Разработка урока алгебры в 11 классе с использованием ИКТ на тему "тригонометрические уравнения"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Описание конкурсных материалов

МОДЕЛЬ УРОКА

Автор учебного занятия  (урока): Новосёлова Лидия Евгеньевна

Тема учебного занятия (урока): Решение тригонометрических уравнений

Координаты автора (ОУ, телефон, e-mail): МОБУ СОШ села Амзя,

                                                                             тел. 89063720113,

                                                                              linovoselova@mail.ru

Компетентности, формируемые на учебном занятии

Обучающийся должен знать:

- значения тригонометрических функций для углов ;

- тригонометрические формулы;

- формулы для решения простейших тригонометрических уравнений;

- технологию решения основных типов тригонометрических уравнений:

1. заменой;
2. разложение на множители;
3. однородные уравнения первой и второй степени.

Ученик должен уметь:

- распознавать вид уравнения;

     - определяться со способом решения каждого конкретного уравнения

Предметная область учебного занятия (урока): математика

Возраст обучающихся: 11 класс

Краткая аннотация учебного занятия (урока)

1. Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений».
2. Ход урока
3. Организационный момент. Приветствие.
4. Устная работа. Презентация (слайды).
5. Работа по теме урока.

1. Разбор схемы способов решения тригонометрических уравнений.
2. Решение примеров на каждый из способов.

6. Проверочная работа на компьютерах (тест).
7. Анализ оценок.  Итоги урока.
8. Литература:

1. Цыганов Ш.И. «Все задачи ЕГЭ прошлых лет».- Уфа,2008
2. Разработка учителя математики Грико Л.В., г. Искитим Новосибирской области.
3. Интернет.

Конкурс  «ИКТ в творчестве педагога 2011-2012»

Учебная тема: «Тригонометрия»

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

 11класс

                                                                 Новосёлова Лидия Евгеньевна

                                                                 учитель математики  

                                                                 первой квалификационной категории

                                                                 МОБУ СОШ села Амзя

г. Нефтекамск

2012 г.

Цели урока.

Образовательные.

1. Систематизация знаний по темам: «Тригонометрические формулы», «Решение простейших тригонометрических уравнений», «Способы решений тригонометрических уравнений».
2. Повторение и закрепление полученных знаний.
3. Умение применять полученные знания к решению нестандартных задач на экзаменах.

Развивающие.

1. Расширение кругозора обучающихся.
2. Развивать потребность к самообразованию.
3. Развитие познавательной активности.
4. Развитие приёмов внимания, умения сопоставлять, анализировать, делать выводы.

Воспитательные.

1. Воспитание самостоятельности, ответственности, мобильности, умения работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Формы организации работы на уроке: индивидуальная, групповая.

         Ход урока:

1. Проверка выполнения домашнего задания проводиться в течении всего урока – каждому  было дано одно тригонометрическое уравнение, решение которого они оформляют на доске перед уроком, а на уроке его объясняют (см. уравнения из схемы «Способы решения тригонометрических уравнений»).

2. Актуализация знаний.

1. На доске приготовлена таблица значений функций, которую учащиеся заполняют по строчкам, правильность каждой из которой проверяются с помощью открывающихся сразу после ответа слайдом на экране.

Таблица:

2. Простейшие тригонометрические уравнения (по одной строчке)
3. Частные случаи (а=0, а=1, а=-1)
4. Основные тригонометрические тождества
5. Формулы суммы и разности аргументов
6. Формулы двойного аргумента (тройного)
7. Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени
8. Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
9. Формулы приведения.

Все формулы и правила учащиеся проговаривают устно, правильность ответов проверяется сразу открывающимся слайдом на экране.

3. Решение задач.

     Способы решения тригонометрических уравнений. Схема для трёх способов (метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные уравнения первой и второй степени) выведена на экран. Каждый из способов обсуждается и рассматривается на конкретных примерах, которые были заданы каждому по одному примеру на дом, и перед уроком оформлены кратко на доске.

Метод замены переменной.

1) 2sin² x -5sin x +2 = 0

    sin x =t, ǀtǀ≤1(*),

    2t²-5t + 2=0,

    t=½, sin x = ½, x=(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ,

    t=2-не удовлетворяет условию (*).

2) cos² x – sin² x – cos x=0,

   2cos²x – cos x – 1 =0,

   cos x=t, ǀtǀ≤1(*),

   2t² - t – 1 =0, t=-½, cos x =- ½, x = ±⅔π+2πn, nєZ,

                        t= 1, cos x = 1, x = 2πn.

3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4,

   tg x/2 =t, tєR,

  t + 3/t – 4 = 0, t² - 4t + 3 = 0,

                         t=1, tg x/2 = 1, x =π/2 + 2πn,

                        t = 3, tg x/2 = 3, x = 2arctg 3 +2πn, nєZ.

Метод разложения на множители.

1. (sin x - ⅓)(cos x+2/5)=0,

sin x – 1/3=0         или                cos x + 2/5 = 0,

sin x = 1/3,                                  cos x =-2/5,

     x =(-1)ⁿ·arcsin1/3 + πn, nєZ,          x = ±(π-arccos2/5) + 2πn, nєZ.

2. 2sin x cos 5x – cos 5x = 0,

cos 5x (2sin x - 1) = 0,

cos 5x = 0,                      или              2sin x – 1 =0,

     x = π/10 +  πn/5,  nєZ,                        x = =(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ.

Однородные уравнения 1-ой степени.

1. 2sin x – 3 cos x = 0, /:cos x               2) sin 2x + cos 2x = 0,/:cos 2x

2tg x – 3 = 0,                                         tg 2x =-1,

tg x = 3/2,                                              x =- π/8 +  πn/2,  nєZ.

x = arctg 3/2 + πn, nєZ.

         Однородные уравнения второй степени.

1. sin²  x – 3 sin x· cos x + 2cos²  x = 0, /:cos²  x

tg²  x – 3tg x + 2 = 0,

tg x =t, tєR,

t² - 3t + 2 = 0,

t =1, tg x = 1, x = π/4+ πn, nєZ,

t = 2,tg x = 2, x = arctg2  + πn, nєZ.

2. √3sin x· cos x + cos² x = 0,

cos x(√3sin x + 1) = 0,

cos x = 0,                       или               sin x = -1/√3,

x = π/2 +πn, nєZ,                               x = (-1)ⁿ·arcsin(-1/√3) + πn, nєZ/

     3)  sin³ x + sin² x· cos x – 3sin x· cos² x – 3cos³ x = 0, /:cos³ x

           tg³ x + tg² x – 3tg x – 3 = 0,

         (tg x - 3)(tg x + 1)= 0,

         tg x =±√3                  или                     tg x = -1,

        x = ±arctg√3 + πn, nєZ,                      x = -π/4.

    4) 3sin² 3x – 2√ 3sin 3x·  cos 3x + 5cos² 3x = 2,

   sin² 3x – 2√ 3sin 3x · cos 3x + 3cos² 3x =0,

   tg² 3x – 2√3tg 3x + 3 = 0,

   (tg 3x -  √3)² = 0,

   tg 3x = √ 3,

    x = π/6 +πn/3, nєZ.                              

4. Проверочная работа, проводится с помощью ПК. Обучающиеся разбиваются на 2 группы: 1-я-те, кому достаточно на экзамене работы по части В(они решают тест- см. тест, оформленный в Microsoft Excel), 2-я – те, кто планирует приступать к решению части С на экзамене – необходимо решить 3 тригонометрических уравнения по теме урока ( приводится 3 примера, оформленные в Microsoft Word). Оценка выставляется сразу по выполнению работы.

5. Итоги урока. Домашнее задание: найти и решить одно «интересное» тригонометрическое уравнение из ЕГЭ с применением способа, не рассмотренном на уроке.

  Методические рекомендации

к разработке урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»

 в 11 классе.

  Данный урок целесообразно проводить с использованием ИКТ или интерактивного оборудования по следующим соображениям:

1. Экономия времени на уроке за счет того, что весь материал для повторения, работы в течение урока, для проведения проверочной работы уже не надо готовить на доске или карточках. За счет сэкономленного времени можно разобрать больше материала, необходимого для подготовки к экзаменам- а это очень важный фактор для 11-тиклассников,особенно тем, кому необходимо большое количество набранных на экзамене баллов.
2. Материал данной темы (тригонометрия) всегда труден для обучающихся, но всегда присутствует на экзаменах. Поэтому для его усвоения и хорошего запоминания приходится использовать не како-то один вид работы. С  использованием ИКТ можно задействовать и слуховую память и зрительную, и повысить заинтересованность обучающихся к предмету, разнообразить формы работы (это и просмотр телевизора, и работа на доске и в тетради , и работа на компьютере).
3. Подготовленный дидактический материал позволяет работать и со «слабыми», и с «сильными» и для разных классов- с 9 по 11-й, он полностью соответствует программам и учебным планам этих классов.
4. Урок построен так, что каждый этап проходит с использованием ИКТ: повторение – использование слайдов, разбор методов решения выполнен в виде схемы на экране, проверочная работа проводится на компьютерах (работа разноуровневая- для «слабых» - тест с простыми заданиями, для более «сильных» - самостоятельная работа с последующей сразу после выполнения работы проверкой ответов и решений, приготовленных в компьютерах)
5. Данная разработка урока хороша ещё и тем, что так как в кабинете не всегда бывает в наличии и проектор (или, как в нашем случае, телевизор ), и компьютеры, любую из частей урока можно использовать, распечатав материал в бумажном варианте.
6. Системность такой работы на уроке развивает в обучающихся информационные, коммуникативные, социальные компетентности. У обучающихся формируются умения получать, осмысливать, обрабатывать, использовать полученные знания – всё это играет большую роль для наших выпускников при поступлении и актуально на данный момент для каждого из нас в современном обществе.

1 вариант.

Реши уравнение:

2 вариант.

Реши уравнение:

1 вариант.

1)   x=π/2 +2πn, nєZ,

2)    x = π +2πn, nєZ.                              

           3)    x =- π/4+ πn, nєZ,

        x = arctg3  + πn, nєZ.

2 вариант.

1)    x = 2πn. nєZ,

2)     x = 2πn, nєZ.

3)     x = π/4+ πn, nєZ,

         x = arctg2  + πn, nєZ.

Решение.

1 вариант.

1) sin²  x – 4sin x + 3 = 0,

      sin x =t, ǀtǀ≤1(*),

    t²-4t + 3=0,

    t=1, sin x = 1, x=π/2 +2πn, nєZ,

    t=3-не удовлетворяет условию (*).

2) 3cos x/2 = 2 cos²  x/2,

     cos x/2· (2cos x/2 - 3) = 0,

     cos x/2= 0       или         cos x/2  = 1,5 – корней нет ,

     x = π +2πn, nєZ.                              

3) 3 cos²  x – sin²  x + 2sin x ·  cos x = 0.

     tg²  x – 2tg x - 3 = 0,

     tg x =t, tєR,

    t² - 2t - 3 = 0,

     t =-1, tg x =- 1, x =- π/4+ πn, nєZ,

     t = 3,tg x = 3, x = arctg3  + πn, nєZ.

2 вариант.

1) cos²  x – 4cos x + 3 = 0,

    cos x=t, ǀtǀ≤1(*),

    t² -4 t + 3 =0,

     t=3-не удовлетворяет условию (*),

     t= 1,  cos x = 1, x = 2πn. nєZ,

2) 3sin x/2 = 2sin²  x/2,

     sin x/2· ( 2sin x/2 – 3)= 0,

     sin x/2 = 0,            или    2sin x/2 – 3 = 0,

     x = 2πn, nєZ.                   sin x/2 = 1,5– корней нет.

3) 3sin²  x – 3sinx·  cosx + 4cos²  x = 2.

     tg²  x – 3tg x +2 = 0,

     tg x =t, tєR,

    t² - 3t + 2 = 0,

     t =1, tg x = 1, x = π/4+ πn, nєZ,

     t = 2, tg x = 2,  x = arctg2  + πn, nєZ.