Изучении темы «Функции и графики»
статья по алгебре по теме

О преемственности  при изучении темы «Функции и графики»

 Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения.

Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего  процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.

Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. В нём, «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлений природы и процессами техники с помощью математического аппарата». Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.

В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.

Введение понятий непрерывности, предела, производной и интеграла в старших классах даёт возможность более глубоко изучать свойства линейной, квадратной, степенной, тригонометрических, показательной и логарифмической функций, показать их практическое применение, а так же позволяет более тесно связать курс геометрии с началами анализа, математику с физикой, техникой, химией.

От тога как усвоены учащимися умения, приобретаемые шольниками при изучении функций, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.

При выделении обязательных задач по теме «Функции», так же как и по любой другой теме курса математики основной школы, следует ориентироваться на то, что обучение в 7 – 9 классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе полученной им математической подготовки строиться его дальнейшее обучение. В первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования различных умений на следующих ступенях обучения.

Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.

 Анализ теоретического и задачного материала по теме «Функция»  позволяет выделить  две группы умений, за формированием которых следует тщательно при изучении всех видов конкретных функций, - умение работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.

 К умениям работать с формулами относятся следующие.

Для функций, изучаемых в основной школе, вида y = kx + b, y =  ,                 y = ax2 + bx + c (при заданных a, b, c),   y = x3  ,   y = учащиеся должны уметь:

1.  указать область определения функции;
2.  вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
3.  вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
4.  определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции.

Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, вычисления пределов функций, интегралов. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции, требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнения прямой, окружности, плоскости.

Важнейшее значение функциональной подготовки учащихся основной школы имеет формирование графических умений. График - это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. В средней школе функция неотделима от её графического представления.  График функции выступает основным опорным образом при формировании ряда понятий – возрастания и убывания функции, чёткости и нечёткости, обратимости функции, понятие экстремума. Без чётких представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл.

Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функции. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций: y = kx + b,  y =   ,   y =  ax2 + bx + c   ( при конкретных значениях параметров),  y = x3.

Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функции. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:

1.  по заданному значению одной из переменных x или y определить значение другой;
2. определить промежутки возрастания и убывания функций;
3. определять промежутки знакопостоянства;
4. для квадратичной функции указывать значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значения, а так же определять это значение.

Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: y = x, y = - x, y = x2, и уметь без специального построения по точкам показывать их расположение в координатной плоскости.

Рассмотрим примеры заданий по чтению графиков функций содержащихся в материалах ЕГЭ.

Задание 1 (А). На рисунке 1 изображен график функции, определенной на отрезке [— 4;8]. Ука жите, сколько на этом отрезке имеется промежут ков, на которых функция убывает.

1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4. 

Решение. Функция у = f (x) возрастает на промежутке, если для любых двух значений аргу мента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

                                                                                                   Рис. 1

Соответственно, на этом промежутке при движении слева направо вдоль оси абсцисс часть графика «идет вверх».                                                                     

Аналогично определяется убывание функции на промежутке: при увеличении аргумента значе ния функции уменьшаются (график «идет вниз»). На приведенном рисунке имеется два промежут ка убывания функции: [—1; 2] и [4; 6].                                                                                                Ответ: 2.

Задание 2 (В). Функция у = f (х) определена на проме жутке (—5; 8). На рис. 2 изображен график ее производной. Найдите число касательных к гра фику функции у = f(х), которые наклонены под углом в 135° к положительному направлению оси абсцисс.

                                                                                    Рис. 2

Пример 3 (для 9 класса).  Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на турбазу. На рисунке 4 изображен график движения туриста (по горизонтальной оси откладывается время в часах; по вертикальной — расстояние от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы:

1) Сколько времени турист потратил на привалы?

2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго привала?

3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время на привалы не учитывать)?

Решение. 1) На первый привал турист по тратил 1 час, на второй — 2 часа, то есть — всего 3 часа.

2) За 2 часа, что турист находился в пути от первого привала до второго (6 — 4 = 2), он про шел 10 км (16 — 6 == 10). Значит, его скорость на этом участке была равна 10:2=5 (км/ч).

3) За время похода турист прошел 32 км (16 км до второго привала и столько же обратно), по тратив на это 13 часов. Так как 3 часа он потратил на привалы, то в пути турист находился 10 часов.

Поэтому его средняя скорость за всё время движения равна 32 : 10 = 3,2 (км/ч).                                                           Ответ: 1) 3 ч.;  2) 5 км/ч;  3) 3,2 км/ч.