Урок на тему: "Показательная и логарифмическая функции".
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема  урока: Показательная и логарифмическая функции (2 ч)

Цели:  выработка умений самостоятельно применять знания и осуществлять перенос их в новые условия.повторить свойства логарифма и логарифмической функции;   повторить свойства показательных функций, способы решения  показательных уравнений и неравенств, закрепить навыки и умения применения знаний по теме к решению упражнений.

Тип урока: урок систематизации знаний.

Ход урока

I. Устная работа

1. Назовите области значений функций:  а) f(x)= 1,5x; б) g(x)=Lgx; в) h(x)=x2-1; г)q(x)=(1/16)х;  д)u(x)=(1/2)x.
2. Укажите, какие из функций а) f(x)= 2x; б) g(x)=1,3х; в) h(x)=0,7х ; г)q(x)=(6/5)х; д)u(x)=(1/3)x являются возрастающими. Ответ обоснуйте.
3. Какие из заданных функций y=Log3x, y=Log16x, y=Log2/3x, y=Log0,6x  являются возрастающими, убывающими. Ответ обоснуйте.

II. Система упражнений.

1. Найдите области определения заданных функций: а) f(x)= 12x; б) g(x)=1/x2;

            в) h(x)=Lg(x-4); г)q(x)=(1/5)х;  д)u(x)=0,9x.

2. Используя свойство монотонности показательной функции, сравните ее значения: а) 132,4 и 132,6; б) 1,9-6 и 1,96,3;   в) 0,79 и 0,76;   г) (2/5)-3,7 и (2/5)-2,8.
3. Сравните значения логарифмической функции: а)Log212 и Log240;

            б) Log1,79 и Log1,75;   в) Log0,44 и Log0,416;   г)Log0,91/16 и Log0,97/8;

           д) log0,9x и Log0,9(5x).

4. Сравните с нулем значения логарифмической функции: a)Log20,4;  б)Log1713; в)Log0,519;   г)Log160,3;      д)Log0,30,6
5. Сравните с единицей значения показательной функции: а)31,6; б)0,851,5; в)6,70,5; г)17-0,5; д) 0,6-0,9. Указание: а0 =1 при а>0.

III. Повторение свойств:

IV. Разминка. Решение кроссворда

Каждый получает кроссворд, в котором нужно в результате решения получить ключевое слово. (Логарифм).

1. Логарифм с основанием равным числу е.
2. Логарифм единицы.
3. Действие нахождения логарифма числа (выражения).
4. Назвать свойство, характерное для логарифмической функции с основанием а>1
5. Есть в каждом слове, растении и может быть в уравнении.
6. Логарифм с основанием 10.
7. Множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому отношению.
8. Чему равен log2128?

Ответы:

1. Натуральный.
2. Ноль.
3. Логарифмирование.
4. Возрастание.
5. Корень.
6. Десятичный.
7. График.
8. Семь.

1. Самостоятельная работа 1 (СО)

Вариант 1.

1. Решите неравенство 5х >25.

План и примерное оформление решения:

1. Представьте число 25 как значение показательной функции у=5х, т.е. как степень с основанием 5:   25 = 52; 5х >5х.
2. Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у= 5х, сравнив основание 5 с единицей: у=5х возрастающая, так как 5>1.
3. Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции (5x>52),  определите соотношение между аргументами: у= 5х возрастает, и 5х>52, следовательно, х>2.
4. Запишите решение полученного проcтейшего неравенства х>2: (2; +∞). Ответ: (2;+∞).

2. Решите неравенство 6х<36.

Вариант 2.

1. Решите неравенство (2/3)х >8/27.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте число 8/27 как значение показательной функции у=(2/3)х, т.е. как степень с основанием 2/3:   8/27 = (2/3)3; (2/3)х >(2/3)3.

2) Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у= (2/3)х, сравнив основание 2/3 с единицей: у=(2/3)х убывающая, так как 2/3<1.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции ((2/3)x>(2/3)3),  определите соотношение между аргументами: у= (2/3)х убывающая, и (2/3)х>(2/3)3, следовательно, х<3.

4) Запишите решение полученного проcтейшего неравенства х<3: (-∞; 3). Ответ: (-∞;3).

2. Решите неравенство (1/2)х<1/16.

Вариант 3.

1. Решите неравенство (3/4)х ≤4/3.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте число 4/3 как значение показательной функции у=(3/4)х:  4/3= (3/4)-1, (3/4)х≤(3/4)-1.

2) Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая)  у=(3/4)х:     у= (3/4)х - убывающая, так как 3/4<1.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между аргументами: у=(3/4)х -убывающая, и (3/4)х≤(3/4)-1; следовательно, х≥-1.

4) Запишите решение полученного проcтейшего неравенства: (-1;∞). Ответ: (-1;∞).

2. Решите неравенство (7/2)х  ≥2/7.

Вариант 4.

1. Решите неравенство 12х≥ 1/12

План решения:

1) Представьте число 1/12 как значение показательной функции у=12х.

2) Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая)  у=12х

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между аргументами.

4) Запишите решение полученного проcтейшего неравенства.

2. Решите неравенство 2,5х  ≥2/5.

VI. Самостоятельная работа 2 (СО)

Вариант 1

1. Решите неравенство Log4x<3.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте правую  часть неравенства (число 3) в виде значения логарифмической функции у=Log4x, т.е. как  логарифм с основанием 4:   3= Log443, тогда Log4x443.

2)Рассмотрите логарифмическую функцию  у=Log4x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 4 с единицей:  у=Log4x — возрастающая, так как 4>1.

3) Определите соотношение между аргументами (х и 43), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.Указание: D(Log)=(0;∞).

 у=Log4x- возрастающая, и Log4x< Log443; следовательно,         х<43

                                                                                                           x>0

4) Запишите решение полученной системы: (0; 43). Ответ: (0;64).

2. Решите неравенство   Log3x>2.

Вариант 2

1. Решите неравенство Log1/2x<4.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте правую  часть неравенства (число 4) в виде значения логарифмической функции у=Log1/2x, т.е. как  логарифм с основанием 1/2:   4= Log1/2(1/2)4, тогда Log1/2x1/2(1/2)4.

2)Рассмотрите логарифмическую функцию  у=Log1/2x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/2 с единицей:  у=Log1/2x — убывающая, так как 1/2<1.

3) Определите соотношение между аргументами (х и (1/2)4), используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.Указание: D(Log)=(0;∞).

 у=Log1/2x- убывающая, и Log1/2x< Log1/2(1/2)4; следовательно,         х>(1/2)4

                                                                                                                  x>0

4) Запишите решение полученной системы: (1/16; ∞). Ответ: (1/16; ∞) .

2. Решите неравенство Log1/2x>2.

Вариант 3.

Решите неравенства: а) Log5x<1; б)Log5x>4.

План решения:

1) Представьте правую  часть неравенства  в виде значения логарифмической функции у=Log5x, т.е. как  логарифм с основанием 5.

2)Рассмотрите логарифмическую функцию  у=Log5x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 5 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4) Запишите ответ данного неравенства.

Вариант 4.

Решите неравенства: а) Log1/8x>1; б)Log1/8x<1/3.

План решения:

1) Представьте правую  часть неравенства  в виде значения логарифмической функции у=Log1/8x, т.е. как  логарифм с основанием 1/8.

2)Рассмотрите логарифмическую функцию  у=Log1/8x и определите характер монотонности (возрастающая функция или убывающая), сравнив основание 1/8 с единицей.

3) Определите соотношение между аргументами, используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции.

4)Запишите ответ данного неравенства.

VII. Итог урока.