Фокусы.
материал по теме

Занятие математического кружка: «Секреты арифметических фокусов»

Фокус 1.        «Отгадывание суммы очков на открытых гранях»

Пусть три игральных кубика сложены столбиком. Посмотрев  на  верхнюю грань столбика, можно  сразу определить сумму очков на гранях, по которым кубики соприкасаются, и на самой нижней грани.

Секрет фокуса. В самом далее, если бы складывались очки, соответствующие всем горизонтальным граням трех кубиков, то есть очки, соответствующие трем парам взаимно противоположных граней кубиков, то такая сумма составляла бы ровно 21 (3·7 = 21). Но в сумме, обусловленной задачей, не участвует число очков, соответствующих верхней грани. Вычитая это число из 21, мы получим искомую сумму.

Фокус 2.        «Белая пешка»

Готовясь к игре в шахматы, партнер тайно от вас зажимает в один кулак белую пешку, а в другой - черную. Вам хочется выбрать белую, и  вы,  при помощи несложного фокуса беретесь угадать, в каком она кулаке: правом или левом. Вы говорите партнеру: "Оценим черную пешку числом 1, а белую числом 2. Числовое значение пешки, зажатой в правой руке, умножь на какое хочешь четное число, а числовое значение другой пешки умножь на любое нечетное число. Сложи результаты и объяви последнюю цифру суммы. Теперь я скажу безошибочно, в какой руке белая пешка".

Секрет фокуса. Если объявленное число четное, то белая пешка в левой руке, а если нечетное, то в правой. Произведение четного числа на нечетное — четно, нечетного на нечетное - нечетно, сумма двух четных чисел - четна, а сумма четного и нечетного - нечетна.

Фокус 3.        «Сколько палочек в кулаке?»           

Для показа этого фокуса нужна коробочка с 20 палочками. Показывающий, повернувшись спиной к зрителю, просит его вытянуть из коробка несколько палочек (не больше 10) и положить в карман. Затем зритель пересчитывает оставшиеся в коробочке палочки. Допустим, их 14. Это число он «выписывает палочками» на столе следующим образом: единица изображается одной палочкой, положенной слева, а четверка – четырьмя палочками, положенными несколько правее. Эти пять палочек берутся из числа оставшихся в коробочке. После этого палочки, изображавшие число 14, тоже кладутся в карман. В заключение зритель вынимает из коробка ещё несколько палочек и зажимает их в кулаке. Показывающий поворачивается лицом к зрителям, высыпает палочки из коробка на стол и сразу называет число палочек, зажатых в кулаке.

Секрет фокуса. Количество палочек, спрятанных в карман за два шага всегда равно 11, а оставшееся в коробке 9. Вычитаем из 9 число палочек,  рассыпанных на столе и получаем ответ.

Фокус 4.        «Угадывание возраста и дня рождения»

Сейчас мы узнаем совершенно точно, когда каждый из вас родился. Для этого я попрошу сделать ряд вычислений, которые вы должны выполнить не торопясь и правильно. Порядковый номер месяца вашего рождения умножайте на 100. К полученному произведению прибавьте число месяца. Теперь полученную сумму умножьте на 2 и к новому произведению прибавьте 8. Новую сумму надо умножить на 5 и к: полученному произведению прибавить 4. Умножьте опять полученную сумму на 10 и опять прибавьте 4. Затем прибавьте полное число ваших лет. Назовите окончательный результат. Допустим, что получили числа 101676 и 50964. В уме отнимаем от написанных чисел всегда 444, и остаток разбиваем справа налево на группы по две цифры в каждой:

        101676                                         50964

        444                                             444

10,12,32                                        5,05,20

Последние две цифры показывают полное число лет; вторая группа — число месяца, а первая группа - порядковый номер месяца. Объявляйте первому человеку: "Вам 32 года, вы родились 12 октября". Второму человеку говорите: "Вам полных 20 лет, вы родились 5 мая".

Секрет фокуса.  Если обозначить порядковый номер месяца буквой а, число месяца - в, а число полных лет - с, то все производимые выше вычисления будут выражены следующей формулой: (((100а+в)·2+8)·5+4)·10+4+с=10000а+100в+444+с.

Если отнять число 444, то получается: 10000а+100в+с.

Фокус 5.        «Математические забавы из «Арифметики»  Л.Магницкого»

Первое упоминание о математических фокусах встречаются в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого с длинным названием “Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык переведенная и во едино собрана и на две книги разделена…”, опубликованной в 1703 году и содержащей начала математических знаний того времени.

Одна глава книги была названа автором “Об утешных некиих действах, через арифметику употребляемых”. Эта глава содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Вот один из фокусов.

Сейчас мы узнаем, кто из присутствующих взял перстень, на какой палец надел его и на какой именно сустав пальца. (О номерах присутствующих, пальцев и суставов нужно особо договориться заранее).

Сейчас выполним следующие действия: номер, взявшего кольцо умножить на 2; к произведению прибавить 5; сумму умножить на 5; к полученному числу прибавить номер пальца, результат умножить на 10; к произведению прибавить номер сустава; результат сообщить отгадчику. От полученного в результате арифметических действий числа нужно  отнять 250:  в остатке первая цифра слева - это номер взявшего кольцо, вторая - номер пальца, третья - номер сустава.

Секрет фокуса.  Пусть, например, перстень  взял 6-й ученик и надел его на 3-й сустав безымянного пальца (то есть 4-го пальца. Тогда:   ((6·2+5) ·5+4) ·10+3=893

        893-250=643

        6·2·5·10=600

        4·10=40

        5·5·10=250.

Фокус 6.         «Математическая забава М. Ю. Лермонтова»

Все вы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.

Вот отрывок из воспоминаний  однополчанина поэта Е. И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости (в Анапе) «… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: "Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру". В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: "Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!" Поэт улыбнулся: "Колдун - не колдун, а математике учился", и раскрыл секрет фокуса…»

Вот один из фокусов:  задумать какое угодно число, прибавить к нему 25, прибавить еще 125, отнять 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Получится 285.

Секрет фокуса.    (а + 25 + 125 – 36 - а) · 5 : 2 = 114 · 5 : 2 = 285.

Как видно, в процессе выполнения действий задуманное число а исключается, и собеседник выполняет остальные действия только над теми числами, которые дает сам отгадчик. Вместо чисел 25, 125, 36, 5 и 2 можно брать, конечно, и другие числа, но тогда и ответ будет иной.

Фокус 7.        «Математический фокус  Дэвида Копперфильда» 

Фокусы знаменитого американского иллюзиониста восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством его воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу одного такого фокуса.

Фокусник размещает на экране пятнадцать предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке - 12, а в хвостике - 3. Можно кружки заменить предметами. Зрителям предлагается задумать любое число больше трех (предположим, семь) и отсчитать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки. Затем фокусник просит зрителей снова посчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка. Удивительно то, что в результате все указывают на один и тот же предмет.

Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Они основаны на том, что, независимо от варианта схемы (количества предметов на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число.

Секрет фокуса. Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке. Все остальные манипуляции фокусника - лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от фантазии фокусника, он может на каком-то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановился зритель, при первоначальном счете, - ответ все равно будет для всех одинаковый. Легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех): только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть на кольцо - основную фигуру для манипуляции. Узнав секрет фокуса, его можно изменить по собственному усмотрению.

Некоторая  вариация описанного фокуса - угадывание задуманного числа на циферблате часов.

Фокус 8.        «Удивительные часы»

Задумайте какой-нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному вам числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня. В этот момент моя указка укажет на часах задуманное вами время.

Подсказка.    В этом фокусе, так же, как в предыдущем, применяются принципы последовательного счета и предопределенного выбора. Чтобы его разгадать, используйте разность чисел 20 и 12, равную 8, и тот факт, что девятое прикосновение фокусника к циферблату должно обязательно попасть на одно из этих чисел.

Секрет фокуса. Вначале ударяете указкой по циферблату по любым делениям до семи ударов. Восьмым ударом покажите число 12, а потом с каждым ударом перемещайтесь влево (11, 10, 9 и т.д.) Когда ваш помощник скажет: "Довольно", — ваша указка будет стоять на том часе, который он задумал. Расчет очень простой. Всего будет ударов (20-х). Когда вы сделаете восемь ударов, указка покажет число 12. С этого момента вы сделаете еще столько ударов, сколько не достает вашему помощнику до двадцати, так как вы, двигаясь влево, будете показывать числа, последовательно уменьшенные на единицу.

Фокус 9.         «Мгновенное умножение трехзначного числа на 999»

 Можно мгновенно умножить любое трехзначное число на 999. Например, 573·999=572427.

Секрет фокуса. В результате умножения получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности: 573·999= 573·(1000-1)= 573000-573 =572427.

Фокус 10.                «Число Шахерезады»

 Напишите на бумажке (не показывая) трехзначное число, а затем припишите еще раз то же самое число. Полученное шестизначное число разделите сами (или предложите любому другому) разделить, не показывая, без остатка на 7. Результат деления еще раз разделите сами (или передав другому ученику) без остатка на 11, а затем на 13. После троекратного деления должно получиться загаданное число.

Секрет  фокуса.  Вспомним, что приписать к трехзначному числу его само – значит, умножить его на 1001 – число Шехерезады. Но 1001=7·11·13. а в результате деления последовательно на эти три числа оно должно снова дать полученное число.

Фокус 11.                «День недели»

Задумайте номер дня недели, например, четверг - четвертый день недели (считая понедельник первым днем недели, а воскресенье - седьмым). Выполните устно следующие действия:

номер задуманного дня умножить на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце нуль; результат сообщите мне.

Из этого числа я вычту 250, число сотен будет номером задуманного дня.

Секрет  фокуса.  ((4·2+5) ·5) ·10=650

650-250=400

4·2·5·10=400

5·5·10=250

Фокус 12.                «Лесной»

Узнаете деревья по нарисованным веткам? Правильно: клен, дуб, ива. Теперь тайно от меня замените каждую букву цифрой произвольно, но так, чтобы ни одна цифра не повторилась. Сложите образовавшиеся числа и объявите в любом порядке все цифры результата, кроме любой одной. Я чуть-чуть подумаю и безошибочно назову утаенную цифру.

Секрет  фокуса.  Сумма десяти цифр равна 45 независимо от их расположения в трех слагаемых, следовательно, делится на 9. Сумма чисел, образованных из этих цифр, является числом, кратным 9, следовательно, и сумма его цифр должна делиться на 9. Поэтому, чтобы выявить утаенную цифру, надо сложить объявленные цифры; тогда число, дополняющее эту сумму цифр до ближайшего числа, кратного 9, определит утаенную цифру. Например, сумма объявленных цифр равна 14. Ближайшее число, кратное 9, большее, чем 14, равно 18; следовательно, утаена цифра 4  (18-14=4).

Фокус 13.                «Число из любимой цифры»

Скажите, у кого какая любимая цифра (например, 5). Выполните умножение числа 15873 на 35 (любимая цифра, умноженная на 7) или числа 12345679 на 45 (любимая цифра, умноженная на 9). Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Секрет  фокуса.  1) 15873·7=111111, 11111·5=555555, значит, 15873·35=555555.

2) 12345679·9=111111111,111111111·5=555555555,значит, 12345679·45=555555555.

Фокус 14.                «Быстрое суммирование»

Ты можешь удивить своих товарищей искусством суммирования чисел. Сделать это можно так. Напиши на классной доске какое-нибудь многозначное число, например, 450678. Можешь написать любое число, пусть только число единиц в этом числе будет не меньше 2. Предложи далее кому-нибудь из товарищей подписать под этим числом, как делается при сложении, любое число, имеющее столько же знаков. Вслед за этим сам подпиши третье слагаемое, цифры которого дополняли бы соответствующие цифры второго слагаемого до 9. Пусть затем кто-либо из товарищей подпишет любое четвертое слагаемое (с тем же числом знаков). Пятое слагаемое подпиши также сам, как и третье. Сумму получившихся пяти чисел ты можешь написать моментально. Начни с единиц. Их должно быть на 2 меньше, чем в первом числе. Дальше последовательно перепиши все цифры первого числа и впереди поставь 2. Вот и все. На доске получится, например, такая запись:

        450678

        329157

        670842

        257934

        742065

        2450676

То же самое можно проделать, взяв не пять, а семь слагаемых. Только в этом случае число единиц в сумме будет на 3 меньше числа единиц первого слагаемого и впереди придется писать не 2, а 3.

Фокус 15.                «В какой руке монета?»

Для показа требуются две монеты (5- копеечная и 10- копеечная). Вызывается один ученик.

«Одну монету зажми в левой руке, другую - в правой так, чтобы фокусник не видел, где какая. Далее: число копеек в левой руке удвой, а в правой руке - утрой. Сложи оба числа. Сколько получилось?» (Если число чётное, то в правой руке- 10 копеек; если число нечётное, то в правой руке- 5 копеек).

Секрет  фокуса. Аналогичный фокусу с пешками.

Фокус 16..         «Угадайте задуманное число»

В своей книге "Арифметика" Леонтий Филиппович Магницкий привел следующий способ отгадывания задуманного двузначного числа: "Если кто задумает двузначное число, то ты скажи ему, чтобы он увеличил число десятков задуманного числа в 2 раза, к произведению прибавил бы 5 единиц, полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил сумму 10 единиц и числа единиц задуманного числа, а результат произведенных действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного тебе результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число".

Фокус 17.                 «Угадайте сумму цифр задуманного числа»

Предложите каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого участника: какая сумма получилась? Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного числа. Секрет  фокуса. Пусть, например, задумано число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 - сумму цифр задуманного числа.