Главные вкладки

    Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия»
    методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

    Нежлукченко Людмила Викторовна

    Цель:

    • Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход).


     

    Задачи:

    1. Образовательные:
    1) обобщение и систематизация теоретического материала по теме: «Арифметическая прогрессия»;
    2) отработка умений и навыков применения формулы n-го члена прогрессии, формул суммы n членов прогрессии,
    2. Воспитательные:
    1) способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.
    2) расширять научный и культурный кругозор учащихся
    3. Развивающие:
    1) способствовать развитию у учащихся логического мышления;
    2) развить навыки самостоятельной работы;
    3) стимулировать развитие монологической речи учащихся.


     

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Package icon konstruirovanie_sistemy_zadach.zip331.27 КБ

    Предварительный просмотр:

    1. Конструирование системы задач по теме:

    2. «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» на

    Учитель: Нежлукченко Людмила Викторовна

    Цель:

    1. Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход).

    Задачи:

    1. Образовательные:

            1) обобщение и систематизация теоретического материала по теме: «Арифметическая прогрессия»;

            2) отработка умений и навыков применения формулы n-го члена прогрессии, формул суммы n членов прогрессии,

    2. Воспитательные:

            1) способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

            2) расширять научный и культурный кругозор учащихся

    3. Развивающие:

            1) способствовать развитию у учащихся  логического мышления;

            2) развить навыки самостоятельной работы;

            3) стимулировать развитие монологической речи учащихся.

    Характеристика темы:

    Тема «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» изучается в курсе алгебры 9 класса.

    На изучение темы отводится 5  часов на тему: «Арифметическая последовательность».

    Изучение данной темы ведется по учебнику:  Мордкович А.Г. Алгебра. 9класс.

    Уровень класса: общеобразовательный.

    Математические понятия

    Числовая

    последовательность

    Прогрессии

    Геометрическая

    прогрессия

    монотонность

    ограниченность

    Конечная

    прогрессия

    Разность

    Арифметическая

    прогрессия

    n - ый член ариф.

    прогрессии

    Характеристическое

    свойство

    Сумма первых

    n членов ариф.

    прогрессии

    Математические утверждения

    Формула  n-го члена

    арифметической

    прогрессии

    Формула  суммы

    первых n членов

    арифметической

    прогрессии

    Характеристическое

    свойство

    арифметической

    прогрессии

    Алгоритмы:

    Нахождения ап члена арифметической прогрессии:

    1. Составить математическую модель.

    (составление системы двух линейных уравнений с двумя переменными  a1  и d)

    2. Работа с составленной математической моделью.

    (решение составленной системы)

    3. Ответ на вопрос задачи.

    Решения текстовых задач:

    1. Составить математическую модель.

    (составление конечной арифметической прогрессии)

    2. Работа с составленной математической моделью.

    (применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии; нахождение n (может быть несколько))

    3. Ответ на вопрос задачи.

    (выбор подходящего решения)

    Ключевые задачи:

    1. Задачи на определение вида последовательности (является ли арифметической прогрессией).
    2. Задачи на нахождение первого члена арифметической прогрессии;
    3. Задачи на нахождение разности арифметической прогрессии;
    4. Задачи на нахождение номера члена арифметической прогрессии;
    5. Задачи на нахождение суммы п первых членов арифметической прогрессии.

    Задача 1. Определите, является ли приведенная  ниже последовательность арифметической  прогрессией:

            1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

    1. хn = 3n + 1.

    Решение:1) 2,4,6,8,10,12,...а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12,...Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

    2) хп= 3n + 1.2) х1= 4, х2= 7,  х3= 9, х4= 12,... .Это арифметическая прогрессия у которой х1=4 и d=3.

    Задача 2: Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

    1) 3, -1, -5, -9, …;

    1. 0,7; 0,9; 1,1; 1,3;... .

    Решение:  1) а1=3 и а2=-1;  d = а2- a1=-4. 

    2)  а1=0,7; а2=0,9;  d = а2- a1=0,2.

    Задача 3. Найдите аn, если  1) а1=1, d = 2, n = 11; 2) 4, -2, -8, -14, -20, …,  n = 11.

    Решение: 1)  a1=1, d = 2, n = 11; an=a1+(n-1)d; a11=1+2(11-1); a11=22.

    2)a1=1, a2=-2, n = 11; d =-6; an=4+(n-1)(-6); an=10 — 6n.

    Задача 4.  Найдите n, если  а1=0, d = 0,5, an = 11.

    Решение: an=a1+(n-1)d; 5=0+0,5(n-1); 5=0,5n-0,5; 0,5n=5,5; n=11

    Задача 5. Найдите Sn, если известны:

    1) an = 4п + 3, п = 30;

    2)  а1= -3, d = 1,5, п = 16.

    Решение:  1) an=4n+3, n=30; a1=4*1+3=7; а30=4*30+3=123;  S30=n(a1+an):2; S30=30(7+123):2; S30=15*130=1950; Ответ: 1950

    2) a1=-3, d=1,5; п = 16; S16= (2a1+d(n-1)*n):2; S16=(2(-3)+1,5(16-1)*16):2;

    S16=(-6+22,5)*8=132; Ответ: 132

    Задачи разных уровней:

    Задача 1 уровня — минимальный уровень

    Задача 2 уровня — общий уровень                                                                         Задача 3 уровня — продвинутый уровень

    Задача 1 уровня:  Найдите девятый член арифметической прогрессии : 3,7, …,...

    Решение: a1=3, a2=7;      a9-?

    d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35; Ответ: 35.

    Задача 2 уровня:   Укажите число неотрицательных членов  арифметической прогрессии 13,10,7, … .

    Решение:

    d=a2-a1=10-13=-3

    a4=a3+d=7-3=4,

    a5=a4+d=4-3=1,

    a6=a5+d=1-3=-2<0. Все последующие члены прогрессии являются отрицательными.  Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

    2.  Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

    Решение: Из условия задачи следует, что : a1=15; aп=105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену:   аn1+d(n-1);  105=15+10(n-1); 10п=100; п=10.  Ответ: 10 дней.

    Задача 3 уровня:  Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7 и не делятся на 13.

    Решение:

    Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

    1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

    1. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

    3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

    а1=105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

    4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

    а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

    S9=(9(182+910)):2; S9=4914

    5) S=70336 - 4914 =65422; Ответ: 65422.

    Самостоятельная работа (тест)

    0

    1

    1

    n

    an

    Рис. 1

     1. Про арифметическую прогрессию (аn) известно, что а7 = 8, а8 = 12. Найдите разность арифметической прогрессии.

    А) -4;        Б) 4;           В) 20;        Г) 3.         

     2. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1)  точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом  этой прогрессии?

    А) -7;        Б) 6;           В) 12;        Г) 17.        

    1. В арифметической прогрессии а1=-7,3 и  а2=-6,4. На каком месте (укажите номер) находится число 26?

    А) 39;        Б) 38;           В) 27;        Г) 28.        

    4. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической     прогрессии, заданной формулой ап =6n+2. .

    А) 864;        Б) 848;           В) 792;       Г) 716.        

    5. Сумма второго и пятого членов арифметической     прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого.     Найдите второй и четвёртый члены.  

    Ответ: а2  =1; а4  = 7,

    Ресурсное обеспечение:

    1. Учебник для 9 класса. Мордкович А.Г.,
    2. Задачник для 9 класса. Мордкович А.Г., Александрова Л.А.
    3. Дидактические материалы
    4. Галицкий М.П., Гольдман А.М. Сборник задач по алгебре 8-9 классов.
    5. Кострикина П.В., Семенов.Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов.
    6. Сборники заданий для подготовки к ГИА.
    7. Плакаты
    8. ПК
    9. Мультимедийная установка
    10. ссылки на ЦОР:

    http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/3fd8fb77-8ab9-4474-aee1-2c077475aff2/108379/?interface=pupil&class=51&subject=17

    http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/91bdd1af-800d-4f15-b3e4-86ac8a84c356/QPlayer.swf

    Конспект урока.

    Тема: «Арифметическая прогрессия»

    Тип урока: повторительно-обобщающий.                                                                                      

    Цели:                                                                                                                                                    1.(образовательная) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;                                                                          2.(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;3.(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

    Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал.

    Структура урока:

    1. Орг.момент, приветствие, пожелания. Сообщение темы, типа и целей урока.
    2. Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.
    3. Тренировочные упражнения-закрепления.
    4. Историческая справка.
    5. Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам.
    6. Выставление оценок, домашнее задание.
    1. ХОД УРОКА.

    1. 1. Орг.момент, приветствие, пожелания, сообщение темы и целей урока.

    2. Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами повторительно-обобщающий урок перед контрольной работой. Эмоциональный настрой нашей совместной работы. (На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю) учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку. ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!». МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться. УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», а вместе с вами сегодня мы движемся только вперед, т.к. слово «Прогрессия» в переводе с греческого языка обозначает движение вперёд. Открыли тетради и записали сегодняшнее число и тему урока. Давайте, совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их: Умение применять формулы... Умение грамотно говорить … Умение обобщать, систематизировать… Умение логически мыслить… Умение пересказывать… Умение молчать… Я, думаю, что вы не раз использовали в своей речи пословицу «Сделал дело, гуляй смело!», теперь сформулируйте её для нашего урока алгебры, оставив без изменения её смысл (решил задачу, молодец).

    3.  А теперь, посмотрите друг на друга, и скажите, какие между вами могут сложиться отношения на уроке, и в целом?                                                                                               Итак, ребята, молодцы! Если всё, сказанное вами, обобщить, то мы получим цели урока…

    4.                                                                                                            

    5. 2. Индивидуальная работа.                                                                             К доске я приглашаю 4 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С.                                        (ап)- арифметическая прогрессия.

    А

    А

    В

    С

    Дано: а10=126,
    d=4.

    Найти:
    а1. 

    Дано:
    а25=84,
    а
    1=12.
    Найти:
    d.

    Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

    Является ли число 156 членом арифметической прогрессии п), в которой а1=24, а22=60.

    Фронтальная работа. Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме:                                                                        Дайте определение арифметической прогрессии + формула.                                        Как найти разность арифметической прогрессии + формула?                                Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.                                Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических преобразований?        Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго + формула.                                                                                        Запишите формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.        

                  Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.                                                Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», соединив их стрелкой.

    1. 3. Тренировочные упражнения.                                                                                            Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

    1. 3; 6; 9; 12; …
    2. -1; -1; -1; …
    3. 0; 13; 1; 14; 2; 15; …
    4. -3; -1; 1; 3; …
    5. Хп= 3п-2;
    6. Ап=25+п2;
    7. Вп=12/3 – 4п.

    Выразите через а1 и d: а8, а33, а100.

    Найдите а5, если а1=4 и d=7.Найдите а12, если а11=20 и а13=30.                                                                                                   Письменно.                                                                                                                                          1. Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, заданной под № 5.                      2. Выразите ап из прогрессии № 1, и найдите сумму первых 18 членов.                                     3. Дополнительно. Используя, прогрессию под № 4, найдите сумму первых десяти её членов (два способа по вариантам). Чему равно Sп?                                                                4. Исторический момент                                                                                Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика).                5. А, сейчас ребята, вы будете работать индивидуально на местах. 

    ПОЛУЧИВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННУЮ карточку-задание, трудитесь как пчёлки, ведь недаром их называют «труженицами»

    А. Дано: ап - арифметическая прогрессия а1=5, d=2. Найдите:  а6.

    В.  5,7,9, … - арифметическая прогрессия. Выразите ап.

    С. Дано: ап - арифметическая прогрессия Sn=60, аn=2n+3. Найдите: п.

    6. Выставление оценок. Домашнее задание.


    Система задач трех уровней сложности:

    1 уровень

    1.  Найдите девятый член арифметической прогрессии (an): 3,7, …,... .    

    Решение: a1=3, a2=7;      a9-?

    d=a2- a1=7-3=4; an=a1+(n-1)d; а9=3+4(9-1)=35. Ответ: 35.

    1. Дано: ап - арифметическая прогрессия а1=5, d=2. Найдите:  а6.

    Решение:

    1. Дано: а10=126, d=4. Найти: а1. 

    Решение: an=a1+(n-1)d; a6=a1+(6-1)d;  a6=5+5*2 = 15.  Ответ: 15.

    4. Определите, является ли приведенная  ниже последовательность арифметической  прогрессией:

    1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …;

    2) хn = 3n + 1.

    Решение:1) 2,4,6,8,10,12,...а1=2, а2=4, а3=6, а4=8, а5=10, а6=12,...Это арифметическая прогрессия у которой а1=2 и d=2.

    2) хn = 3n + 1.2) х1 = 4, х2 = 7,  х3 = 9, х4 = 12,... .Это арифметическая прогрессия у которой х1=4 и d=3.

    5. Дана арифметическая прогрессия  а1,а2,а3,а4,а5,а6, … .

    а) Известно, что а1,=3,d=67. Найти а13.

    б) Известно, что d = 3, а14,=37 . Найти а1.

    г) Известно, что а1=0, а63=682. Найти d.

    Решение: Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

    аn=а1+d(n-1)

    а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1,=3,d=67, n=13 .

    Воспользуемся вышеприведенной формулой:

    аn=а1+d(n-1); а13=а1+d(13-1); а13=а1+12d; а13=3+12*67; а13=807.

    б) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: d =3; а14=57, n=14.

    Найдем а1, используя вышеприведенную формулу:

    аn=а1+d(n-1); а1=а14-d(14-1); а1=а14-13d; а1=57-13*3=18.

    г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: а1=0; а63=682; n=63.

    Найдем d, используя вышеприведенную формулу:

     аn=а1+d(n-1); d = (а631):(n-1); d = (682 – 0):(63 – 1) =11. 

    Ответ: а)807;  б) 18;  в)11.

    6. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, если известно, что  1) а1=73; d=-1;

     2) аn=-2n+8.

    Решение: а) По условию известно, что  а1=73; d=-1, n=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:  Sn=(2а1+d(n-1))*n:2.

    S30=(2*73+(30-1)*(-1 ))*15:2; S30=(146-29)*15 =1755.

    б) По условию задачи известно, что аn=-2n+8, п=30. Для решения задачи будем использовать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:  Sn=(n( а1+ аn)):2; а1=-2*1+8=6; а30=-2*30+8=-52;  S30=(30( 6- 52)):2=-690.

    Ответ: а) 1755; б) -690. 

    2 уровень

    1. Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

    Решение: Из условия задачи следует, что : a1=15; aп=105, d=10. Используя формулу п члена арифметической прогрессии найдем количество дней для подготовки к экзамену:   аn1+d(n-1);  105=15+10(n-1); 10п=100; п=10.  Ответ: 10 дней.

    2. 5,7,9, … - арифметическая прогрессия. Выразите ап.

    Решение: a1=5; a2=7. Найдем d: d=a2-a1=7-5=2.

     аn1+d(n-1);  аn=5+2(n-1);  аn=5+2n-2=2п+3.

    3.    Укажите число неотрицательных членов  арифметической прогрессии 13,10,7, … .

    Решение:

    d=a2-a1=10-13=-3

    a4=a1+3d=13-3∙3=4,

    a5=a1+4d=13-4∙3=1,

    a6=a1+5d=13-5∙3=-2<0. Все последующие члены прогрессии являются отрицательными.  Значит, заданная прогрессия содержит 5 неотрицательных членов.

    4. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии.

    Решение: По условию задачи имеем: a5=8,4; a10= 14,4. Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1):

    а5=а1+d(5-1)                        а10=а1+d(10-1)

    а5=а1+4d                                  а10=а1+9d

    Составим систему уравнений и решим ее:

    а51+4d                8,4 = а1 +4d          d =1,5;  а1=3,6.

    а101+9d             14,4 = а1+9d

    Опираясь на полученные результаты, найдем а22: аn1+d(n-1);  а221+d(22-1); а22=3,6+21*1,2 =28,8. Ответ: 22,8.

    5. В арифметической прогрессии а5= - 132; а6= - 128. Найти номер первого положительного члена этой прогрессии.

    По условию задачи имеем: а5= - 132; а6= - 128. Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn1+d(n-1):

    а51+4d                а61+5d

    Составим систему уравнений и решим ее:

    а51+4d                          -132 = а1+4d                d = 4;  а1=-148

    а61+5d                        -128 = а1+5d

    Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство: аn1+d(n-1)>0; -148+4(n-1)>0;                     -148+4n-4>0; 4n>152; n>38

    Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству n=39. Ответ: n=39.

    Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов.

    6. Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7.

    Решение: Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994. Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

    а1=105, ап=994; d=7. aп=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2=70336; Ответ: S128=70336. Ответ: 70336.

    3 уровень

    1.Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?

     Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой а1=4. Так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а d=3 так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Опираясь на полученные выводы, найдем а91: аn1+d(n-1); а91=4+3(91-1)=274.

    Ответ: 274.

    Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена арифметической прогрессии.

    2. Известно, что в арифметической прогрессии а13=-4, а45=8.        

    Решение:  В данной задаче будем использовать формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: аn=а1+d(n-1)         

    а3=а1+2d;         а4=а1+3d; а5=а1+4d. Составим систему уравнений:

     а1+а3=-4,                 а1+а1+2d=-4,                       2а1+2d=-4,                   2d=-4-а1,         

    а4*а5=8.                 (а1+3d)*(а1+4d)=8.             а12+7dа1+12d2=8,         

     

    а12+7а1(-2-а1)+3а1(-2-а1) 12(-2-а1)2=8,

    6а12+34а1+40=8;          а1=-4, а2=-5/3.

    Ответ: -4, -5/3.

    3. Вычислите

    1+3+32+...+313  .

    1+3+32+...+36        

    Найдем сумму первых п членов арифметической прогрессий, стоящих в показателях степени.

    30+31+32+...+313  .

    30+31+32+...+36      

    S14=0+1+2+...+13; S14=(14(0+13)):2=7*13=91;

    S7=0+1+2+...+6; S14=(7(0+6)):2=42:2=21.

    3S14:3S7=391:321=370.

    Ответ: 370

    4. Арифметическая прогрессия содержит 20 членов. Сумма членов с четными номерами на 80 больше суммы членов с нечетными номерами. Найдите разность прогрессии.

    Решение:  а1+а3+а5+а7+... +а19+80=а2+а4+а6+...+а20.

     Используя формулу п члена арифметической прогрессии, выразим каждый член через а1 и d . После преобразований получим: 10а1+90d+80=10а1+100d; 10d = 80; d = 8. Ответ: 8.

    5. Найти сумму всех трехзначных чисел,  которые делятся на 7 и не делятся       на 13.

    Решение:

    Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо из суммы все трехзначных чисел, которые делятся на 7, вычисть сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13.

    1)Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 7 легко определить — это 105 и 994.

    1. Первое и последнее трехзначные числа, которые делятся на 13- это 182 и 910.

    3)Найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7:

    а1=105, ап=994; d=7. an=a1+(n-1)d; 994=105+7n-7; 7n=896; п=128 — количество чисел, которые делятся на 7; S128=(128(105+994)):2; S128=70336

    4) найдем сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 13:

    а1=182, ап=910; d=91. an=a1+(n-1)d; 910=182+91n-91; 91n=819; п=9 — количество чисел, которые делятся на 13

    S9=(9(182+910)):2; S9=4914

    5) S=70336 - 4914 =65422; Ответ: 65422.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Урок обобщения и систематизации знаний с использованием компьютерной техники Тема: Прогрессии. Арифметическая и геометрическая.

    Тема «Прогрессии» изучается в курсе алгебры 9-го класса в течение 16 часов и имеет основной целью познакомить учащихся с понятиями числовой последовательности, арифметической и геометрической прогресс...

    Урок на тему "Решение практических задач с помощью темы «Арифметическая прогрессия»

    Урок разработан для учащихся  9 класса. Цель урока - показать учащимся применение темы «Арифметическая прогрессия» при решении практических задач....

    Конструирование системы задач по теме «Линейная функция»

    Тема «Линейная функция» изучается в 7 классе, на изучение отводится 11 часов. Данная тема является начальным этапом систематической функциональной подготовки учащихся. Учащиеся получают первые ...

    Открытый урок по теме:Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Применение изучаемой темы к решению текстовых и геометрических задач в формате ЕГЭ

    Это первый урок изучаемой темы «Арифметическая прогрессия». Проводится после двух уроков «Последовательности». Учитель знакомит учащихся с определением арифметической прогрессии, способами её задания,...

    Сборник задач по теме: "Прогрессии"

    Задачи по теме : "Прогрессии"  для применения на уроках закрепления в 9 классе, для самостоятельной работы...

    Многоуровневая система задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

    Многоуровневая система задач по курсу алгебры и начал математического анализа позволит  учащимся успешно освоить программу как на базовом, так и на углублённом уровнях,  эффективно подготови...

    Сборник задач по теме: "Прогрессии"

    Задачи по теме : "Прогрессии"  для применения на уроках закрепления в 9 классе, для самостоятельной работы...