они формируют широту кругозора и являются стимулом познавательного интереса, способствуют воспитанию научного мировоззрения, выполняя, таким образом, воспитывающую функцию.

В своем исследование особое внимание мы уделяем такой деятельности, как исследование  задач на построение с практическим содержанием, являющееся эффективным средством развития мышления учащихся.

Следуя ученым – методистам (И.Б. Ольбинский, Е.Ф. Недошивкин, Д.Е. Недошивкин, М.В. Таранова, В.А. Далингер, Д.Ф. Изаак, Л.М. Фридман, Р.Г. Дельбеева), исследование геометрических задач включает в себя:

• обобщение задачи;
• разбиение задачи на подзадачи;
• варьирование условия задачи;
• рассмотрение разных методов решения задачи;
• исследование “окрестности” задачи.

Д.Ф. Изаак  Л.М. Фридман  считают, что при решении многих задач необходимо проводить исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение, сколько различных решений в каждом отдельном случае, при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Также полезно проводить анализ выполненного решения, в частности, установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д.

Для организации индивидуальных учебных исследований задач на построение с практическим содержанием  мы разработали учебно – исследовательские карты с дозированной помощью.

Учебно – исследовательские карты, с которыми работают учащиеся, включают несколько этапов и содержат подсказки, регламентирующие порядок и последовательность выполняемых учащимися действий. На первом этапе учащимся предъявляется задача и сообщается тема, к которой она относится. На втором этапе  “Вспоминаем, рассуждаем, исследуем…” с помощью системы наводящих вопросов, чертежей – подсказок, теоретических сведений с пропусками, рекомендаций о наблюдениях и экспериментах  организуется деятельность по решению основной задачи. Следующий этап мы назвали “Вопросы для размышления”. На этом этапе происходит варьирование условий задачи. На последнем этапе исследования предлагается составить практическую задачу, аналогичную данной по методу решения.

Отметим, что решение любой практической задачи обычно состоит из трех этапов:

1) этап формализации;

2) этап решения внутри математической модели;

3) этап интерпретации.

Уже на первом этапе учащиеся испытывают трудности в создании математической модели рассматриваемой задачи,  в анализе условия задачи, в переводе практической задачи на язык математики. Второй этап – решение внутри математической модели представляет не меньшую трудность, так как требуется решить задачу на построение, что очень часто вызывает большие затруднения. Решение задачи на построение на данном этапе должно основываться на классической схеме  решения задач такого вида ( анализ, построение, доказательство и исследование). Третий этап является не менее важным при решении практических задач, так как именно на этом этапе анализируются полученные решения на соответствие их реальным ситуациям.

Приведем примеры учебно-исследовательских карт по теме “ Задачи на построение с практическим содержанием”

Карта №1

Заполненный вариант карты №1.

Карта № 2

Карта №3

Заполненный вариант карты №3

Карта №4

2.2. Проектирование уроков геометрии по теме «Задачи

на построение» в 7-9 классах

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии.

В 7 классе при решении задач на построение рекомендуется ограничиваться только выполнением построения.

В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи. Учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике, полезно решать задачи на построение по полной схеме.

Позднее, в 8,9 классах вводится использование  уже всех 4 пунктов решения задач на построение.

Для отработки навыков решения задач на построение нами были составлены технологические карты уроков по геометрии в 7 классе по теме “Задачи на построение”, в 8 классе - «Касательная к окружности. Решение задач», в 9 классе - «Построение правильных многоугольников».

При разработке уроков в план был включен новый вид задач - задачи на построение с практическим содержанием. Рассмотрение данных задач было представлено в виде учебно-исследовательских карт. Примеры таких карт показаны в пункте 2.1.

Использование этих карт позволяет посмотреть на задачи на построение  с иной стороны. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.

Выводы по второй главе

В первом пункте главы нами была проведена организация учебно-исследовательской деятельности на основе задач на построение с практическим содержанием. В качестве дидактического средства были  разработаны учебно-исследовательские карты. А также были разработаны технологические карты уроков  геометрии 7,8,9 классов по теме: «Задачи на построение». Для совершенствования навыков решения задач по данной теме  в разработанные уроки были включены учебно-исследовательские карты.

Учебно-исследовательская деятельность в процессе решения задач, доказывает развитие исследовательских умений, а также является стимулом познавательного интереса. Использование подобных карт при решении задач  является эффективным средством развития мышления учащихся, способствует более прочному закреплению изученного материала, а также  повышает интерес к решению задач на построение.

Заключение

Геометрические задачи на построение  дают столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как  никакой другой вид задач. Эти  задачи  удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются одним из  существенных элементов изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. Именно в процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки и  в большинстве случаев  в правильности многих математических утверждений школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника.

Задачи на построение – это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

Целью исследования является разработка  методики обучения решению геометрических задач на построение в школьном курсе геометрии.

Предметом исследования являются геометрические задачи на построение в школьном курсе планиметрии. Объектом исследования - процесс обучения геометрии учащихся в курсе основной школы. 

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1.Изучить основы теории задач на построение в школьном курсе геометрии.

а) схема решения задач на построение;

б) методы решения задач на построение

2. Спроектировать дидактическое обеспечение и конспекты уроков по теме "Геометрические задачи на построение".

а) разработать учебно-исследовательские карты;

б) разработать технологические карты уроков геометрии в 7,8,9 классах.

В первой главе рассматривались основы теории задач на построение в школьном курсе геометрии.

Во второй главе была проведена организация учебно-исследовательской деятельности на основе задач на построение с практическим содержанием. В качестве дидактического средства были разработаны учебно - исследовательские карты.

А также были спроектированы технологические карты уроков по теме «Задачи на построение » для 7,8,9 классов с использованием учебно-исследовательских карт.

Таким образом, цель исследования достигнута, задачи решены.

Библиографический список

1. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 1966. – 216с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия: 2 - х ч. - 4.1 / Л.С. Атанасян,                  В.Т. Базылев. - М: Просвещение, 1986. – 336 с.
3. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии: в 2-х ч. - 4.1 /                  Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. - М.: 11росвещение, 1973. – 256 с.
4. Аверин, В.А. Психология детей и подростков / В.А. Аверин. – СПб: Питер, 2010. – 424 с.
5. Александров, А.Д. Геометрия / А.Д Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик: Учебник для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2012. – 240 с.
6. Ананьев, Б.Г. Познавательные потребности и интересы /                  Б.Г. Ананьев // Учеб.– 2010 – Вып. 16. – №16. – С.41-60.
7. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы – 20-е изд. / Л.С. Анатасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.
8. Атанасян, Л.С. Геометрия. 8 класс. Рабочая тетрадь / Л.С. Анатасян и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 65 с.
9. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А.В. Белошистая // Математика в школе. - 2002. - № 9. - С. 17-50.
10. Далингер, В.А. Планиметрические задачи на построение /              В.А. Далингер. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. – 78 с.
11. Прасолов В. В.  Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.
12. Ильина, Н.И. Геометрические построения на плоскости /              Н.И. Ильина. М.: Школа - пресс, 1997. – 172 с.
13. Коренева, В.Е. Решение задач на построение методом спрямления / В.Е. Коренева // Математика в школе. - 1995. - №5 – 116с.
14. Клименченко, С.В. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам / С.В. Клименченко, Т.Д. Цикунова // Математика в школе.- 1990. - №1 – 130с.
15. Пайсон, Т.В. Направления реализации принципа преемственности между школой и вузом (на примере курса аналитическая геометрия) / Т.В. Пайсон // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. – 2011. – №94. – С.186-193
16. Погорелов, А.В. Геометрия / А.В. Погорелов: учеб. для общеобразоват. учреждений. 4-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2004. – 128 с
17. Погорелов, А.В. Элементарная геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Паука, 1969. - 128 с.
18. Фарков, А.В. Тесты по геометрии. 8 класс / А.В. Фарков. – М.: Экзамен, 2011. – 109 с.
19. Фридман, Л.M. Проблема обучения и развития в современных условиях в психологии образования / Л.М. Фридман // Проблемы психологии образования. – М.: Проспект, 2010. – С. 80-98.
20. Чернышев, И.А. Проблема развития познавательной активности подростков в учебном процессе / И.А. Чернышев, М.В. Цуканов // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. – 2011. –№ 3 (19). – Т.1. – С.15-19.
21. Шамова, Т.И. Активизация учения школьников / Т.И. Шамова. – М.: Педагогика, 2010. – 209 с.