Преобразование тригонометрических выражений
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Аверин Николай Петрович

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

 

Основные тригонометрические формулы

 

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Sin2a+cos2a=1.              (1)

imageimage              (2)

image               (3)

tga.ctga=1.                    (4)

image.         (5)

 

image.        (6)

 

Формулы сложения:

Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb.     (7)

Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb.      (8)

Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb.     (9)

 Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb.     (10)

image.              (11)

image.              (12)

 

Формулы кратных аргументов:

Sin2a=2sina.cosa.                                          (13)

Cos2a= cos2a- sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.      (14)

image.                                            (15)

Sin3a=3sina- 3sin3a.                                    (16)

Cos3a=4cos3a-3cosa.                                    (17)

 

 

 

Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

image.        (18)

image.        (19)

image.        (20)

image.        (21)

image                               (22)

image                               (23)

Преобразование произведений в суммы или разности:

imageimage      (24)

imageimage      (25)

imageimage        (26)

Формулы понижения степени:

image.                     (27)

image.                     (28)

image.                    (29)

image.                     (30)

Формулы половинного аргумента:

image.                 (31)

image.                 (32)

image.                 (33)

 

В этих формулах знак «+» или «-«   выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол image.

 

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

image.                     (34)

 

image.                    (35)

 

image.                     (36)

Формулыприведения:

Sin(-a)=-sina;

image                                image      

sin(p+a)=-sina;                                          sin(p-a)=sina;

image                           image

cos(-a)=cosa;

image                                 image

cos(p-a)=-cosa;                                        cos(p+a)=-cosa;  

image                           image

tg(-a)=-tga;

image                                  image

ctg(-a)=-ctga;

image                                  image

Значения тригонометрических функций основных углов:

 

 

Функция

Угол

0о

30о

45о

60о

90о

0

p¤6

p¤4

p¤3

p¤2

 

sin

 

0

image

image

image

 

1

 

cos

 

1

image

image

image

 

0

 

tg

 

0

image

 

1

 

image

 

-

 

ctg

 

-

 

image

 

1

image

 

0

 

 

 

Обратные тригонометрические функции

 

О п р е д е л е н и е  1.      a=arcsina,   если:

                        1)   sin a=a;       2) aÎ[-90o;90o].

Например, arcsin0=0o, arcsin1=90o, arcsin(-1)=-90o, arcsinimage=30o, arcsinimage=-30o.

 

О п р е д е л е н и е  2.      a=arccosa,   если:

                        1)   cos a=a;       2) aÎ[0o;180o].

Например, arccos0=90o, arccos1=0o, arccos(-1)=180o, arccosimage=60o, arccosimage=120o.

 

О п р е д е л е н и е  3.      a=arctga,   если:

                        1)   tg a=a;       2) aÎ(-90o;90o).

 

Например, arctg0=0o, arctg1=45o, arctg(-1)=-45o.

 

 

 

 

 

Радианная и градусная меры углов

 

       Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой

a  радиан = image.

Отсюда можно получить формулу:

image

Градусную меру угла  a=image вычисляют так:

                            image.

                    Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что imageimageimageimageimage, image, p=180о, 2p=360о.

 

Период тригонометрических функций

 

Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.

           Известно,  что периоды функций       y=Asin(wx+j)   и      y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=image, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=image.

Если   период   функции  y=f(x)  равен Т1,  а период функции  y=g(x)   равен

 Т2 , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу,    при делении которого на Т1 и Т2 получаются целые числа.

 

Пример 1. Вычислить cos840o.

Решение. cos840o=сos(2.360o+120o)=cos120o=cos(180o-60o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180o-60o)=- cos60o=-0,5.

Ответ: -0,5.

 

Пример 2. Вычислить tga, если image и image< a< image.

Решение. Воспользуемся определением тангенса

imageimage

Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin2a+cos2a=1:

 

cos2a=1-sin2a=1-image

             Отсюда cosa=image или cosa=image. Так как aÎimage, то cosa=image.

 

              Теперь вычисляем tga:

image

               Ответ: 0,75.

 

Пример 3. Вычислить arccosimage

Решение. imageimage)=0,5. Отсюда arccosimage

Ответ:  image

Пример 4.  Упростить    image

 

Решение. В числителе раскроем скобки:

 

image=image

 

Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим

image

Ответ: 1.

 

 Пример 5. Упростить image.

 

Решение. Заметим, что 65о=90о-25о, тогда

image=image.

Применяя формулу приведения, получим

image=image.

Применяя формулу (13), имеем

image=image.

Используя формулу приведения, получим окончательный ответ

image

Ответ: 2.

 

Пример 6. Вычислить

image

Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим

image

image

Ответ 1.

 

Пример 7. Вычислить cos15о-sin15o.

Решение.Обозначим cos15о-sin15o=а.  Тогда а2 =( cos15о-sin15o)2=

= cos215о-2 cos15osin15o+sin215o. Применяя формулы (1) и (13), получим

cos215о-2 cos15osin15o+sin215o=1-0,5=0,5,т.е. а2=0,5.

Отсюда image или image

Из условия ясно, что а>0.

 

Ответ: image.

 

Пример 8. Вычислить:

       image
Решение: Применяя формулы (13) и (14)  получим  image

 

image

 

Применяя еще раз формулу (13), имеем

 

imageimageimage.

 

Ответ 0,25

 

Пример 9. Вычислить

imageimage;

image.

Итак, исходное выражение принимает вид       image

 

Ответ 2.

 

Пример 10. Вычислить tga, если

image

 

Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35), image
вместо исходного уравнения будем иметь image
 

image

Отсюда image, т.е. image или image
 image С учетом того что  imageimage имеем image

Ответ 1,5.

Пример 11. Вычислить imageimage, если image

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):

image

Ответ: image

 

Пример 12. Вычислить  sina, если image

Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:

image или  image

Воспользовавшись формулами (1)  и (13), получим 1-sina=1,96.

Отсюда sina= - 0,96.

 

Ответ: -0,96.

 

Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1  и tg(a-b)= - 2.

Решение. Воспользовавшись формулой (12)

imageВторое из равенств, данных в условии, можно переписать в виде   image  или image

Отсюда tgb= -3.

 

 

 
 image

Ответ: -3.

 

 

Пример 14. Вычислить image

Решение. image

Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим

image

image

 

Ответ 0,25.

 

Пример 15. Упростить image

Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим

image

imageПрименяя формулу  (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем

image

Ответ: -1.

Пример 16. Упростить  cosg+sin(g+30o)sin(g-30o).

Решение. Применяя формулу, получим

image

image

 

Ответ 0,5.

Пример 17. Упростить image

Решение. Применяя формулу, согласно которой

image

получим  image

Ответ: 1.

 

Пример 18. Упростить image

Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе  - (13), получим

image.

Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде

 

image

 

Применяя формулы сокращенного умножения, получим

 

image

 

Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим

image

Итак, исходное выражение можно переписать в виде

image

Ответ 0.

 

Пример 19. Упростить   imageimageimage.

image

Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим

 

imageimage=

 

image

=image

 

=image

 

=image

 

Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем

 

image=imageimage

 

Ответ. 0,75.

 

Пример 20. Упростить

 

image

 

Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим

 

image

=image

=image

image

image.

 

    Произведя почленное деление в первой дроби, получим

image.

 

    Применяя формулу (3), окончательно имеем

image

    Ответ: 1.

 

Пример 21.  Найти период функции y=cosxcos6x.

Решение.  Воспользовавшись формулой (25), получим

y=cosxcos6x=image

      Период функции y=cos5xравен Т1=image Период функции y=cos7xравен Т2=image

          Наименьшее  число, при делении которого на Т1=image и Т2=image получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.

 

        Ответ. 2p.

Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.

Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т1=image Период функции y=7cospxравен Т2=image

       Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.

Ответ. Не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения.

 

1.  Упростить     image.                               Ответ: 5.

2.  Упростить     image.                             Ответ: 2.

 

 Вычислить значения тригонометрических выражений   

3. image, если tga=3.                                 Ответ:  image.

 

4. tg2a+ctg2a,  если tga+ctga=2.                                   Ответ:  2.

 

5. image,  если sinxcosx=0,4   и хimage.      Ответ: 3.

 

6. sin4a+cos2a+ sin2acos2a.                                             Ответ: 1.

 

7. cos22a+ 4sin2acos2a.                                                   Ответ: 1.

 

8.image.                                                   Ответ: 1.

 

9. image.                                                          Ответ: 2.

 

9.     image.                            Ответ: 0.

 

10.           image.                                               Ответ: 4.

 

11.           4sin(30o+a)cosa-2cos(60o-2a).                                   Ответ: 1.

 

12.             cos2a+ cos2b-cos(a+ b)cos(a- b).                             Ответ: 1.

 

13.           tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b).                                       Ответ: 1.

14.           cos2a-2cosacosbcos(a+b)+cos2(a+b)-sin2b.              Ответ: 0.

15.           3(sin4a+cos4a)-2(sin6a+cos6a).                                   Ответ: 1.

16.           ctg70o+4cos70o.                                                             Ответ: image

Решение.

 

1.     image

 

2.     image

 

 

3.     image

 

4.     image

5.     image

 

6.     image

 

 

7.     image

 

8.     image

 

 

9.     image

10.           image

 

11.           image

12. image

13. image

14. image

 

 

 

16. ctg70o+4cos70o= image

 

= image

= image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

 

Основные тригонометрические формулы

 

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

Sin2a+cos2a=1.              (1)

imageimage              (2)

image               (3)

tga.ctga=1.                    (4)

image.         (5)

 

image.        (6)

 

Формулы сложения:

Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb.     (7)

Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb.      (8)

Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb.     (9)

 Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb.     (10)

image.              (11)

image.              (12)

 

Формулы кратных аргументов:

Sin2a=2sina.cosa.                                          (13)

Cos2a= cos2a- sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.      (14)

image.                                            (15)

Sin3a=3sina- 3sin3a.                                    (16)

Cos3a=4cos3a-3cosa.                                    (17)

 

 

 

Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

image.        (18)

image.        (19)

image.        (20)

image.        (21)

image                               (22)

image                               (23)

Преобразование произведений в суммы или разности:

imageimage      (24)

imageimage      (25)

imageimage        (26)

Формулы понижения степени:

image.                     (27)

image.                     (28)

image.                    (29)

image.                     (30)

Формулы половинного аргумента:

image.                 (31)

image.                 (32)

image.                 (33)

 

В этих формулах знак «+» или «-«   выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол image.

 

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

image.                     (34)

 

image.                    (35)

 

image.                     (36)

Формулыприведения:

Sin(-a)=-sina;

image                                image      

sin(p+a)=-sina;                                          sin(p-a)=sina;

image                           image

cos(-a)=cosa;

image                                 image

cos(p-a)=-cosa;                                        cos(p+a)=-cosa;  

image                           image

tg(-a)=-tga;

image                                  image

ctg(-a)=-ctga;

image                                  image

Значения тригонометрических функций основных углов:

 

 

Функция

Угол

0о

30о

45о

60о

90о

0

p¤6

p¤4

p¤3

p¤2

 

sin

 

0

image

image

image

 

1

 

cos

 

1

image

image

image

 

0

 

tg

 

0

image

 

1

 

image

 

-

 

ctg

 

-

 

image

 

1

image

 

0

 

 

 

Обратные тригонометрические функции

 

О п р е д е л е н и е  1.      a=arcsina,   если:

                        1)   sin a=a;       2) aÎ[-90o;90o].

Например, arcsin0=0o, arcsin1=90o, arcsin(-1)=-90o, arcsinimage=30o, arcsinimage=-30o.

 

О п р е д е л е н и е  2.      a=arccosa,   если:

                        1)   cos a=a;       2) aÎ[0o;180o].

Например, arccos0=90o, arccos1=0o, arccos(-1)=180o, arccosimage=60o, arccosimage=120o.

 

О п р е д е л е н и е  3.      a=arctga,   если:

                        1)   tg a=a;       2) aÎ(-90o;90o).

 

Например, arctg0=0o, arctg1=45o, arctg(-1)=-45o.

 

 

 

 

 

Радианная и градусная меры углов

 

       Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой

a  радиан = image.

Отсюда можно получить формулу:

image

Градусную меру угла  a=image вычисляют так:

                            image.

                    Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что imageimageimageimageimage, image, p=180о, 2p=360о.

 

Период тригонометрических функций

 

Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.

           Известно,  что периоды функций       y=Asin(wx+j)   и      y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=image, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=image.

Если   период   функции  y=f(x)  равен Т1,  а период функции  y=g(x)   равен

 Т2 , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу,    при делении которого на Т1 и Т2 получаются целые числа.

 

Пример 1. Вычислить cos840o.

Решение. cos840o=сos(2.360o+120o)=cos120o=cos(180o-60o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180o-60o)=- cos60o=-0,5.

Ответ: -0,5.

 

Пример 2. Вычислить tga, если image и image< a< image.

Решение. Воспользуемся определением тангенса

imageimage

Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin2a+cos2a=1:

 

cos2a=1-sin2a=1-image

             Отсюда cosa=image или cosa=image. Так как aÎimage, то cosa=image.

 

              Теперь вычисляем tga:

image

               Ответ: 0,75.

 

Пример 3. Вычислить arccosimage

Решение. imageimage)=0,5. Отсюда arccosimage

Ответ:  image

Пример 4.  Упростить    image

 

Решение. В числителе раскроем скобки:

 

image=image

 

Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим

image

Ответ: 1.

 

 Пример 5. Упростить image.

 

Решение. Заметим, что 65о=90о-25о, тогда

image=image.

Применяя формулу приведения, получим

image=image.

Применяя формулу (13), имеем

image=image.

Используя формулу приведения, получим окончательный ответ

image

Ответ: 2.

 

Пример 6. Вычислить

image

Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим

image

image

Ответ 1.

 

Пример 7. Вычислить cos15о-sin15o.

Решение.Обозначим cos15о-sin15o=а.  Тогда а2 =( cos15о-sin15o)2=

= cos215о-2 cos15osin15o+sin215o. Применяя формулы (1) и (13), получим

cos215о-2 cos15osin15o+sin215o=1-0,5=0,5,т.е. а2=0,5.

Отсюда image или image

Из условия ясно, что а>0.

 

Ответ: image.

 

Пример 8. Вычислить:

       image
Решение: Применяя формулы (13) и (14)  получим  image

 

image

 

Применяя еще раз формулу (13), имеем

 

imageimageimage.

 

Ответ 0,25

 

Пример 9. Вычислить

imageimage;

image.

Итак, исходное выражение принимает вид       image

 

Ответ 2.

 

Пример 10. Вычислить tga, если

image

 

Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35), image
вместо исходного уравнения будем иметь image
 

image

Отсюда image, т.е. image или image
 image С учетом того что  imageimage имеем image

Ответ 1,5.

Пример 11. Вычислить imageimage, если image

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):

image

Ответ: image

 

Пример 12. Вычислить  sina, если image

Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:

image или  image

Воспользовавшись формулами (1)  и (13), получим 1-sina=1,96.

Отсюда sina= - 0,96.

 

Ответ: -0,96.

 

Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1  и tg(a-b)= - 2.

Решение. Воспользовавшись формулой (12)

imageВторое из равенств, данных в условии, можно переписать в виде   image  или image

Отсюда tgb= -3.

 

 

 
 image

Ответ: -3.

 

Пример 14. Вычислить image

Решение. image

Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим

image

image

 

Ответ 0,25.

 

Пример 15. Упростить image

Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим

image

imageПрименяя формулу  (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем

image

Ответ: -1.

Пример 16. Упростить  cosg+sin(g+30o)sin(g-30o).

Решение. Применяя формулу, получим

image

image

 

Ответ 0,5.

Пример 17. Упростить image

Решение. Применяя формулу, согласно которой

image

получим  image

Ответ: 1.

 

Пример 18. Упростить image

Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе  - (13), получим

image.

Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде

 

image

 

Применяя формулы сокращенного умножения, получим

 

image

 

Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим

image

Итак, исходное выражение можно переписать в виде

image

Ответ 0.

 

Пример 19. Упростить   imageimageimage.

image

Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим

 

imageimage=

 

image

=image

 

=image

 

=image

 

Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем

 

image=imageimage

 

Ответ. 0,75.

 

Пример 20. Упростить

 

image

 

Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим

 

image

=image

=image

image

image.

 

    Произведя почленное деление в первой дроби, получим

image.

 

    Применяя формулу (3), окончательно имеем

image

    Ответ: 1.

 

Пример 21.  Найти период функции y=cosxcos6x.

Решение.  Воспользовавшись формулой (25), получим

y=cosxcos6x=image

      Период функции y=cos5xравен Т1=image Период функции y=cos7xравен Т2=image

          Наименьшее  число, при делении которого на Т1=image и Т2=image получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.

 

        Ответ. 2p.

Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.

Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т1=image Период функции y=7cospxравен Т2=image

       Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.

Ответ. Не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения.

 

1.  Упростить     image.                               Ответ: 5.

2.  Упростить     image.                             Ответ: 2.

 

 Вычислить значения тригонометрических выражений   

3. image, если tga=3.                                 Ответ:  image.

 

4. tg2a+ctg2a,  если tga+ctga=2.                                   Ответ:  2.

 

5. image,  если sinxcosx=0,4   и хimage.      Ответ: 3.

 

6. sin4a+cos2a+ sin2acos2a.                                             Ответ: 1.

 

7. cos22a+ 4sin2acos2a.                                                   Ответ: 1.

 

8.image.                                                   Ответ: 1.

 

9. image.                                                          Ответ: 2.

 

9.     image.                            Ответ: 0.

 

10.           image.                                               Ответ: 4.

 

11.           4sin(30o+a)cosa-2cos(60o-2a).                                   Ответ: 1.

 

12.             cos2a+ cos2b-cos(a+ b)cos(a- b).                             Ответ: 1.

 

13.           tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b).                                       Ответ: 1.

14.           cos2a-2cosacosbcos(a+b)+cos2(a+b)-sin2b.              Ответ: 0.

15.           3(sin4a+cos4a)-2(sin6a+cos6a).                                   Ответ: 1.

16.           ctg70o+4cos70o.                                                             Ответ: image

Решение.

 

1.     image

 

2.     image

 

 

3.     image

 

4.     image

5.     image

 

6.     image

 

 

7.     image

 

8.     image

 

 

9.     image

10.           image

 

11.           image

12. image

13. image

14. image

 

 

 

16. ctg70o+4cos70o= image

 

= image

= image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 10 классе "Преобразование тригонометрических выражений".

Урок алгебры в 10 классе "Преобразование тригонометрических выражений". Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний. Урок сопровождается презентацией....

Самостоятельная работа. Преобразование тригонометрических выражений. 10 класс

Самостоятельная работа. Преобразование тригонометрических выражений. 10 класс. Четыре варианта....

урок Формулы приведения. Преобразование тригонометрических выражений

целью урока является создание положительной мотивации к обучению и подготовки к ПГК...

Преобразование тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических функций.

Данный урок проводился в 10 классе в рамках семинара учителей математики...

Тригонометрические функции. Свойства. Основные тригонометрические тождества. Преобразование тригонометрических выражений.

Представленный материал - конспект урока повторения и обобщения знаний в 9 классе по теме"Тригонометрические функции.Свойства.Основные тригонометрические тождества.Преобразование тригонометрических вы...

Тест по теме: "Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции", Алгебра и начала анализа, 10 класс

Четыре варианта теста  для проведения контроля знаний учащихся  по теме:  "Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические функции". задания с выбором ответа и с кратким...