Основные тригонометрические тождества
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА

Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР

ТЕМА: «ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА»

Учебные задачи: формирование умений вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; применять основные тригонометрические тождества в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.

Ход урока:

Для повторения определения тригонометрических функций, их знаков в различных координатных четвертях используйте

http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/power.ppt.

Для повторения решений тригонометрических уравнений используйте http://www.it-n.ru/Attachment.aspx?Id=6343.

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

sin α= , cos α=  => y=R sin α, x=R cos α.

Из уравнения окружности с центром в начале координат x2 +y2 = R2  получаем  

sin2 α + cos2 α =1   (1)

tg α= => tg α = sin α / cos α    (2)

ctg α=  => ctg α = cos α / sin α    (3)

tg α · ctg α =1   (4)

Если обе части (1) разделить на cos2 α, получим 1+ tg2 α = 1/ cos2 α  (5)

Если обе части (1) разделить на sin 2 α, получим 1+ сtg2 α = 1/ sin 2 α  (6)

Равенства (1)-(6) называются основными тригонометрическими тождествами.

Рассмотрим примеры использования основных тригонометрических тождеств при нахождении значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Пример 1) Найдем cos α, tg α и ctg α, если sin α= и < α< π.

Решение. Из (1) получаем, что

cos2 α= 1 – sin2 α.

Т.к. α является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

cos α= –=.

Из (2) tg α= .

Из (3) сtg α= .

Ответ. cos α=, tg α= , сtg α= .

Пример 2) Найдем sin α, cos α, и ctg α, если tg α = 2 и 0< α<.

Решение. Воспользовавшись формулой (5), найдем cos α. Имеем:

cos2 α= = .

По условию α является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cos α=.

Из (3) => sin α = tg α · cos α= .

Из (4) => ctg α = .

Ответ. cos α=, sin α =, ctg α =.

Рассмотрим примеры решения уравнений.

Пример 3. Решить уравнение

6 sin2 х + 5 cos х –2=0,

Решение.

6 (1– cos2 х) + 5 cos х –2=0,

6 cos2 х – 5 cos х –4=0.

Получили квадратное уравнение относительно cos х.

Введем новую переменную t=cos х.

Тогда

6 t2 – 5 t –4=0,

откуда t = – или t =.

Уравнение cos х=  не имеет решений, так как > 1.

Решая уравнение cos х=–, находим

х=± arccos (–) +2πn, n€Z,

х=±  +2πn, n€Z.

Ответ. х=±  +2πn, n€Z.

Пример 4. Решить уравнение

tg х + 2 сtg х= 3.

Решение. Обозначим tg х через у. Поскольку

ctg x=,

 получаем уравнение  

у2 –3у +2=0 (при условии у≠0).

Его корни у =2 и у=1.

tgx = 2,  x = arctg 2 + πn, n Z.

tgx=l, х=.

Ответ. х=.

Литература.

1. Лаппо, Л.Д. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. Уровень А, В, С/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.– М.: Издательство «Экзамен», 2008. –93 с.
2. Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 400 с.
3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.
4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2009. Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: Эксмо, 2008.– 208 с.
5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, В.В. Кочагин, Л.О. Денищева и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 124 с. – (ФИПИ)
6. Сергеев, И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н. Сергеев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –318 с.
7. Самые новые реальные задания: ЕГЭ – 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина,  Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 125 с. – (ФИПИ)