Разработка урока по алгебре "Косинус суммы и разности двух аргументов"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Пилипенко Галина Николаевна

ГОУ Лицей № 1589, г. Москва

Тема урока: КОСИНУС СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока: на основе полученных ранее знаний, вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; выработать умения и навыки применения данных формул к упрощению выражений, решению уравнений.

Ход урока:

1.Организационный этап. Учитель приветствует учащихся, объясняет тему урока, цели и задачи урока.

2. Повторение (подготовка учащихся к активному усвоению нового материала). Необходимо повторить с учащимися следующие понятия и формулы: вектор, скалярное произведение векторов, определение координат данного вектора, формула скалярного произведения в координатах, определения косинуса и синуса.

3. Изучение нового материала.   ДЕМОНСТРАЦИЯСЛАЙДОВ 2-5

      Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

           Рис.1                         Рис.2
         Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . же координаты имеют Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти соответственно и векторы и . По определению скалярного произведения векторов:
ОВ∙ОС = х1х2 + y1y2. (1)
         Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов α и β. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos α, y1 = R sin α, х2 = R cos β, y2 = R sin β.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
ОВ∙ОС= R2cos α cosβ + R2sin α sinβ = R2(cos α cosβ + sin α sinβ).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:
ОВ∙ОС= cos BOC = R2cos BOC.
Угол ВОС между векторами и может быть равен α - β (рис.1), - (α - β) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos (α - β). Поэтому
ОВ∙ОС  = R2 cos (α - β).
Т.к. ОВ∙ОС  равно также R2(cos α cosβ + sin α sinβ), то
cos(α - β) = cos α cosβ + sin α sinβ.

cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos α cos(-β) + sin α sin(-β) = cos α cosβ - sin α sinβ.
Значит,  cos(α + β) = cos α cosβ - sin α sinβ.

4. Закрепление изученного материала.

1. Вычислить: 1) cos750, 2) cos150.        СЛАЙДЫ 6 и 7

Решение: 1) Воспользуемся тем, что 750 = 450 + 300;

cos750 = cos( 450 + 300) = cos450·cos300 – sin450·sin300=  22∙32-22∙12=64-24=6-24;

  2) Воспользуемся тем, что 150 = 450 - 300;

cos150 = cos(450 - 300) = cos450·cos300  + sin 450·sin300 =  22∙32+22∙12=64+24=6+24.

2.  Вычислить:   cosπ3-y, если известно, что cosy=-35, π2<y<π. СЛАЙД 8

Решение:   cosπ3-y=cosπ3cosy+sinπ3siny

sin2y=1-cos2y=1-925=1625. По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому из равенства  sin2y=1625   находим, что   siny=45.  

   cosπ3-y=cosπ3cosy+sinπ3siny=12∙-35+32∙45=43-310.

3. Вычислить:    СЛАЙД 9

1) cos370cos80 – sin370sin80;    2) cos1070cos170 + sin1070sin170.

Решение: 1) cos370cos80 – sin370sin80 = cos(370 + 80) = cos450 = 22

2) cos1070cos170 + sin1070sin170 = cos(1070  - 170) = cos900 = 0.

4. Подведение итогов урока (выставление отметок, ответы на вопросы учащихся).

5. Домашнее задание.   СЛАЙД 10

§21, вывод формул косинуса суммы и разности двух аргументов, № 399 (б), 402 (б, г), 403 (б, г), 409 (б, в), 410 (б).