Уравнения и системы уравнений
элективный курс (9 класс) по теме

МБОУ СОШ с. Войсковая Казинка Долгоруковского муниципального района Липецкой области

Программа элективного курса

в рамках предпрофильной подготовки для обучающихся 9-х классов

«Уравнения и системы уравнений»

Разработала: Андрианова М.В.

С. Войсковая Казинка  -2010 год

Пояснительная записка

В нашей стране развивается индустриальное общество, где требуются специалисты высоко грамотные. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе математики основной и средней школы является одной из главных, сквозной темой курса. Поверхностные знания этой темы служат камнем преткновения для глубокого изучения математики, а также других учебных дисциплин: физики, химии и др.

Программа предназначена для обучающихся интересующихся данной проблемой. Предлагаемая программа рассчитана на 16 часов.

Основными ее целями являются: дать возможность попробовать свои силы в решении более трудных задач, поднятие общей культуры математического мышления так необходимого при решении уравнений и систем уравнений.

Решение уравнений и систем уравнений открывает перед обучающимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях. Задачи на составление уравнений и систем уравнений обладают диагностической и прогностической ценностью, так как с помощью этих задач можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курса математики.

Задачи курса

1. изучение   методов   решения   задач   избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;
2. сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера, показать их многообразие;
3. научить применять аналитический метод в решении задач на составление уравнений и систем уравнений;
4. научить осуществлять выбор рационального метода решения уравнений и систем уравнений и обосновывать сделанный выбор;
5. способствовать развитию интереса к изучению математики как возможной необходимой дисциплины для будущей практической деятельности;
6. формирование новых приемов и способов решения уравнений и систем уравнений при работе на предельных высотах;
7. способствовать организации дифференцированной работе на уроках и во внеклассной работе.

Содержание курса

Блок №1 Уравнения высших степеней.

Основные методы решения – замена переменной и разложение на множители. Использование свойств монотонности и ограниченности функций. Использование свойств P(x) = (x – b) Q(x)

Блок №2  Системы уравнений.

Задача отыскания общих решений уравнений.

Равносильные системы.

Метод подстановки и метод введения новых  переменных. Графический метод решения систем уравнений.

Блок №3  Симметрические системы.

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы.

Метод почленного умножения и деления уравнений системы.

Блок №4 Разные системы.

Уравнения с параметрами.

Блок №5

Текстовые задачи.

Тематическое планирование материала.

Библиографический список:

1. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов; -учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Званич – М. ; «Просвещение» 2000 – 271с.

2. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырёв Г.И. Повторим математику; - пособие для поступающих в вузы.

Э.З. Шувалова и др. – М.; «Высшая школа» 1968 - 464с.

3.Под редакцией Аксёновой И.В., Пановой Е.Е. Элективные курсы в системе педпрофильной подготовки учащихся:

Образовательная область «Естествознание»:

4. Методические рекомендации для учителей и руководителей образовательных учреждений.

Под редакцией Аксёновой И.В., Пановой Е.Е. – Липецк: ИРО, 2005 - 73с.

Дидактическое сопровождение.

Блок №1

Рациональные корни алгебраического уравнения.

Опр. Уравнение вида a 0 xn + a1xn-1 +…+ an = 0, где n – натуральное число, ai – действительные числа ( i = 1, 2, …) называется алгебраическим.

Теорема Безу.

Многочлен f (x) = a0 xn + a1 xn-1 + … +an целый относительно x, при делении на разность x – a , где a –произвольное число, даёт остаток R , равный тому значению делимого, которое оно получает при  x = a, т.е

R = f(a) =a0 an +a1an-1 + … + an

Следствие. Для того, чтобы многочлен f(x)  делился на разность  x –a, необходимо и достаточно, чтобы f(a) =0.

Следствие. Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена уравнения.

Схема Горнера   a0xn + a1xn-1 + …+ an =(x – a)(b0xn-1 +b1xn-2 + …+ bn-1) + R =

=b0xn + ( b1 + ab0)xn-1 + (b2 – ab1)xn-2 + … + R –abn-1

Откуда b0 = a0 ; b1 = aa0 + a1 ; b2 = ab1 + a2  … R = abn-1 + an

Пример.

Найти частное от деления многочлена  2x5 – 5x3 – 8x + 1 на двучлен  x -3

Частное q(x) = 2x4 + 6x3 +13x2 + 39x +109, остаток R=328

Рациональные корни алгебраического уравнения.

Пример. Найти рациональные корни уравнения  x4 + 2x3 – 16x2 – 2x + 15 = 0

Решение.

Делители свободного члена ±1, ±3, ±5, ±15. Проверим эти делители по схеме Горнера

 х1 =3 , х2  = -5

Приравняв очередное частное нулю, найдём ещё два корня

    х2 + 2х – 15= 0,  х3 = 3, х4 = -5

Ответ: х1 =1, х2 =- 1,  х3 = 3,  х4 = -5

Основные методы решения уравнений высших степеней – замена переменной и разложение на множители.

Примеры.  а) х3 – 5х – 12 = 0

       Решение.

(х3 – 27) – (5х – 15) = 0

(х – 3)(х2 + 3х + 9 – 5) = 0 , откуда х = 3.

 Ответ: 3.

б) 4(х + 5)(х + 6)(х + 10)(х + 12) = 3х2

   Решение.

4(х2 + 17х + 60)(х2 +16х + 60) = 3х2;

4(х +17 + 60/х)(х + 16 + 60/х) = 3;

Положим  у = х +16 + 60/х, получим   4у2 + 4у – 3 = 0,

у1 =0,5;   у2 = - 1,5

Из уравнения   х + 16 + 60/х = 0,5  получаем  х1 = - 8,  х2 = -7,5

        Ответ:  - 8,    - 7,5.

Блок№2 Системы линейных уравнений.

 2х + 3у = 3

    2х – 3у =9

Решение.  Способ подстановки, способ алгебраического сложения.

Системы уравнений приводящиеся к линейным.

Пример.

    3/(2х + у) + 7/(х - у) = 1,9

                     5/(х – у) – 2/(2х +у) =1,15

Основной метод решения – метод замены.

Если ставится задача отыскания  всех общих решений   n  уравнений с  k  переменными, то говорят, что задана система уравнений.

   Две системы называют равносильными, если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

  Решая системы уравнений, обычно заменяют данную систему другой, равносильной исходной.

   Основными методами решения являются метод подстановки и алгебраического сложения.

  Для графического решения системы уравнений с двумя переменными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений и найти координаты точек пересечения.

Пример. Решите систему уравнений

  x(y + z) = 20

    y(x + z) = 18

    z(x + y) = 14

           Решение.

Сложив почленно все три уравнения системы, имеем

 2(xy + xz + yz) = 52, т.е.  xy + xz + yz = 26

Подставляя в последнее равенство значения xy + xz; yx + yz;  zx + zy, получим систему равносильную исходной:

    yz =6

    xz = 8

  xy = 12

Почленно перемножив все три уравнения получим  (xyz)2 = 242, откуда  xyz = 24  или  xyz = -24

Подставляя в каждое из полученных yz, xz, xy, находим две тройки решений

(-4;3;2), (-4;-3;-2)

Блок №3

Основными симметрическими многочленами с двумя переменными  считаются

х + у  и  ху. Все остальные симметрические многочлены  с двумя переменными могут быть выражены через основные.

Система, все уравнения которой симметрические, называется симметрической.

Основной метод решения – метод замены переменных.

Пример.  Решить систему уравнений

 х3 + х3у3 + у3 = 17

  х +ху + у =5

        Решение.

Пусть  x + y =u      и     xy = v

Заданная система сводится к следующей

     u3 – 3uv + v3 = 17

      u + v =5

Из этой системы находим

    u1 =3                      u2 = 3

     v1 = 2                     v2 =2

Таким образом задача свелась к решению совокупности  систем уравнений

    х + у =3                    х + у =2

    ху = 2                         ху = 3

  Ответ: (1;2),     (2;1)

Система двух уравнений с двумя переменными называется однородной, если левые части обоих уравнений однородные многочлены степени   n  от двух переменных.

   Однородные системы решаются комбинированием метода линейного преобразования и метода введения новых переменных.

   Пример. Решить систему уравнений

3х2 + ху – 2у2 = 0

2х2 – 3ху + у2 = -1

      Решение.

Разделим обе части первого уравнения на у2

     3(х/у)2 + (х/у) – 2 = 0, откуда  х/у = -1;   или х/2 = 2/3, т.е.  х = -у  или   х = 2/3у

Задача свелась к решению совокупности систем уравнений :

      х = -у                               х = 2/3у

   2х2 – 3ху +у2 = -1           2х2 – 3ху + у2 = -1

   Ответ: (2;3),  (-2;-3)

Блок №4

Разные системы.

1) Найдите все пары чисел (х;у), каждая из которых удовлетворяет системе:

                    У -  lх -2у + 1l  =3

 | у| + |у - 2| +(у – 4)2 ≤ 5

2) Найдите все решения системы уравнений

 (х – 2)2 + (у2 -1)2 =4

           х2 +у2 = х – у  ,               удовлетворяющие условию х≤ 0

3) Решите систему уравнений

   х2 + 5у2 -4ху + 2х – 6у + 2 = 0

   3х2 -2у2 + ху – 3х +2у – 1 = 0

Уравнения с параметрами

  Если дано уравнение   f(x,a) = 0, которое надо решить относительно переменной  х  и в котором буквой  а  обозначено произвольное  действительное число, то его называют уравнением с параметром  а.

1)   х – а = 0

       Х = а   Ответ: при  а € (∞,-∞) х = а

2)   0*х=а     Ответ: при а = 0  корней нет

                      при  а = 0   х – любое число из множества R

3)    |х| = а

   Ответ: при  а<0 корней нет

              при  а = 0  х = 0

               при  а>0    х = ±а

4)   (а2 – 4)х = а2 +а – 6

     Решение.                                  а2+а-6       а+3

Если  а2 – 4 =0, т.е.  а ≠±2,  то х=————— = ——

                                                      а2-4           а-2

  При а = - 2 уравнение принимает вид:

   0*х = -4 т.е. не имеет корней.

При а=2   исходное уравнение принимает вид: 0*х=0 т.е х-любое  действительное число.

    Ответ: при  а≠±2    х=(а+3)/(а-2)

               При а=-2     корней нет

                При  а=2  х-любое действительное число

Блок №5

 Текстовые задачи, как правило решают по следующей схеме: выбирают неизвестные, составляют уравнение или систему уравнений (может быть неравенство или систему неравенств) и решают полученную систему.

   Условно содержание текстовых задач можно классифицировать так: задачи на проценты, «концентрацию», задачи на  «движение», задачи на «работу».