Принцип Дирихле
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме
Разработки и решение задач с использованием принципа Дирихле.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Петер Густав Лежен Дирихле (13.2.1805 - 5.5.1859) - немецкий математик, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1837), член многих других академий .
Наиболее часто принцип Дирихле формулируется в одной из следующих форм: Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов"
Алгоритм применения принципа Дирихле Определить что в задаче является "клетками", а что — "кроликами" Применить соответствующую формулировку принципа Дирихле ?
У1. "Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка" У2. "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов" " У3. "Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов " У4. "Если в n клетках сидят не менее n*k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов""
У5. "Непрерывный принцип Дирихле. "Если среднее арифметическое нескольких чисел больше a, то, хотя бы одно из этих чисел больше a"; У6. "Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n". У7. "Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток".
В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много синих, много красных). Какое наименьшее количество шариков надо наощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета?
Решение «Кролики» - шары. «Клетки» - черный, белый, синий, красный цвета. «Клеток» 4. Если «кроликов», хотя бы 5, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика).
Задача . В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.
«Клетки» – иголки – 0, 1, 2, …, 500000. «Кролики» - ёлки – 800000. «Кроликов» больше, чем «клеток» , значит, есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов". Следовательно, существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. У2
Задача .Количество волос на голове у человека не более 140 000. Доказать, что среди 150 000 человек найдутся 2 с одинаковым числом волос на голове.
Решение. «Клетки» – число волос - 140 000 (у каждого человека может быть от 0 до 140 000 ). «Кролики» – количество людей – 150000. «Кроликов " больше, чем «клеток», значит, есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов". Следовательно, существуют хотя бы два человека с одинаковым числом волос
В классе 35 человек. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
Решение: «Кролики» – ученики -35. «Клетки» – буквы – 33. Фамилии не могут начинаться на «Ь» и «Ъ». «Кроликов» больше, чем «клеток», следовательно найдётся 2 ученика, у которых фамилии начинаются на одну букву. Решение:
Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна? Решение: Числа бывают чётные и нечётные, а всего чисел – 3, то , применяя принцип Дирихле, как минимум 2 из них будут оба чётные или нечётные. В первом и во втором случаях сумма чисел будет чётной. Значит, верно.
В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие день рождения в одном месяце. Решение. 1 способ: «Кролики» – ученики – 37. «Клетки» - месяцы – 12. Так как 37 ≥ 12*3+1, то найдётся 3+1 ученика, родившихся в одном месяце.У4. 2 способ: если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего их будет не больше 36, что противоречит условию.
Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делиться на 8. Решение: «Клетки» – остатки от деления на 8 – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. «Кролики» – 9 целых чисел. Так как 9 ≥ 8, то 2 целых числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8, поэтому их разность будет делиться на 8.
Геометрическая задача Внутри равнобедренной трапеции со стороной 2 расположено 4 точки. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1. Решение . Разобьем трапецию со стороной 2 на три треугольника со стороной 1. Назовем их "клетками", а точки – "кроликами". По принципу Дирихле из четырех точек хотя бы две окажутся в одном из трех треугольников. Расстояние между этими точками меньше 1, поскольку точки не лежат в вершинах треугольников
желаю успехов!
По теме
Принцип Дирихле
Материал содержит подробную методическую разработку занятия математического кружка по данной теме, апробированную автором. Тема является одной из востребованных при обучению учащихся решению олимпиадн...
Принцип Дирихле и его применение при решении задач.
Очень часто в задания математических олимпиад включаются задачи, при решении которых можно использовать прием, называемый принципом Дирихле. В шко...
Принцип Дирихле. Решение олимпиадных задач. Первое занятие
Материал предназначен для подготовке к олимпиаде....
Решение олимпиадных задач ,используя принцип Дирихле второе занятие
Данный материал можно использовать в рамках подготовки учащихся к олимпиаде, как дополнительный материал на кружках и элективных занятиях....
Тема самообразования "Принцип Дирихле".
Одна из главных задач педагога, обучающего детей с нарушениями зрения, является необходимость найти и применить все возможные педагогические методы и приёмы для оказания психолого-педагогической помощ...
Занятие кружка. Принцип Дирихле.
На занятии кружка рассмотрен сам принцип Дирихле. Показала как он работает. Разобрали олимпиадные задачи...