Элементы теории вероятностей
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

элементы теории вероятностей

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, ЕГО ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти.

События будем обозначать буквами А, В, С, .... Если событие неизбежно произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется достоверным; если же оно не может произойти — невозможным.

Если событие А при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, будем называть суммой (объединением) событий А и В и обозначать А+В или АВ.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, будем называть произведением (совмещением) событий А и В и обозначать АВ или AB.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пусть, например, нас интересует появление определенного числа очков на грани при одном бросании игральной кости: i =1,2,3,4,5,6. Выпадение конкретного числа очков назовем элементарным событием (исходом), которое обозначим . Таким образом, для каждого связанного с этим опытом события А можно выделить совокупность тех элементарных исходов , наступление которых, влечет за собой наступление события А.

Пусть событие А состоит в появлении нечетного числа очков на грани. Этому событию благоприятствуют элементарные события т. е. некоторое подмножество множества всех элементарных исходов. Совокупность элементарных событий обозначается  и называется пространством элементарных событий.

Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство элементарных событий образует так называемую полную группу попарно несовместных событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: А+—достоверное событие и А — невозможное событие.

Для количественной оценки возможности появления случайного события А вводится понятие вероятности.

   Классическое определение вероятности.

 Вероятностью события А называют отношение числа т исходов, благоприятствующих этому событию, к числу п всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

                          Р (А) = т/п

В рассмотренном примере вероятность выпадения грани с нечетным числом очков составляет Р (А) = 3/6= 1/2.

Приведем аксиоматическое определение вероятности, предложенное А. Н. Колмогоровым.

1°. Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число Р (А), называемое вероятностью.

2°. P(Ω)=1.

3°. Аксиома сложения. Если события , А,…, попарно несовместны, то Р(А1+ А+…+)=Р()+Р(А2)+…+Р().

Отсюда следует, что:

1) вероятность невозможного события равна нулю;

2) для любого события А  Р (А)=1—Р (), где — противоположное событие;

3) каково бы ни было случайное событие А,  0≤Р(А)≤ 1.

 Используя эти аксиомы, свойства вероятностей выводят в качестве теорем.

  К числу основных понятий теории вероятностей также относится частота

события, под которой понимают отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. Частоту события называют статистической вероятностью. Для вычисления частоты события необходимо произвести в действительности испытания (опыт), что не требуется для определения вероятности.

  Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах и стремятся (по вероятности) к некоторому постоянному числу. При этих условиях частоту можно принять за приближенное значение вероятности.

При классическом определении вероятности не всегда можно определить числа тип для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно пользоваться формулой P(A)=m/n не удается. В таких случаях вводят понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).

    Геометрическое определение вероятности.

  Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G ив ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g. При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G. Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы:

                    P=

(геометрическое определение вероятности).

       Решение задач:

1.        В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от I до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?

   Решение.  Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возможных случаев, т.е. т=п=10  и  Р(А)=1. В этом случае событие А достоверно.

2.        В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

   Решение.  Синих шаров в урне нет, т.е. т = 0, а п=15. Следовательно, Р (А) = 0/15 = 0.  В данном случае событие А - невозможное.

3.        В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

   Решение. Здесь m = 4,  п =12 и  Р (А) = 4/12= 1/3.

4.        В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

      Решение. Здесь число всех случаев п = = (10×9)/(1 ×2)= 45. Число же случаев, благоприятствующих событию А, определяется равенством  т=, т. е.                 m =(6×5)/(1×2)=15.  Итак,  Р (А) = 15/45= 1/3.

5.        В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета - выигрыш по 50 руб., на десять билетов- выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов-  выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов - выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

      Решение. Здесь m =1 + 4+ 10+ 20 =35, n = 2000, т.е. Р (А) = m/n = 35/2000 = 0,0175.

   6.  Монета подброшена два раза. Какова вероятность того,  что оба раза выпадет герб?

      Решение. Здесь m =1,  n = 4(герб-герб, герб-лицо, лицо-лицо, лицо-герб) , т.е. Р (А) = =m/n = 1/4 = 0,25

Примечание. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом же определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.

   7. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r (r < R).

    Решение. Событие А – попадание точки внутрь круга радиуса r, имеющего площадь  =π∙. Р (А) = /, где = π∙. Тогда Р (А) = π∙/ π∙=.

   8. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга.

    Решение. Событие А – попадание точки внутрь правильного треугольника, имеющего площадь=3/4. Р (А) =/, где = π∙. Тогда Р (А) =3/4∙ π∙=3/4 π.

   9. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

    Решение. Р (А) =/=1/2=0,5.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

  Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

  Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий:

                     P() = A).

   Для двух совместных событий:  Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).         

  Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

  Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

  Условие независимости события А от события В можно записать в виде Р (А/В)=Р (А), а условие зависимости—в виде Р (А/В) ≠ Р (А).

  Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

       Р (АВ)=Р (А)∙Р (В/А)   или  Р(АВ) = Р(В)∙Р(А/В).

  Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А; тогда

       Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

  Условная вероятность события Ak , определенная в предположении, что осуществились события А1, А2,…, Ak-1, обозначается Р (Ak/ А1, А2,…, Ak-1).

  Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

   Р (А1 А2... Ak)=P ()=Р (А1)∙ Р (А2/А1)∙Р(А3/А1А2)...Р (Ak /А1А.2... Ak-1).

  В случае независимых событий справедлива формула

P ()=).

   10. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

    Решение.  Имеем  n= 10+ 15 + 20 + 25 = 70,  Р (Б) = 10/70= 1/7,  Р (Ч) = 15/70 = 3/14,  Р (С) =20/70 = 2/7,  Р (К) =25/70 = 5/14. Применив теорему сложения вероятностей, получим

 Р (Б + Ч) = Р (Б) + Р(Ч) = 1/7 + 3/14 = 5/14;

 Р(С + К) = Р (С) + Р (К) =2/7+5/14 = 9/14;

 Р(Б + Ч + С) = 1-Р (К) = 1-5/14 = 9/14.

   11. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

    Решение.  В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие А-появление белого шара из первого ящика, событие В - появление белого шара из второго ящика. При этом А и В-независимые события. Имеем Р (А) = 2/12= 1/6,  Р (В) =8/12 =2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находим

 Р (АВ) =Р(А)∙Р (В) = (1/6)∙ (2/3) = 1/9.

   12. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой -черный.

    Решение.  Пусть:

событие  А — появление белого шара из первого ящика;

 »  В—      » »         » » второго     »

 »   С—      » черного   » » первого     » (С=);

 »   D—      » »         » » второго     » (D =).

 Тогда Р (А) = 1/6,  Р (В) = 2/3,  Р (С) = Р () = 1 - 1 /6 = 5/6,  Р (D) = Р () = 1 - 2/3 = =1/3.

 Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика - черный:

 P(AD) = P(A)∙P (D) = (1/6)∙(1/3)= 1/18.

 Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика - белый:

 Р (ВС) = Р(В)∙Р (С) = (2/3) ∙ (5/6) = 5/9.

 Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого, или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, - черным. Применяем теорему сложения вероятностей:

 Р = Р (АD)+Р (ВС) = 1/18+5/9= 11/18.

   13. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

    Решение.  Пусть событие А - появление белого шара при первом вынимании; событие В - появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей для случая зависимых событий имеем Р (АВ) = Р (А)∙Р(В/А). Но Р (А) = 6/(6+8) = 6/14= = 3/7 (вероятность появления первого белого шара);  Р (В/А) = (6 - 1)/(6 + 8 - 1) = 5/13 (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).  Следовательно, Р(АВ) = (3/7) ∙ (5/13) =15/91.

   14. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75,  для второго- 0,8,  для третьего- 0,9.  Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

    Решение.  Р(А) = 0,75,  Р(В)=0,8,  Р(С) = 0,9;  Р (АВС) = Р (А)∙Р (В)∙Р (С) = =0,75∙0,8∙0,9 = 0,54.

   15. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

    Решение.  Здесь Р() = 1- 0,75 = 0,25 (вероятность промаха первого стрелка); Р () = =1 - 0,8 = 0,2 (вероятность промаха второго стрелка);  Р () =1- 0,9=0,1 (вероятность промаха третьего стрелка); тогда Р () — вероятность одновременного промаха всех трех стрелков- определится следующим образом:

 Р ()=Р() ∙ Р () ∙ Р () = 0,25∙ 0,2∙ 0,1 = 0,005.

 Но событие, противоположное событию , заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность Р=1— Р (), т. е. Р= 1—0,005 = 0,995.

   16. Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна α (α -малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу при α = 0,01.  

    Решение.  Так как 1- α -  вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение дня, то по теореме умножения вероятностей (1- α)5 - вероятность того, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.

 Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами, содержащими α 2, α 3, α 4 и α 5, получим приближенное равенство (1- α)5 ≈1—5∙ α, т. е. Р ≈1—5∙ α . Приняв α = =0,01,  получаем  Р≈ 0,95.

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ

 Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих п испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли

                             = ∙ ∙ ,

 где q = 1 — р.  Таким образом,

              = ,    = n∙p∙,…, = .

 Число  называется наивероятнейшим числом наступлений события А в п испытаниях, если значение   при т = не меньше остальных значений  ,т.е. ≥ при ≠.

 Если р ≠ 0 и р ≠ 1, то число  можно определить из двойного неравенства

               пр - q≤  ≤ пр+p.

 Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если пр+p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение т0.  Если же пр+р - целое число, то имеются два наивероятнейших значения:  = n p - q и  = n p+p.  

   17. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

    Решение. Вероятность извлечения белого шара р = 20/30 = 2/3 можно считать одной и той же во всех четырех испытаниях; q = 1— р = 1/3. Используя формулу Бернулли, получаем

 = ∙∙=  ∙ .

   18. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появитcя не более трех раз?

    Решение. Здесь р = 0,4,  q = 0,6.  Имеем:

 вероятность появления события А 0 раз:  =q 10;

 » » »        » 1     »:                     =10pq9;

 » » »        » 2 раза:                      = 45p2q8;

 » » »        » 3    »:                      = 120p3 q 7.

 Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, составляет

       P = + ++,

 т. е.

P= q 10 + 10pq9+ 45p2q8 +120 p3q 7 или Р =q 7 (q3 + 10q2р + 45qр2 + 120р3).

 Полагая p = 0,4,  q = 0,6,  получим Р = 0,67 (0,216+1,44+4,32+7,68)≈0,38.

   19. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

    Решение. Вероятность рождения девочки р = 0,5,  тогда q = 1 - р = 0,5 (вероятность рождения мальчика). Значит, искомая вероятность

         P3,5 = ∙p³∙q² = (0,5)3∙(0,5)2 =  .

   20.В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

    Решение.

     = =  ; = 5 ∙ =  ;

     = 10 ∙ =  ;  = 10 ∙ =  ;

     Р = + + +=  .

   21.Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?    

    Решение. p= 0,5, q= 0.5. = ∙ ∙ =  ∙ ∙ =  =  .

   22.Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше трех раз?

    Решение. p= 0,5, q= 0.5. =∙∙ = =  .

                               =∙∙ = 6 ∙ = 6   = .

                               =∙∙ = 15 ∙ = 15   = .

                               =∙∙ = 20 ∙ = 20   = .

                                Р = + + + = +  +  +  =  .

   23. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.

    Решение. Здесь п = 14,  р = 10/50 = 1 /5,  q = 1 - р = 4/5.  Используя двойное неравенство пр- q ≤  ≤ nр + р  при указанных значениях n, р и q,  получим

                        14/5 - 4/5 ≤  ≤ 14/5 + 1/5,  т. е.  2  ≤  ≤ 3.

 Таким образом, задача имеет два решения: = 2,  = 3.

   24. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

    Решение. Здесь n = 25,  р = 0,7,  q=0,3. Следовательно,

                   25 ∙ 0,7 - 0,3  ≤  ≤ 25 ∙ 0,7 + 0,7,  т. е. 17,2  ≤  ≤ 18,2.

 Так как т - целое число, то = 18.

   25. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.

    Решение. Имеем n = 40,  р = 1/7,  q = 6/7.  Таким образом,

            40 ∙ 1/7 – 6/7  ≤  ≤ 40 ∙ 1/7 + 1/7 ,  

                  4 ≤  ≤  5  т. е.  = 5.

   26. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают п шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти п .

    Решение. Из двойного неравенства пр - q ≤  ≤  пр+p  следует, что

                 ( - p)/p ≤ n ≤ ( + q)/p.

 Здесь = 11,  р = 100/180 = 5/9,  q = 4/9;  следовательно,

                    ≤  n ≤  ,     т.е.  18,8 ≤  n ≤ 20,6.

 Итак, задача имеет два решения: = 19, = 20.

   27. Можно ли в предыдущей задаче изменить числовые значения  и р так, чтобы задача не имела решений?

    Решение. Нет, задача всегда имеет решение, так как

               (+q)/p - ( - p)/p = (p + q)/p = 1/p > 1.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий,, ..., Нп (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий, то событие А можно представить как объединение событий А,  А, …,А Нп ,  т. е.

 А = А+ А+... + АНп .  Вероятность события  А  можно определить по формуле

    Р(А) = Р () ∙ Р (А/) + Р () ∙ Р (А/) + ... + Р (Нп)∙ Р (А/Нп),

 или

                 Р(А)= .

 Эта формула называется формулой полной вероятности.

 Условная вероятность события  в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:

Вероятности , вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.

   28. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во второй — 2 белых и 3 черных шара, в третьей—3 белых и 5 черных шаров, и четвертой—4 белых и 7 черных шаров. Событие—выбор i -й урны (i = 1, 2, 3, 4).  Известно, что вероятность выбора i-й урны равна i/10, т. е. Р () = 1/10,  Р()= 1/5,  Р () = 3/10,  Р () = 2/5.      Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

   Решение. Из условия следует, что Р (A/) = 1/2 (условная вероятность извлечения белого шара из первой урны);  аналогично Р (А/) =2/5, Р (А/) = 3/8,  Р (А/) =4/11.   Вероятность извлечения белого шара находим по формуле полной вероятности:

 Р (А)=Р () ∙ Р (А/)+Р() ∙ Р (А/) +Р () ∙Р (А/) + Р () ∙ Р (А/)=            

  =

   29. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором—10 белых и 10 черных шаров, в третьем—20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

    Решение. Пусть , , -гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого, второго и третьего ящика; событие А - появление белого шара. Тогда Р ()=P ()=     =Р () = 1/3 (выбор любого из ящиков равновозможен);  Р (А/) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика);  Р (А/) = 10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика);  Р (А/) =0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).

 Искомую вероятность Р (/А) находим по формуле Бейеса:

Р (/А) =   =  .

   30. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй— 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар—белый.

    Решение. После того, как из второй урны переложили в первую один шар, в первой урне оказалось две совокупности шаров: 1) 5 белых и 10 черных шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) один шар, переложенный из второй урны. Вероятность появления белого шара из первой совокупности составляет Р (A/) = 5/15=1/3,  а из второй совокупности Р (А/) = 3/10.  Вероятность того, что произвольно вынутый шар принадлежит первой совокупности, есть Р () = 15/16, а второй совокупности — Р()=  = 1/16.

 Используя формулу полной вероятности, получим

    Р (А)=Р () ∙ Р (А/)+Р() ∙ Р (А/) =