Определение производной
презентация к уроку алгебры (10 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

=x 0 + ∆ x Приращение функции и приращение аргумента y=f(x) x 0 f(x)=f(x 0 + ∆x) f(x 0 ) ∆ x ∆ f приращение аргумента : x y ∆ х = х - х 0 (1) Приращение функции : ∆ f = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ) (2) ∆ f = f(x)-f(x 0 ) (3) x В окрестности точки х 0 возьмём точку х Пусть х 0 - фиксированная точка, f( х 0 ) - значение функци в точке х 0 Расстояние между точками х и х 0 обозначим ∆х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х 0 : Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х 0 +∆х Функция f( х ) тоже примет новое значение: f(x 0 +∆x) Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x 0 ) = f(x 0 +∆x)-f(x 0 ) , КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆ f Дана функция f(x)

Слайд 3

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s ( t ), где t — время (в секундах), s ( t ) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Слайд 4

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s { t ). Дадим аргументу t приращение ∆ t и рассмотрим момент времени t+∆t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P : OP=s(t+∆t) Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: MP=OP-OM=s(t+∆t)-s(t)=∆s Полученную разность мы назвали в § 26 приращением функции Путь ∆s тело прошло за ∆t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [ t;t +∆t] : = А что такое скорость v ( t ) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [ t;t +∆t] при условии , что ∆t выбирается все меньше и меньше; точнее: иными словами, при условии, что ∆t→ 0.Это значит , что Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Слайд 5

Задача 2 Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Слайд 6

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s( t+h )-s(t) . Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s( t+h )-s(t) ≈v(t)∙h , или , причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h . Сказанное записывают в виде

Слайд 7

Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f( х 0 ) ), с отрезком которой почти сливается график функции f (х),называют касательной к графику в точке х 0 x 0 f(x 0 ) M 0 X y Тема: Задача, приводимая к понятию “ производная ” 0

Слайд 8

Задача: Определить положение касательной (tg φ ) х у 0 М 0 х 0 f(x 0 ) М х f(x) =x 0 + ∆x ∆ x ∆ f =f(x 0 +∆x)  φ Секущая , поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная Пусть дан график функции f( х ) и касательная, проходящая через точку М 0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0 Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол  Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0 При этом координата х точки М будет стремиться к х 0 К чему будет стремиться приращение аргумента? А к какому углу будет стремиться угол  ?

Слайд 9

Задача о касательной к графику функции y = f(x) x y x 0 М 0 (х 0 ,у 0 ) α А β В x М(х ,у) С ∆х =х-х 0 ∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

Слайд 10

Задача о мгновенной величине тока Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t . Пусть Δ t – некоторый промежуток времени, Δ q = q(t+ Δ t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δ t . Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δ q ко времени Δ t , при условии, что Δ t → 0 .

Слайд 11

Выводы Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

Слайд 12

Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ; t 1 ] ( масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле . Скорость растворения в данный момент времени

Слайд 13

Определение производной Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Слайд 14

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке ( x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ; в) мгновенная сила тока I ( t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у( t) , участвующего в реакции, по времени t .

Слайд 15

А л г о р и т м 1) ∆x = x – x 0 2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 ) 3) 4)

Слайд 16

А это значит: Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

Слайд 17

Основные формулы Средняя скорость = Мгновенная скорость или Скорость изменения функции Значение производной в точке =