Теория пределов
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Справочный материал

Определение 1.

Постоянное число b называется пределом функции f(x)  при , если для любого малого, наперёд заданного, положительного числа  найдётся положительное число  такое, что для всех ха и удовлетворяющих неравенству  будет выполняться неравенство .

Обозначение: .

Определение 2.

Постоянная величина  а называется пределом переменной х, если разность между ними есть величина бесконечно малая, т.е. , если , .

Теоремы о пределах:

Теорема 1. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных.    lim x=a, lim y=b lim(x+y)=limx+limy=a+b

Теорема 3. Предел разности переменных величин, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных.     lim x=a, lim y=b lim(x-y)= limx-limy= a-b

Теорема 4. Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.   lim x=a, lim y=b lim(x y)= lim x lim y=a b

Следствия:

1. Предел произведения постоянной величины на переменную, имеющую предел, равен произведению постоянной на предел переменной. lim (Аx)=А lim х, где А=const, х- переменная.
2. Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени предела переменной.   lim xm=( lim х)m ;    lim  =lim =(lim x)=

Теорема 5. Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному пределов этих переменных (при условии, что предел делителя не равен нулю)

 lim x=a, lim y=b .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Функция, обратная по величине бесконечно большой, является бесконечно малой.
2. Функция, обратная по величине бесконечно малой, отличной от нуля, есть бесконечно большая.

Для функции f(x), такой, что f(x)0 в окрестности точки а, справедливы свойства:

1)если , то ;    2) если , то .

Свойства бесконечно малых функций.

1. Алгебраическая сумма (разность, произведение) двух бесконечно малых функций, есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную (в частности, на постоянную или бесконечно малую функцию) есть функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых функций

        Отношение двух бесконечно малых функций может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

        Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть  и  есть б.м.ф. при , т.е.  и .

1. Если , то   и   называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если , то   называется  бесконечно малой более высокого порядка,

чем

3. Если , то   называется  бесконечно малой более низкого порядка,

чем

4. Если  не существует, то и  называются  несравнимыми бесконечно малыми.

Пример1. Являются ли функции  и      бесконечно малыми функциями одного порядка при ?

Решение: При  функция  есть б.м.ф. более высокого порядка, чем , т.к. . В этом случае б.м.ф. стремится к нулю быстрее, чем .

Пример2. Сравнить порядок функций  и при .

Решение: Так как , то  есть б.м.ф. более низкого порядка, чем.

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Определение.    Если , то  и  называются эквивалентными бесконечно малыми (при  ); это обозначается так: ~.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

2. sin(x) ~x  (при );
3. sin(ax) ~ax  (при );
4. tg(x)~x  (при );
5. tg(ax)~ax  (при );
6. arcsin(x)~ x (при );
7. arctg(x) ~ x (при );
8. 1-cos(x) ~ (при );
9. ~ x (при );
10. ~ (при );
11. (при ).

Свойства бесконечно больших функций.

1. Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции есть функция бесконечно большая того же знака.
2. Сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака есть бесконечно большая функция того же знака.
3. Произведение бесконечно большой функции на функцию, по абсолютному значению превосходящую некоторую положительную постоянную (в частности, на бесконечно большую функцию) есть функция бесконечно большая.

Первый «замечательный» предел   (х- радианная мера угла)

Второй «замечательный» предел

Методические указания

Вычисление пределов:

1 тип. Предел делителя не равен нулю. В этом случае подставляем вместо переменной её предельное значение и вычисляем полученное выражение.

1)                               2)

3)

2 тип.  Предел делителя равен нулю. В этом случае предел дроби равен бесконечности.

4) ;  5)

3 тип.  Пределы делителя и делимого равны нулю.

В этом случае получим неопределённость   для раскрытия которой нужно выполнить некоторые преобразования данного выражения:

          - разложить на множители числитель и знаменатель дроби, затем сократить дробь, подставить вместо переменной её предельное значение и вычислить

или

 - умножить числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, сократить и          подставить предельное значение переменной

Замечание:  и - сопряжённые выражения.

6)

7)

4 тип.  Предел делителя равен ∞, а предел делимого – конечное число. В этом случае предел частного равен 0.

8) ;    9)

5 тип.  Пределы делителя и делимого равны . 

Если предел делителя и делимого равны , то получится выражение, не имеющее смысла (неопределённость ). Для раскрытия этой неопределённости нужно числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наивысшей степени.

10)  

Обобщающая таблица

Примеры

1. Доказать, что          

Решение.

Нужно доказать, что для любого положительного числа  можно найти такое положительное число , что неравенство  влечёт за собой неравенство . Для того, чтобы было  или , или  необходимо, чтобы было выполнено неравенство . Отсюда, при  будет иметь место неравенство . Таким образом, можно взять .

2. Показать, что

Решение.

1. Составим  разность
2. Если , то - бесконечно малая, как обратная бесконечно большой.
3. Так как  отличается от постоянной  на величину бесконечно малую, то постоянная является пределом переменной. Следовательно,

3. Найти пределы функций:

1)

2)      

                3)                    

                4)

Решение:

1. Функция  в предельной точке х=2 не определена, представляет отношение двух бесконечно малых (случай ). Преобразуем дробь, разделив числитель  и знаменатель на множитель, приводящий к этой неопределённости.
2. Разложим числитель и знаменатель на множители, как квадратные трехчлены, по формуле:

3)    Здесь имеет место неопределённость. Разделим числитель и знаменатель дроби на  (наивысшая степень х в данной дроби). Тогда:

4)     Применяя теоремы о пределах, получим неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом. Для этого из дроби   выделим целую часть  и сделаем замену переменной, полагая тогда, если , то  и ,

Упражнения.

1. Известно, что  

          Вычислите:

     2.  Известно, что

          Вычислите:

3. Вычислить пределы

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1. 

 Вариант 2.

Критерии оценок.

Используемая литература.

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов - «Высшая школа», 1983.
2. Суворов И.Ф. Курс высшей математики для техникумов: Учебное пособие для ССУЗов - «Высшая школа», 1967.
3. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике. - М., «Высшая школа», 2001.
4. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа». 10 класс. В 2ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений, 2008.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.- М.: Рольф,2000.

Ответы:

1. а) 0,2;    б) 0;   в) 1,2;  г) -1.

2. а) -10;  б) -12;  в) 4;    г) -54.

3.

2. 0
3. 4
4. 3
6. 0
7. 1
9. 0
10. 1
13. 108
16. 0
17. 0
20. 0
21. 2
22. 5
24. 0
25. 1
26. 0,5
28. 0,5
29. -12
30. 1
31. 3
33. 1
37. 0
38. 1
40. 1
41. 0,2
43. -0,2
44. 12
45. 0
47. 0,2
49. .
50.  0.
51. .  
52. -3.  
53. .
54.   3
56. -2
58. -108
59. 7
60.  -7
61.  
62. 32
63.  
64.  
65.  
66. 4.
67.  
68.  1.
69.  
70.  
71.  
72.  3
73.  
74.  
75.  
76. -2
77. -2
80. 0
81. 1
82.  
83. 0
84. 5 и  
86. e
87. e2 
90. 3,5
92. e
93. 1,5
96. 3