1. Конструирование системы задач по теме:

2. «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» на

Учитель: Нежлукченко Людмила Викторовна

Цель:

1. Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход).

Задачи:

1. Образовательные:

        1) обобщение и систематизация теоретического материала по теме: «Арифметическая прогрессия»;

        2) отработка умений и навыков применения формулы n-го члена прогрессии, формул суммы n членов прогрессии,

2. Воспитательные:

        1) способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

        2) расширять научный и культурный кругозор учащихся

3. Развивающие:

        1) способствовать развитию у учащихся  логического мышления;

        2) развить навыки самостоятельной работы;

        3) стимулировать развитие монологической речи учащихся.

Характеристика темы:

Тема «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» изучается в курсе алгебры 9 класса.

На изучение темы отводится 5  часов на тему: «Арифметическая последовательность».

Изучение данной темы ведется по учебнику:  Мордкович А.Г. Алгебра. 9класс.

Уровень класса: общеобразовательный.

Математические понятия

Числовая

последовательность

Прогрессии

Геометрическая

прогрессия

монотонность

ограниченность

Конечная

прогрессия

Разность

Арифметическая

прогрессия

n - ый член ариф.

прогрессии

Характеристическое

свойство

Сумма первых

n членов ариф.

прогрессии

Математические утверждения

Формула  n-го члена

арифметической

прогрессии

Формула  суммы

первых n членов

арифметической

прогрессии

Характеристическое

свойство

арифметической

прогрессии

Алгоритмы:

Нахождения ап члена арифметической прогрессии:

1. Составить математическую модель.

(составление системы двух линейных уравнений с двумя переменными  a1  и d)

2. Работа с составленной математической моделью.

(решение составленной системы)

3. Ответ на вопрос задачи.

Решения текстовых задач:

1. Составить математическую модель.

(составление конечной арифметической прогрессии)

2. Работа с составленной математической моделью.

(применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии; нахождение n (может быть несколько))

3. Ответ на вопрос задачи.

(выбор подходящего решения)

Ключевые задачи:

1. Задачи на определение вида последовательности (является ли арифметической прогрессией).
2. Задачи на нахождение первого члена арифметической прогрессии;
3. Задачи на нахождение разности арифметической прогрессии;
4. Задачи на нахождение номера члена арифметической прогрессии;
5. Задачи на нахождение суммы п первых членов арифметической прогрессии.

Задача 1. Определите, является ли приведенная  ниже последовательность арифметической  прогрессией:

        1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

1. хn = 3n + 1.

Решение:1) 2,4,6,8,10,12,...а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12,...Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

2) хп= 3n + 1.2) х1= 4, х2= 7,  х3= 9, х4= 12,... .Это арифметическая прогрессия у которой х1=4 и d=3.

Задача 2: Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

1) 3, -1, -5, -9, …;

1. 0,7; 0,9; 1,1; 1,3;... .

Решение:  1) а1=3 и а2=-1;  d = а2- a1=-4. 

2)  а1=0,7; а2=0,9;  d = а2- a1=0,2.

Задача 3. Найдите аn, если  1) а1=1, d = 2, n = 11; 2) 4, -2, -8, -14, -20, …,  n = 11.

Решение: 1)  a1=1, d = 2, n = 11; an=a1+(n-1)d; a11=1+2(11-1); a11=22.

2)a1=1, a2=-2, n = 11; d =-6; an=4+(n-1)(-6); an=10 — 6n.

Задача 4.  Найдите n, если  а1=0, d = 0,5, an = 11.

Решение: an=a1+(n-1)d; 5=0+0,5(n-1); 5=0,5n-0,5; 0,5n=5,5; n=11

Задача 5. Найдите Sn, если известны:

1) an = 4п + 3, п = 30;

2)  а1= -3, d = 1,5, п = 16.

Решение:  1) an=4n+3, n=30; a1=4*1+3=7; а30=4*30+3=123;  S30=n(a1+an):2; S30=30(7+123):2; S30=15*130=1950; Ответ: 1950

2) a1=-3, d=1,5; п = 16; S16= (2a1+d(n-1)*n):2; S16=(2(-3)+1,5(16-1)*16):2;

S16=(-6+22,5)*8=132; Ответ: 132

Задачи разных уровней:

Задача 1 уровня — минимальный уровень

Задача 2 уровня — общий уровень                                                                         Задача 3 уровня — продвинутый уровень

Задача 1 уровня:  Найдите девятый член арифметической прогрессии : 3,7, …,...

Решение: a1=3, a2=7;      a9-?

d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35; Ответ: 35.

Задача 2 уровня:   Укажите число неотрицательных членов  арифметической прогрессии 13,10,7, … .

Решение:

d=a2-a1=10-13=-3

a4=a3+d=7-3=4,

a5=a4+d=4-3=1,

a6=a5+d=1-3=-2<0. Все последующие члены прогрессии являются отрицательными.  Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

2.  Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

Решение: Из условия задачи следует, что : a1=15; aп=105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену:   аn=а1+d(n-1);  105=15+10(n-1); 10п=100; п=10.  Ответ: 10 дней.

Задача 3 уровня:  Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7 и не делятся на 13.

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

1. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

а1=105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

S9=(9(182+910)):2; S9=4914

5) S=70336 - 4914 =65422; Ответ: 65422.

Самостоятельная работа (тест)

0

1

1

n

an

Рис. 1

 1. Про арифметическую прогрессию (аn) известно, что а7 = 8, а8 = 12. Найдите разность арифметической прогрессии.

А) -4;        Б) 4;           В) 20;        Г) 3.         

 2. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1)  точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом  этой прогрессии?

А) -7;        Б) 6;           В) 12;        Г) 17.        

1. В арифметической прогрессии а1=-7,3 и  а2=-6,4. На каком месте (укажите номер) находится число 26?

А) 39;        Б) 38;           В) 27;        Г) 28.        

4. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической     прогрессии, заданной формулой ап =6n+2. .

А) 864;        Б) 848;           В) 792;       Г) 716.        

5. Сумма второго и пятого членов арифметической     прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого.     Найдите второй и четвёртый члены.  

Ответ: а2  =1; а4  = 7,

Ресурсное обеспечение:

1. Учебник для 9 класса. Мордкович А.Г.,
2. Задачник для 9 класса. Мордкович А.Г., Александрова Л.А.
3. Дидактические материалы
4. Галицкий М.П., Гольдман А.М. Сборник задач по алгебре 8-9 классов.
5. Кострикина П.В., Семенов.Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов.
6. Сборники заданий для подготовки к ГИА.
7. Плакаты
8. ПК
9. Мультимедийная установка
10. ссылки на ЦОР:

http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/3fd8fb77-8ab9-4474-aee1-2c077475aff2/108379/?interface=pupil&class=51&subject=17

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/91bdd1af-800d-4f15-b3e4-86ac8a84c356/QPlayer.swf

Конспект урока.

Тема: «Арифметическая прогрессия»

Тип урока: повторительно-обобщающий.                                                                                      

Цели:                                                                                                                                                    1.(образовательная) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;                                                                          2.(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;3.(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал.

Структура урока:

1. Орг.момент, приветствие, пожелания. Сообщение темы, типа и целей урока.
2. Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.
3. Тренировочные упражнения-закрепления.
4. Историческая справка.
5. Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам.
6. Выставление оценок, домашнее задание.

2. ХОД УРОКА.

1. 1. Орг.момент, приветствие, пожелания, сообщение темы и целей урока.

2. Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами повторительно-обобщающий урок перед контрольной работой. Эмоциональный настрой нашей совместной работы. (На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю) учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку. ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!». МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», а вместе с вами сегодня мы движемся только вперед, т.к. слово «Прогрессия» в переводе с греческого языка обозначает движение вперёд. Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока. Давайте, совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их: Умение применять формулы... Умение грамотно говорить … Умение обобщать, систематизировать… Умение логически мыслить… Умение пересказывать… Умение молчать… Я, думаю, что вы не раз использовали в своей речи пословицу «Сделал дело, гуляй смело!», теперь сформулируйте её для нашего урока алгебры, оставив без изменения её смысл (решил задачу, молодец).

3.  А теперь, посмотрите друг на друга, и скажите, какие между вами могут сложиться отношения на уроке, и в целом?                                                                                               Итак, ребята, молодцы! Если всё, сказанное вами, обобщить, то мы получим цели урока…

4.                                                                                                            

12. 2. Индивидуальная работа.                                                                             К доске я приглашаю 4 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С.                                        (ап)- арифметическая прогрессия.

Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме:                                                                        Дайте определение арифметической прогрессии + формула.                                        Как найти разность арифметической прогрессии + формула?                                Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.                                Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических преобразований?        Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго + формула.                                                                                        Запишите формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.        

              Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.                                                Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», соединив их стрелкой.

13. 3. Тренировочные упражнения.                                                                                            Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

1. 3; 6; 9; 12; …
2. -1; -1; -1; …
3. 0; 13; 1; 14; 2; 15; …
4. -3; -1; 1; 3; …
5. Хп= 3п-2;
6. Ап=25+п2;
7. Вп=12/3 – 4п.

Выразите через а1 и d: а8, а33, а100.

Найдите а5, если а1=4 и d=7.Найдите а12, если а11=20 и а13=30.                                                                                                   Письменно.                                                                                                                                          1. Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, заданной под № 5.                      2. Выразите ап из прогрессии № 1, и найдите сумму первых 18 членов.                                     3. Дополнительно. Используя, прогрессию под № 4, найдите сумму первых десяти её членов (два способа по вариантам). Чему равно Sп?                                                                4. Исторический момент                                                                                Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика).                5. А, сейчас ребята, вы будете работать индивидуально на местах. 

ПОЛУЧИВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННУЮ карточку-задание, трудитесь как пчёлки, ведь недаром их называют «труженицами»

А. Дано: ап - арифметическая прогрессия а1=5, d=2. Найдите:  а6.

В.  5,7,9, … - арифметическая прогрессия. Выразите ап.

С. Дано: ап - арифметическая прогрессия Sn=60, аn=2n+3. Найдите: п.

6. Выставление оценок. Домашнее задание.

Система задач трех уровней сложности:

1 уровень

1.  Найдите девятый член арифметической прогрессии (an): 3,7, …,... .    

Решение: a1=3, a2=7;      a9-?

d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35. Ответ: 35.

1. Дано: ап - арифметическая прогрессия а1=5, d=2. Найдите:  а6.

Решение:

2. Дано: а10=126, d=4. Найти: а1. 

Решение: an=a1+(n-1)d; a6=a1+(6-1)d;  a6=5+5*2 = 15.  Ответ: 15.

4. Определите, является ли приведенная  ниже последовательность арифметической  прогрессией:

1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

2) хn = 3n + 1.

Решение:1) 2,4,6,8,10,12,...а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12,...Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

2) хn = 3n + 1.2) х1 = 4, х2 = 7,  х3 = 9, х4 = 12,... .Это арифметическая прогрессия у которой х1=4 и d=3.

5. Дана арифметическая прогрессия  а1,а2,а3,а4,а5,а6, … .

а) Известно, что а1,=3,d=67. Найти а13.

б) Известно, что d = 3, а14,=37 . Найти а1.

г) Известно, что а1=0, а63=682. Найти d.

Решение: Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

аn=а1+d(n-1)

а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1,=3,d=67, n=13 .

Воспользуемся вышеприведенной формулой:

аn=а1+d(n-1); а13=а1+d(13-1); а13=а1+12d; а13=3+12*67; а13=807.

б) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: d =3; а14=57, n=14.

Найдем а1, используя вышеприведенную формулу:

аn=а1+d(n-1); а1=а14-d(14-1); а1=а14-13d; а1=57-13*3=18.

г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1=0; а63=682; n=63.

Найдем d, используя вышеприведенную формулу:

 аn=а1+d(n-1); d = (а63-а1):(n-1); d = (682 – 0):(63 – 1) =11. 

Ответ: а)807;  б) 18;  в)11.

6. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, если известно, что  1) а1=73; d=-1;

 2) аn=-2n+8.

Решение: а) По условию известно, что  а1=73; d=-1, n=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:  Sn=(2а1+d(n-1))*n:2.

S30=(2*73+(30-1)*(-1 ))*15:2; S30=(146-29)*15 =1755.

б) По условию задачи известно, что аn=-2n+8, п=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:  Sn=(n( а1+ аn)):2; а1=-2*1+8=6; а30=-2*30+8=-52;  S30=(30( 6- 52)):2=-690.

Ответ: а) 1755; б) -690. 

2 уровень

1. Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

Решение: Из условия задачи следует, что : a1=15; aп=105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену:   аn=а1+d(n-1);  105=15+10(n-1); 10п=100; п=10.  Ответ: 10 дней.

2. 5,7,9, … - арифметическая прогрессия. Выразите ап.

Решение: a1=5; a2=7. Найдем d: d=a2-a1=7-5=2.

 аn=а1+d(n-1);  аn=5+2(n-1);  аn=5+2n-2=2п+3.

3.    Укажите число неотрицательных членов  арифметической прогрессии 13,10,7, … .

Решение:

d=a2-a1=10-13=-3

a4=a1+3d=13-3∙3=4,

a5=a1+4d=13-4∙3=1,

a6=a1+5d=13-5∙3=-2<0. Все последующие члены прогрессии являются отрицательными.  Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

4. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии.

Решение: По условию задачи имеем: a5=8,4; a10= 14,4. Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1):

а5=а1+d(5-1)                        а10=а1+d(10-1)

а5=а1+4d                                  а10=а1+9d

Составим систему уравнений и решим ее:

а5=а1+4d                8,4 = а1 +4d          d =1,5;  а1=3,6.

а10=а1+9d             14,4 = а1+9d

Опираясь на полученные результаты, найдем а22: аn=а1+d(n-1);  а22=а1+d(22-1); а22=3,6+21*1,2 =28,8. Ответ: 22,8.

5. В арифметической прогрессии а5= - 132; а6= - 128. Найти номер первого положительного члена этой прогрессии.

По условию задачи имеем: а5= - 132; а6= - 128. Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1):

а5=а1+4d                а6=а1+5d

Составим систему уравнений и решим ее:

а5=а1+4d                          -132 = а1+4d                d = 4;  а1=-148

а6=а1+5d                        -128 = а1+5d

Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство: аn=а1+d(n-1)>0; -148+4(n-1)>0;                     -148+4n-4>0; 4n>152; n>38

Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству n=39. Ответ: n=39.

Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов.

6. Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7.

Решение: Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994. Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

а1=105, ап=994; d=7. aп=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2=70336; Ответ: S128=70336. Ответ: 70336.

3 уровень

1.Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?

 Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой а1=4. Так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а d=3 так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Опираясь на полученные выводы, найдем а91: аn=а1+d(n-1); а91=4+3(91-1)=274.

Ответ: 274.

Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена арифметической прогрессии.

2. Известно, что в арифметической прогрессии а1+а3=-4, а4*а5=8.        

Решение:  В данной задаче будем использовать формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1)         

а3=а1+2d;         а4=а1+3d; а5=а1+4d. Составим систему уравнений:

 а1+а3=-4,                 а1+а1+2d=-4,                       2а1+2d=-4,                   2d=-4-а1,         

а4*а5=8.                 (а1+3d)*(а1+4d)=8.             а12+7dа1+12d2=8,         

а12+7а1(-2-а1)+3а1(-2-а1) 12(-2-а1)2=8,

6а12+34а1+40=8;          а1=-4, а2=-5/3.

Ответ: -4, -5/3.

3. Вычислите

1+3+32+...+313  .

1+3+32+...+36        

Найдем сумму первых п членов арифметической прогрессий, стоящих в показателях степени.

30+31+32+...+313  .

30+31+32+...+36      

S14=0+1+2+...+13; S14=(14(0+13)):2=7*13=91;

S7=0+1+2+...+6; S14=(7(0+6)):2=42:2=21.

3S14:3S7=391:321=370.

Ответ: 370

4. Арифметическая прогрессия содержит 20 членов. Сумма членов с четными номерами на 80 больше суммы членов с нечетными номерами. Найдите разность прогрессии.

Решение:  а1+а3+а5+а7+... +а19+80=а2+а4+а6+...+а20.

 Используя формулу п члена арифметической прогрессии, выразим каждый член через а1 и d . После преобразований получим: 10а1+90d+80=10а1+100d; 10d = 80; d = 8. Ответ: 8.

5. Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7 и не делятся       на 13.

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

2. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

а1=105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

S9=(9(182+910)):2; S9=4914

5) S=70336 - 4914 =65422; Ответ: 65422.