Разработка урока по алгебре в 10 классе "Определение производной"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Ребята! Мы с вами начали изучение большой и важной темы “Производная”.  Запишите тему урока: “Определение производной”.

Математика в школе – это достаточно сложный предмет и самое главное для учащихся – понять, зачем она нужна. Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? Давайте попробуем вместе в этом разобраться.

В начале урока мне хочется дать вам небольшую историческую справку.

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 г. Научился находить касательные к алгебраическим прямым.

В 1638г Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который тоже занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов. Он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей.

Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему. Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали в пустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления.

«Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

 Основоположниками этого метода считаются Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) и Исаак Ньютон (1642 – 1727).

 Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

 С помощью диф. исчисления  был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века.

Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие диф. исчисления. Среди них - Джеймс Грегори, Якоб Бернулли, Гийом Франсуа Лопиталь, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, который в 1797 г.ввел термин «производная» и современные обозначения y’  , f ’ .

В настоящее время понятие производной находит большое применение в логистике и коммерческой деятельности. Умение применять производную к исследованию функции - важный элемент математической культуры.

Продолжить свой урок мне хочется словами Бориса Пастернака

Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности протекших дней,

До их причины,

До оснований,

До корней,  до сердцевины.

И сейчас мы постараемся дойти до самой сути определения производной  и покажем ее применение в различных областях знаний.

Рассмотрим задачи, приводимые к понятию производной.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. А теперь попробуем решить ту же задачу, не выходя из дома.

Пусть по прямой на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=S(t).   T – время в сек;   S(t) – положение тела на прямой в момент времени  t по отношению к началу отсчета (в м). Найти скорость движения тела в момент времени   t (в м/с).

Решение.

Пусть в момент времени  t тело находилось в т.М.  ОМ=S(t). Дадим аргументу t приращение    и рассмотрим положение точки в момент времени         .

Значит за      секунд тело переместиться из т.М в т.Р

Найдем среднюю скорость движения тела за промежуток времени    

Если           , то получим скорость в момент времени         - мгновенную скорость.

Задача о касательной к графику функции.

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке. Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.

Постараемся перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Будем считать, что кривая — это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев. Именно такая точка зрения была у создателей дифференциального исчисления. В первом учебнике по анализу, написанном 300 лет назад последователем Лейбница маркизом Лопиталем, дано следующее определение касательной: «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой»

Дан график функции                    . На нем выбрана точка                   , в этой точке к графику проведена касательная. Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение     и рассмотрим т.Р         .Угловой коэффициент секущей , т.е. тангенс угла наклона между секущей и осью Х             .  Станем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться, но с приближением Р1  к Р начнет стабилизироваться. Предельное положение секущей РР1 при стремлении точки Р1 к точке Р и будет касательной к кривой в точке Р.

Две различные задачи привели к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к 0.

Дать определение производной.

Физический смысл производной – производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной – значение производной в точке касания – угловой коэффициент касательной.

Дать алгоритм нахождения производной с помощью определения. (Записать в тетрадь).

Проверить дом. задание №39.45. Записать производные полученных функций.

А сейчас рассмотрим задачи, которые также можно решить с помощью производной.

Задача по химии

 Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:   р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)

  Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Производная в биологии

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост    в момент времени t.

Задача по географии:

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.

А мы с вами решим задачу №40.4.

В следующем году вы закончите школу и, наверное, каждый из вас уже сейчас задумывается: «Куда пойти учиться? Кем стать?»

 А нужно ли будет знание производной в вашей будущей профессии?

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Производная нашла широкое применение:                

а)  в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построении графиков функций;

   б)  в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения, плотности неоднородного тела и др.

   в)  в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной к кривой,

     а также в геометрии, астрономии, аэродинамике, химии и экономике, биологии и медицине.

  «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»                                    

                      Н.И. Лобачевский

Значит    изучать      производную    нам нужно?

А сейчас  давайте подведем итоги урока и  оценим нашу работу на уроке.

Продолжите фразу:        «Сегодня на уроке я узнал…»

«Сегодня на уроке я научился…»

«Сегодня на уроке я познакомился…»

«Сегодня на уроке я повторил…»

«Сегодня на уроке я закрепил…»

А сейчас запишем Д/з: п.40, №40.3(б, в),  №40.4(б, в)

Заканчивая свой урок, я поставлю проблемный вопрос: « Можно ли находить производные, не используя определение? Существуют ли более удобные способы?»