Предел функции
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный предел

Слайд 2

Случай 1. А

Слайд 3

Случай 2. А

Слайд 4

Случай 3. А В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Слайд 5

Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 . Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Слайд 6

Предел функции в точке y 0 х х 0 А δ окрестность точки x 0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Слайд 7

Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 . Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε > 0 найдется такое δ >0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

Слайд 8

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если Предел справа записывают так: y 0 х А 1 х 0 А 2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами . Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 y 0 х А 1 =А 2 =А х 0

Слайд 9

Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке . Число А называют пределом функции при , если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М , что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε . y 0 х М А

Слайд 10

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Слайд 11

Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

Слайд 12

Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0 , то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

Слайд 13

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) . Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Слайд 14

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Слайд 15

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Слайд 16

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Слайд 17

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Слайд 18

Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0 . Найдем предел этой функции при О А В С М Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA , S 2 - площадь сектора OM А, S 3 - площадь треугольника O СА, Из рисунка видно, что S 1 < S 2 < S 3 x

Слайд 19

Первый замечательный предел О А В С М x

Слайд 20

Первый замечательный предел Следствия: Формула справедлива также при x < 0

Слайд 21

Первый замечательный предел