Урок. Решение тригонометрических уравнений, 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

 «Решение тригонометрических уравнений. Основные методы».

Цели:

1) повторить основные методы решения тригонометрических уравнений;

2) углубить знания учащихся по теме, разобрав метод введения вспомогательного аргумента;

3) проверить  навыки учащихся по решению тригонометрических уравнений основными методами;

4) развитие коммуникативных компетенций учащихся;

5) развитие логического мышления, аналитической и информационной культуры.

Ход урока.

I.  Организация класса. Постановка цели.

II. Проверка домашнего задания (самоконтроль в парах)

1) Домашнее задание: решить по 6 уравнений каждому варианту. В результате решения которых,  у учащихся должны были получиться слова «период» - 1 вариант, «радиан» - 2 вариант.

1 вариант.

1. cos²(π - x) + 8cos(π + x) +7 = 0. Ответ: x = 2πn, n ∈ Z   

2. tg² x + 2tg x = 3. Ответ:  x = π4 + πn, n ∈ Z;

                                             х = arctg 2 + πn, n ∈ Z.

3. 3cos x - 2sin 2x = 0. Ответ:   x = π2 + πn, n ∈ Z;

                                                    х = (-1)кarcsin 34 + πк, n ∈ Z.

     4. Найти произведение корней уравнения sin 3x +sin x = 0, удовлетворяющих неравенству cos x ≥ 0. Ответ: произведение равно 0 [x = πn2, n∈ Z, (- π/2, 0, π/2)].

 5. 4sin²x ­ sinx·cosx ­ 3cos²x = 0.  Ответ:  x = π4 + πn, n ∈ Z;

                                                                      х = arctg(-34)+ πn, n ∈ Z.

6. Найти сумму корней уравнения sinx·cosx + cos²x = 0, принадлежащих отрезку [-π;0].

      x = π2 + πn, n ∈ Z;       х = -π2;

     x = π4 + πn, n ∈Z.        x = π4.    Ответ: сумма  равна -3π4

2 вариант.

1. 2sin²(π ­ x) ­ 5sin(π + x) – 3 = 0. Ответ: х = (-1)к π6 + πк, к ∈ Z.

2. 2 tg x + 2сtg x = 5. Ответ:   х = arctg 2 + πn, n ∈ Z;

                                                  х = arctg 12 + πn, n ∈ Z.

3. 5sin x + 3sin 2x = 0. Ответ:     x = πn, n ∈ Z;

                                                      х = ± arccos(­56)+2πn, n ∈ Z.

4. Найдите сумму корней уравнения cos 5x +cos x = 0, удовлетворяющих неравенству

sin x >0.   x = π6 + πn3, n ∈ Z;  0 < x < π.     Ответ: сумма равна  5π2

                x = π4 + πn2, n ∈ Z.

5. 3sin² x + 4sin x·cos x + cos² x = 0.  Ответ:     x = -π4 + πn, n ∈ Z;

                                                                             х = arctg (-13)+ πn, n ∈ Z.

6. Найдите произведение корней уравнения 3   sin x·cos x + sin² x = 0, принадлежащих отрезку [0; π].    x = πn, n ∈ Z 

                  x = -π3 + πn, n ∈ Z; (0; π; 2π/3). Ответ: произведение равно 0.

Вопросы к домашнему заданию:

1. Назовите полученное слово. Дайте его определение (для 1 варианта – дайте определение периодической функции).

2. Перечислите корни 6-го уравнения (1 вариант)

3. Назовите интервал, являющийся решением № 4 (2 вариант)

4. Назовите числа, не входящие в ОДЗ 2-го уравнения.

5. Каким методом решается уравнение 5?

2) Во время проверки домашнего задания и устной работы 3 ученика у доски решают уравнения:

1. cos x + 2cos 2x = 1. (замена переменной, приведение к квадратному).

Ответ:   х = π + 2πn, n ∈ Z;  

               х = ± arccos  34 + 2πn n ∈ Z.

 2. sin x + sin 2x +  sin 3x = 0 (применение формулы суммы синусов и разложение на множители)

Ответ:    x = πn2, n ∈ Z;

                х = ± 2π3+2πn, n ∈ Z.

3. cos2 x + 4sin2 x = 2sin 2x (однородное)

Ответ: х = arctg 12 + πn, n ∈ Z.

III. Устная работа.

1) работа по карточке устного счета (простейшие тригонометрические уравнения)

2) на доске написаны уравнения:

1. 8cos2 x + 6sin x – 3 = 0;

2. sin x – sin 2x + sin 3x – sin 4x = 0;

3. 3sin2 x - 4sin x·cos x + 5cos2 x = 2;

4. cos 2x· cos 4x = cos 6x.

5. cos 2x - 5 sin x – 3 = 0;

6. 4cos2 x – sin 2x = 3;

7. cos 2x + sin 2x – sin 4x = 0;

8. 3 sin x + cos x = 2;

9. cos2 х2+ cos2 3х2 - sin2 2x - sin2 4x = 0.

Вопросы к уравнениям:

а) какие из данных уравнений решают заменой переменной и приведением к квадратному?  Какое ограничение накладывается на новую переменную?

б) какие формулы необходимо использовать при решении уравнения 4? Есть ли в списке уравнений еще уравнение, решаемое также?

в) назовите номера однородных уравнений.

г) назовите формулы, применяемые при решении уравнений  2 и 7.

3) Проверка решения уравнений учащимися у доски.

IV. Решение уравнений.

1)  Решим уравнение 8 на доске и в тетрадях: 1 ученик решает с помощью универсальной подстановки. В это же время 2-й ученик готовит сообщение о решении этого уравнения способом введения вспомогательного аргумента (теория + решение).

Решение с помощью универсальной подстановки:  3 sinx + cosx = 2;

Воспользуемся формулами: sinx=2tgx21+ tg2x2,cos= 1-tg2x2 1+ tg2x2.

Получим 32tgx21+ tg2x2+ 1-tg2x2 1+ tg2x2 = 2,

23 tg x2 + 1 - tg2x2 - 2 - 2tg2x2 = 0,

x ≠π+2πn, n ∈ Z

Пусть tg x2 = t,  имеем -3 t2 +23 t - 1 = 0,

                                     t = 33,

                                    tg x2 = 33,

                                    х2 = arctg 33 + πn, n ∈ Z,

                                    х2 = π6 + πn, n ∈ Z,

                                   x = π3 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: π3+ 2πn, n ∈ Z

Способ введения вспомогательного аргумента (теория): а cos x +b sin x = c. Стандартным является следующий прием: пусть φ – угол, задаваемый равенствами cos φ = aa2+b2 ,

sin φ = ba2+b2 . Для любых а и b такой угол φ существует. Это следует из того, что любые числа m и n, такие что  m2 + n2 = 1, можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла. Таким образом, а cos x +b sin х  = a2+b2 (aa2+b2 cos x + ba2+b2 sin x) =

a2+b2 (cos φ · cos x + sin φ · sin x) = a2+b2 cos (x – φ). Итак, получим формулу

а cos x +b sin х  =a2+b2 cos (x – φ), где cos φ = aa2+b2 , sin φ = ba2+b2 . В зависимости от знаков а и b можно взять угол φ равным arctg ba или π + arctg ba . (Если а > 0, b > 0 или а > 0, b < 0, φ = arctg ba , в других случаях φ = π + arctg ba).

Решение способом введения вспомогательного аргумента: 3 sinx + cosx = 2;

Разделим уравнение на 2, получим 32sin x +12cos x = 1,  32+12 = 2,

32 = cos π 6

  12=sinπ6.

сos π6 ·sin х  + ·sin π6·cos x =1,
sin (π6 + x) = 1,

π6 + x = π2 + 2πn, n ∈ Z,

x = π3 +2πn, n ∈ Z.

 Ответ: π3 +2πn, n ∈ Z.

2) Найдите число корней уравнения cos2 x - sin2 2x + cos2 3x = 12 принадлежащих отрезку [0;2π]. (С комментарием). Преобразовать данное уравнение до вида cos 4x·(2cos 2x + 1) = 0, оставшееся решение выполнить дома.

Применим формулы понижения степени cos2 x = 1+cos2x2, sin2 x = 1-cos2x2.

Получим   1+cos2x2 -  1-cos4x2 +1+cos6x2 = 12. Умножим данное уравнение на 2.

Имеем 1 + cos 2x – 1 + cos 4x + 1 + cos 6x = 1,

             cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0,

            2сos 2x+6x2·cos2x-6x2 + cos 4x = 0,

            2cos 4x·cos 2x + cos 4x = 0,

            cos 4x·(2cos 2x + 1) = 0,

            cos 4x = 0,

            2cos 2x + 1 = 0;

            х = π8+πn4,n∈Z, 

            x = ±5π12+πn,n∈Z.

Для нахождения числа корней, принадлежащих отрезку [0;2π], решим двойные неравенства  0≤π8+πn4≤π,  0≤5π12+πn≤π,  0≤-5π12+πn≤π получим: число корней уравнения – 12.

Ответ: 12.

V. Домашнее задание

1) из данного списка уравнений:  обязательный уровень – 3, 6

                                                         для любителей математики – 2, 4, 5

2) рассмотреть пример 8 пункта 11 (учебника) и решить № 175 (в)

VI. Дифференцированная самостоятельная работа с самоконтролем.

VII. Итоги урока.

Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей № 4

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе:

«Основные методы решения тригонометрических уравнений»

(применение технологии

уровневой дифференциации обучения)

Учитель математики

                                               Федорова С.А.

г. Чехов

Московская область