Уроки по теме "Арксинус"

В работе использованы электронные образовательные ресурсы с Федерального портала ФЦИОР, http://eor.edu.ru/ и с портала «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ЦОР, http://school-collection.edu.ru/                              

Цели урока:

Образовательные

1. ввести понятия арксинуса;
2. рассмотреть основные формулы для арксинуса;
3. научиться вычислять значение арксинуса.

Развивающие

1. развивать у учащихся математическую терминологию;
2. развивать умения грамотно читать математические записи.

Воспитательные

1. прививать аккуратность и правильность записи математических символов и выражений.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сбор тетрадей учащихся с целью проверки выполнения домашнего задания.

2. Подготовка к изучению новой темы.

3. Актуализация опорных знаний.

3.1. Фронтальная устная работа с классом.

1) Какую окружность в тригонометрии называют единичной окружностью?

2) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу ??

3) Что называют sin ?

4) Возможно ли равенство: а) sin =; б) sin =; в) sin = .

3.2. Подготовка к восприятию теоретического материала.

1) № 7.76

Постройте угол из промежутка , синус которого равен:

а) 0; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Учащиеся выполняют задание самостоятельно на миллиметровой бумаге, один из учащихся комментируют решение.

2) Постройте точки единичной окружности, соответствующие углам ?, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами:

а) sin =1; б) sin =; в) sin =; г) sin =.

Учащиеся комментируют решение.

При выполнении задания г) для учеников создается проблемная ситуация: как задать с помощью формулы углы, для которых выполняется равенство sin =.

Для описания подобной ситуации способ на математическом языке в рассмотрение был введен новый символ arcsin а. Читается: "Арксинус числа а ".

4. Объявление темы и целей урока.

Тема урока: "Арксинус". (анимация на Слайде 5 по щелчку мыши)

Изучение теоретического материала.

5.

5.1. Объяснение новой темы.

Арксинус - обратная тригонометрическая функция. (Всего в ходе изучения алгебры мы познакомимся с четырьмя обратными тригонометрическими функциями).

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Рассмотрим на координатной плоскости xOy единичную окружность.

Если |а|1, то прямая y=а пересекает правую полуокружность единичной окружности в единственной точке В. (анимация по щелчку мыши) При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , синус которого равен а. (анимация по щелчку мыши)

5.2. Определение арксинуса.

Арксинус числа а (|а|1) - угол из промежутка , синус которого равен а: sin=а.

Примеры:

Что означает arcsin ? Это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

Что означает arcsin ()? Это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Вычислить arcsin 0; arcsin 1; arcsin(-1); arcsin; arcsin . (анимация по щелчку мыши)

При обсуждении последнего примера возникает вопрос о существовании арксинуса.

5.3. Существование аргсинуса.

5.4. Формулы для арксинуса.

6. Закрепление нового материала.

Необходимые для решения тренировочных упражнений теоретические сведения.

Учащиеся выполняют задания в тетради, по очереди комментируя решение у доски или с места.

№ 7.80 а, б, е, ж, з

Имеет ли смысл запись: а) arcsin ; б) arcsin ; е) arcsin; ж) arcsin; з) arcsin

№ 7.81 а, б

Вычислите: а) sin(arcsin); б) sin(arcsin()).

№ 7.82

Вычислите: а) arcsin 1; б) arcsin (-1); в) arcsin 0; г) arcsin; д) arcsin; е) arcsin; ж) arcsin; з) arcsin; и) arcsin.

№ 7.83 а, б

Сравните с нулем: а) arcsin; б) arcsin().

Дополнительные тренировочные упражнения.

Вычислите:

а)  arcsin (-1) - arcsin - 2 arcsin 0;

б) arcsin 1 - arcsin+ arcsin;

в) arcsin 0 + arcsin + arcsin + arcsin 1;

г)  arcsin 0 + arcsin - arcsin + arcsin (-1);

д)  6 arcsin (-1) - 12 arcsin + 5 arcsin .

Учащиеся выполняют дополнительные упражнения самостоятельно в тетради.

Проверяются тетради у учащихся, которые первыми выполнили задание.

7. Подведение итогов урока.

Какие значения могут принимать величины а и b,  если b = arcsin a?

Что означает arcsin ? Что означает arcsin () ?

Чему равны значения арксинуса?

На слайде демонстрируется таблица, которая заполняется учащимися устно

(самопроверка по щелчку мыши).

Выставление оценок за работу на уроке.

Домашнее задание.

№ 7.75 а, б, е

Постройте точки единичной окружности, соответствующие углам ?, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами:

а) sin =; б) sin =; е) sin =.

№ 7.80 в, г, д, и.

Имеет ли смысл запись: в) arcsin ; г) arcsin ; д) arcsin; и) arcsin.

№ 7.81 д, е.

Вычислите: д) sin(arcsin 0,3); е) sin(arcsin (-0,3)).

№ 7.83 г, е.

Сравните с нулем: г) arcsin 0,9; е) arcsin (-0,9).

Урок №2.

Цели урока:

Образовательные 

1. закрепить понятия арксинуса;
2. рассмотреть задачи на построение и нахождение углов, при решении которых используется понятие арксинуса;
3. провести первичный контроль знаний по теме.

Развивающие 

1. развивать у учащихся умение работать самостоятельно;
2. развивать умение работать с литературой.

Воспитательные

1. прививать интерес учащихся к предмету;

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Объявление темы и целей урока.

3. Проверка усвоения изученного материала.

3.1. Проверка усвоения теоретического материала.

№ 7.780.

Назовите угол из промежутка угол из промежутка , синус которого равен:

1) 1; б) -1; в) 0; г) ; д) ; е) .

№ 7.790

Что называют арксинусом числа а? Для каких а существует arcsin а, для каких нет?

3.2. Устная работа с классом.

Имеют ли смысл выражения:

а)  arcsin ; б) arcsin  1,5; в) arcsin  (3-)?

Сравните с нулем: а) arcsin 0,6; б) arcsin  ?

3) В каких четвертях расположены углы: а)  arcsin 0,9; б) arcsin  (-0,8)?

4) Вычислите: а)  sin (arcsin  0,4); б)  sin  (arcsin  (-0,7)); в) arcsin 1+ arcsin (-1) - arcsin (-0,5).

Подготовка к выполнению тренировочных упражнений.

№ 7.84 (учитель объясняет выполнения номера)

С помощью арксинуса выразите углы из промежутка , соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. в учебнике).

Решение тренировочных упражнений.

№ 7.85 а, б, е (учащиеся выполняют номер самостоятельно, используя в качестве опорного материала № 7.84 )

Постройте углы: а)  arcsin ;   - arcsin ;   б)  arcsin ;   - arcsin ;   е)  arcsin ;   - arcsin .  

№ 7.86 а, в, е, з, к, л (учащиеся выполняют номер самостоятельно, используя в качестве опорного материала записи в тетради и примеры в учебнике стр. 189 )

Найдите все углы , для каждого из которых: а) sin =1; е) sin = ;  з) sin = ;   к) sin = ;  л) sin = .  

Учитель контролирует выполнение учащимися заданий, давая необходимые пояснения.

Домашнее задание.

№ 7.85 в, г, д.

Постройте углы: в)  arcsin ;   - arcsin ; г)  arcsin ;   - arcsin ;   д)  arcsin ;   - arcsin .  

№ 7.86 б, в, ж, м.

Найдите все углы , для каждого из которых: б) sin = -1; в) sin = 0; ж) sin =   м) sin = . 

4. Самостоятельная работа.

Цель: контроль усвоения темы "Арксинус".

Вариант I.

№ 1. Имеет ли смысл запись: а) arcsin ; б) arcsin .

№ 2. Вычислите: а)  arcsin ;  б)  arcsin ;  в) arcsin (-1) - 6 arcsin + 4 arcsin 1.

№ 3. Изобразите на единичной окружности все точки, соответствующие углам = arcsin , = arcsin

Вариант II.

№ 1. Имеет ли смысл запись: а) arcsin 0,4; б) arcsin .

№ 2. Вычислите: а)  arcsin ;  б)  arcsin ;  в)  2arcsin 0 - 4 arcsin + arcsin 1.

№ 3. Изобразите на единичной окружности все точки, соответствующие углам = arcsin , = arcsin

5. Подведение итогов урока.

Мы рассмотрели обратную тригонометрическую функцию "Арксинус", научились вычислять значения арксинуса, строить и выражать углы, соответствующие точкам единичной окружности.

На следующих уроках нас ждет знакомство с другими обратными тригонометрическими функциями.

Список литературы: 

1. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 5-е изд. - М.: Просвещение; АО "Московские учебники", 2006. - 285 с.
2. Алгебра и начала анализа: 10 кл.: базовый и профил. уровни: кн. для учителя/ М.К. Потапов, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2008.- 191 с.
3. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 кл. / М.К. Потапов, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2005.- 159 с.
4. Материалы курса "Тригонометрия в школе". Лекция 1-4./Н.Н. Решетников. - М.: Педагогический университет "Первое сентября", 2006. - 96 с