Урок на тему: Три правила нахождения первообразных
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема урока: Три правила нахождения первообразных(2 курс, 2 ч.)

   Цели: рассмотреть правила нахождения первообразных и упражнять учащихся в их применении, выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку и первообразные функции в случаях, непосредственно сводящиеся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных.

   Ход урока

1. Устные упражнения:

1. Найдите какую — либо первообразную функции:  а) f(x) = х3+4;   б)g(x) = х2+х;               в)q(x)=х10 — х-3;    г)t(x)= х2/3 +1;  е)d(x)=2х5-3х2;      д)f(x)=3х3+2х-1;     з)f(x)=3cosx-4sinx.

2. Найдите множество всех первообразных функции: а) f(x) = х15-х-6;   б)g(x) =1/х5+2,7;

в)q(x)=х-2 —1/ х4.

3. Докажите двумя способами, что функция F является первообразной функции f, если:

а) F(x) = х3/3- x5/5;   f(x) = х2- х4;               б)F(x)=х7/7 +х16/6;    f(x)= х6 +х15 (Использовать в одном  способе определение первообразной, в другом — теорему о нахождении первообразной суммы функций).

4. Известно, что скорость изменения функции F находится по формуле v(x)= x2+x. Задайте формулой функцию F, если F(0)=0.
5. Скорость изменения функции G подчиняется закону v(x)=x3-x2. Найдите функцию G, если известно, что ее график проходит через точку М(0;3).
6. Первообразная функции  f имеет вид F(x)= х3+15. Найдите какую- либо первообразную функции: а)3f;  б)14f;   в)-7,5f.
7. Найдите одну из первообразных для функции: а) f(x)=7x6;    б)g(x)=-9х3;   в)m(x)=1,8х2;   г)d(x)=5х-2; д)w(x)=х/3.

1. Объяснение нового материала:

1. Выписываются на доске два равенства, например: sin'x=cosx;   (x2)'= 2x. Вопрос: можно ли исходя из этих равенств, указать какие -либо первообразные функции cosx и 2x.

Затем выписывать равенство (sinx + x2)'= sin'x+(x2)'=cosx+2x.

Вопрос: укажите хотя бы одну из первообразных функции  cosx+2x.

Оказалось, что в качестве первообразной для суммы функций   cosx и 2x можно взять сумму первообразных этих функций. Это же будет справедливо и в общем случае.

2. Рассматриваются правила нахождения первообразных.

3. Примеры 1-4 из учебного пособия.

3. Закрепление изученного материала.

1. №342, 343, 345

4. Самостоятельная работа 1(СО- обучающая самостоятельная работа)

Вариант 1. Найдите первообразную функции h(x)= x5+3x3. Сделайте проверку путем дифференцирования полученной в ответе функции.

Примерное оформление решения:

1. h(x) =x5+3x3= f(x)+ 3g(x), где   f(x)= х5,   g(x)=х3.
2. Функция                            Одна из первообразных

х5                                                                                         х6/6

х3                                                    х4/4

3х3                                                 3х4/4

х5+х3                                                      х6/6+3х4/4.

3. H(x) = х6/6+3х4/4.
4. Проверка:           H'(x) = (х6/6+3х4/4)' = 6  х 5   +4   х3 =  х5+х3.         H'(x)=h(x).

                                                                     6            4

Аналогично найдите первообразную функции f(x)= 2x+x2.

Вариант 2. Для  функции g(x) =4x3+x найдите какую — либо первообразную.

Примерное оформление  решения:

1. g(x) =4x3+x = 4 f(x)+h(x), где f(x)= x3,      h(x)=x.
2. Функция                                                 Одна из первообразных

            х3                                                                               х4/4

           4х3                                                                             4х4/4= х4

           х                                                                                  х2/2

          4х3+х                                                                          х4+х2/2

3. G(x)= x4+ x2/2

Аналогично найдите первообразную для функции g(x) = 3x5 -x.

Вариант 3. Найдите первообразную функции f(x) = 13x4 -7х6.

Примерное оформление решения:

1)f(x)=  13x4 -7x6= 13g(x)- 7h(x),  где g(x) =x4,  h(x)=x6.

2) Функция                                                            Одна из первообразных

           х4                                                                              х5/5

         13х4                                                                          13х5/5

           х6                                                                               х7/7

         -7х6                                                                             -7х7/7=  - х7

          13х4 — 7х6                                                                 13х5/5 - х7     

3) F(x)=        13х5/5 — х7

Аналогично найдите первообразную функции t(x)= 4x6 -15x9.

Вариант 4. Найдите первообразную функции g(x) =        

Вариант 5. Найдите  одну из первообразных функции f(x)= x/√x+8x   и запишите  общий вид первообразных этой функции.

Примерное оформление решения:

1. f(x)=   x/√x+8x = g(x)+8h(x), g(x)= x/√x= x/x1/2 = x1/2, h(x)=8x
2. Функция                                               Одна из первообразных

                  х1/2                                                                  х3/2 =  2х3/2

                                                                                                                                                        3/2       3

                  х                                                                    х2/2

                 8х                                                                   8х2 /2=4х2

                  х1/2+ 8х =                                                     2/3х3/2+4х2

1. F(x) =    2/3х3/2+4х2
2. Общий вид: F(x) =    2/3х3/2+4х2+С

Найдите аналогично первообразную функции g(x)= 5 + x 2/√x и запишите общий вид первообразных  этой функции.

Вариант 6. Найдите общий вид первообразных функции f(x) = x2/√x -2x2.

Примерное оформление решения:

1) f(x)= x2/√x -2x2 = g(x) – 2h(x), где g(x) = x2/√x = x2/x1/2= x1,5, h(x) =x2.

2) Функция                                                                 Одна из первообразных

        х1,5                                                                                                                                                    х2,5/2,5

        х2                                                                                        х3/3

       -2х2                                                                                     -2х3/3

       х1,5-2х2                                                                                х2,5/2,5- 2х3/3

3) Общий вид:    х2,5/2,5- 2х3/3+С

Аналогично  найдите общий вид первообразных функции  g(x)= 1/√x-2√x/x

Самостоятельная работа 2(СО)

Вариант 1.  

1. Найдите первообразную функции f(x)= (2x+9)5.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте функцию f  как композицию двух функций:  g(x)= 2x+9;    h(x) =  (2x+9)5.

2) Задайте  с помощью формулы функцию h (внешнюю): h(x)=x5.

3) Найдите первообразную функции h: H(x) =х6/6.

4) Найдите коэффициент k линейной функции и составьте первообразную сложной функции, у которой внешняя функция h, внутренняя — g(x) =2x+9:   k=2, F(x)= 1/2(2x+9)6/6=(2x+9)6:12.

2. Найдите первообразную функции  g(x)= (4x-6)4.

Вариант 2.

1) Найдите первообразную функции g(x)= (-4x+13)7.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте функцию g  как композицию двух функций:  h(x)= -4x+13;    f(x) =  (-4x+13)7.

2) Задайте  с помощью формулы функцию f (внешнюю): f(x)=x7.

3) Найдите первообразную  внешней функции  f(x)=  x7:     F(x) =х8/8.

4) Найдите коэффициент k линейной функции и составьте первообразную сложной функции, у которой внешняя функция f, внутренняя — h(x) =-4x+13:    k=-4, G(x)= -1/4(-4x+13)8/8=

(-4x+13)8:32.

2. Найдите первообразную функции  fx)= (-7x+3).

Самостоятельная работа СК (СК-самостоятельные работы контролирующего характера)

Вариант 1. Найдите первообразную:

1. f(x) = 4x3+1,5x-3           Варианты ответа: х4+3х2;     х4+3х2- 3х;   х4+3х2/4-3х.

2.g(x)= (4-7x)5                   Варианты ответа:  -1/42(4-7х)6;   1/42(4-7х)6;       1/6(4-7х)6.

Вариант 2.

1.f(x) = 2x5-8x3+1             Варианты ответа: 1/3х6-2х4+х;           10х4-24х2;        х6/3-2х4

2.g(x)= x-2+√x.                  Варианты ответа: х-1+ 3/2х3/2;                  х-1+ 2/3х3/2;         -х-1+2/3х3/2.

Вариант 3.  Найдите первообразную:

1. h(x)= 0,1x +2/3x2-5.      Варианты ответа: 0,1+2х2;                0,05х2+1/6х4-5х;    0,025х2+8/3х4-5х.
2. t(x)= (5+2x)3.                 Варианты ответа: 1/8(5+2х)4;       1/2(5+2х)4;         1/4(5+2х)4.

Итог урока.