«РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ВВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В РАЗНЫХ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКТАХ»
учебно-методический материал по математике на тему

«РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ

К ВВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В РАЗНЫХ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКТАХ»

Содержание.

I.Введение ________________________________________________________2

II. Подходы и методическое обеспечение в работе учителя по введению элементов теории вероятностей в школьный курс математики________4

1. Развитие подходов к использованию элементов теории вероятности в школьном курсе математики_____________________________________4
2. Вероятностно-статистическая линия в учебной литературе____________6

Заключение _______________________________________________________15

Приложение1 «Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03»__________________________________16

Приложение 2 «Стандарт основного общего образования по математике-2004» 20

Приложение3 «Стандарты второго поколения. Вероятность и статистика»___22

Приложение 4 «Некоторые выводы реализации стохастической линии в основной школе»________________________________________________________27

Приложение 5 «Некоторые трудности введения элементов теории вероятностей в средней школе»___________________________________________________30

Приложение 6 «Устные упражнения на уроках по теории вероятностей и статистике»____________________________________________________________33

Литература ________________________________________________________47

Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер.

1. Введение.

Можно сказать, что мир – есть закономерное движение материи и времени. Но все, же это закономерное движение не происходит без значительного или слабого вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных причинных связей, корректирующей это закономерное движение. Более того, мы на многочисленных примерах убеждаемся, что случай – повсюду: в явлениях живой и неживой природы, в исследовательской, профессиональной, игровой и обыденной деятельности человека. Случай − властелин успехов, неудач, событий! Можно ли среди этого хаоса случайности увидеть что-то постоянное, объективно существующее? Открыть закономерности в хаосе случайности, найти гармонию в стихии неопределенности и использовать случайность во благо − вот смысл изучения случайных событий.

Математика может применяться в самых неожиданных ситуациях, например, в азартных играх. Принято считать, что примерно с середины XVII в. известные французские математики того времени: Паскаль (1623 – 1695), Ферма (1601 – 1665), попытались количественно описать ситуации, возникающие при игре в кости и, тем самым, положили начало теории вероятностей – математической модели для изучения закономерностей массовых случайных событий.

Актуальность проблемы.

Идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывалась много лет и встречала поддержку в среде математиков и педагогов-практиков. Развитое общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации и, наконец, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности. Были приняты принципиальные решения о включении элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьное математическое образование. Глубокое и прочное усвоение школьниками основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики важно для формирования их математической культуры. Формирование математической культуры учеников предполагает организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируется умение изучать данные разделы самостоятельно и творчески, а, следовательно, создаются предпосылки к активному применению полученных знаний в своей дальнейшей, профессиональной деятельности.

Цель работы: показать различные подходы к изучению элементов теории вероятностей на уроках математики в средней школе в разных учебно-методических комплектах.

Задачи работы:

- показать доступность изучения элементов теории вероятностей в школе;

- провести анализ, существующих учебных пособий, с точки зрения наличия в них элементов теории вероятности;

- показать роль задач и экспериментов в усвоении элементарных знаний о теории вероятностей;

- отразить основные подходы к изучению теории вероятности в школьном курсе математики.

II. Подходы и методическое обеспечение в работе учителя по введению элементов теории вероятностей в школьный курс математики.

1. Развитие подходов к использованию элементов теории вероятности в школьном курсе математики

Элементы комбинаторики и теории вероятностей в средней школе не являются чем-то необычным для отечественной системы образования. Ещё в 1899 году в Москве обсуждали вопросы, связанные со значением теории вероятностей и комбинаторики в школе. Новое упоминание об этих вопросах было на рубеже 40-ых годов. Целесообразность введения стохастики в школьный курс математики неоднократно отмечалась в работах С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко. В качестве обоснования выступала «… необходимость систематического развития у учащихся идеи наличия в природе закономерностей более широкой природы, чем строгий классический детерминизм, а именно статистических закономерностей».

Более того, первые издания учебника «Алгебра и начала анализа» для 9 класса средней школы под редакцией А.Н. Колмогорова содержат элементы комбинаторики и теории вероятностей. Изложение курса алгебры и начал анализа начинается с математической индукции, после чего даются элементы комбинаторики и некоторые понятия теории вероятностей. Степень изложения теоретического материала достаточно сложная. Так, например, формула числа перестановок выводится через рекуррентные соотношения, что сильно ухудшает и без того достаточно сложный материал. В общем, весь материал изложен относительно строгим академическим языком. Возможно, отчасти и поэтому в то время элементы комбинаторики не прижились в курсе отечественной школьной математике.

Следующий всплеск произошёл в 1995-2000 гг. при обсуждении обязательного минимума содержания образования. В 2003 г. было опубликовано письмо 1 заместителя министра образования В.А. Болотова «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы».[Приложение 1]

В стандарт 2004-2005 гг. включены элементы комбинаторики, вероятности и статистики. Предлагается изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей начать в 5-6 классах, или в 7 классе - в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание.[Приложение 2]

Далее проведем анализ данной литературы и сделаем выводы реализации стохастической линии в основной школе.[Приложение 4]

2. Вероятностно-статистическая линия в учебной литературе.

К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики предпринята в следующих учебниках.

5-й класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, что иллюстрируется с помощью построения дерева возможных вариантов. В пункте «Случайные события» рассматриваются понятия: случайные, достоверные, невозможные и равновероятные события.

В процессе изучения пункта начинается формирование вероятностного мышления школьника. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложного случайного события, используя свой жизненный опыт и опираясь на здравый смысл. Эта оценка проводится только на качественном уровне, количественный подсчет вероятностей в цели изучения в 5 классе не входит. В процессе рассмотрения реальных ситуаций вводятся базовые термины теории вероятности: случайные, достоверные, невозможные, равновероятные события. Новые термины связываются с известными из повседневной жизни словами — часто, редко, всегда, никогда и др., определяющими частоту наступления события. Отметим, что события достоверные и невозможные в курсе 5 класса не отнесены к случайным событиям. Такой подход отличен от традиционного и связан с особенностями восприятия детей возраста 10—11 лет. Опыт преподавания показал, что пятикласснику трудно считать случайными те события, которые происходят всегда или не происходят никогда. Предполагается, что понятие случайного события, включающего достоверные и невозможные события, будет осмыслено учащимися на более поздних ступенях обучения. Вероятность наступления некоторых событий изменяется в зависимости от условий, в которых они рассматриваются. Это справедливо, прежде всего, в тех случаях, когда наступление события связано с конкретной личностью. Поэтому при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных и одновременно верных ответов. Так, при обсуждении вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку» ученики в зависимости от своей личной ситуации могут дать ответы: «это достоверное событие», «это очень возможное событие», «это маловероятное событие» и др. При решении качественных вероятностных задач самым важным является приводимая аргументация. Если аргументация вполне логична и разумна, то ответ следует считать верным. Изучение материала должно способствовать пониманию важности умения оценивать вероятность наступления события при принятии обоснованного решения. Например, прежде чем принять участие в игре, следует оценить свои шансы на победу.

6-й класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. К изученным столбчатым диаграммам добавляются круговые (для представления соотношения между частями целого). Далее идут два параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Рассматриваются задачи, которые решаются уже известным способом перебора и предлагается упростить его, используя так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач — с помощью правила умножения. При введении правила умножения на наглядно-содержательной основе учащимся предлагаются задачи с большим числом вариантов решения, когда построение дерева оказывается технически трудоемким. При этом обращается внимание на то, что, если дерево симметричное или, как говорят, «правильное», его легко представить себе по отдельному фрагменту. Подсчитав число решений для выделенного фрагмента, нетрудно с помощью умножения определить число всех возможных вариантов решения. Термин «правило умножения» здесь не вводится, и какое-либо формальное правило действия не предлагается. Учащиеся остаются на уровне содержательного подхода.

Завершается учебник главой «Вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов со случайными исходами, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие «частота и вероятность случайных событий». 

В объяснительном тексте объектом для проведения эксперимента выбрана кнопка. Здесь возможны два варианта исхода эксперимента: «падение острием вверх» и «падение острием вниз», они не равновероятны. В этом случае только проведение серии случайных экспериментов позволит получить данные о том, какой из двух исходов происходит чаще. Так как для стабилизации частоты необходимо большое число экспериментов, то на уроке целесообразно использовать такую форму работы, как работа в малых группах. Каждая из выделенных групп проводит свои эксперименты, а затем результаты всех групп объединяются. Для фиксирования результатов экспериментов удобно использовать таблицы, которые помещены в рабочей тетради. Проведение экспериментов со случайными исходами служит, прежде всего, для формирования представлений о проявлении закономерностей в случайных ситуациях.

В 5-м классе последняя глава «Введение в вероятность» содержит два параграфа. В одном рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события и задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное).

Примеры.

Охарактеризуйте события, о которых идёт речь в приведённых ниже заданиях, как достоверные, невозможные или случайные.

1. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:

1. задумано чётное число (случайное);
2. задумано нечётное число (случайное);
3. задумано число, не являющееся ни четным, ни нечётным (невозможное – любое натуральное число либо чётное, либо нечётное);
4. задумано число, являющееся четным или нечетным (достоверное).

2. Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

1. их дни рождения не совпадают (случайное);
2. их дни рождения совпадают (случайное);
3. Петя родился 29 февраля, Толя 30 февраля (невозможное);
4. Их дни рождения приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День Независимости России (12 июня) (случайное).

3. В мешке лежат 10 шаров: 3синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующие события:

1. из мешка вынули 4 шара, и все они синие (невозможное);
2. из мешка вынули 4 шара, и все они красные (случайное);
3. из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета (невозможное);
4. из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара чёрного цвета (достоверное).

 Во втором — комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6-м классе авторы знакомят учащихся с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

Решение задач на подсчёт вероятности следует начинать с вопросов:

1. Какие имеются варианты (возможности) исходов того или иного события?
2. Являются ли эти исходы равновероятными?
3. Сколько существует равновероятных возможностей?
4. Сколько из них благоприятных?

Задача 1. В колоде 36 карт, из них наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что вытянутая карта:

1. король?

Решение. В колоде 4 короля. Возможности вытянуть карту определённого наименования, равновероятны. Поскольку возможностей всего 36, вероятность вытащить короля равна 4/36, т.е. 1/9.

Ответ. 1/9.

2. масти пики?

Решение. В колоде 9 карт, масти пики. Возможности вытянуть карту определённой масти, равновероятны. Поскольку возможностей всего 36, вероятность, вероятность вытащить карту масти пики – 9/36, т.е. ¼.

Ответ. 1/4.

Задача 2. Собрание для проведения тайного голосования по важному вопросу избрало счётную комиссию в составе: Антонов, Борисова, Ващенко. Члены счётной комиссии должны распределить обязанности: председатель, заместитель, секретарь. Какова вероятность, что председателем счётной комиссии будет Борисова?

Решение.

1. 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6  - число всех равновероятных исходов;
2. 2 ∙ 1= 2 – число благоприятных исходов;
3. P = 2/6 = 1/3 – искомая вероятность.

Ответ. 1/3.

По нашему мнению, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, подобраны не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи. Еще одним недостатком является то, что авторами вводится лишь классическое определение вероятности и не рассматривается понятие частоты. А более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частного.

Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов, оно дополняет учебники Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» под редакцией С.А. Теляковского.

В пункте 34 вводятся понятия случайного события, относительной частоты случайного события и вероятности наступления случайного события. Событие называют случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий оно может произойти или не произойти.

Учащиеся впервые встречаются с понятием «вероятность случайного события». Они узнают, что если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот наступления того или иного случайного события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом. В то же время если рассматриваются испытания со случайными исходами и все эти исходы равновозможные, то вероятность случайного события удается найти путем правдоподобных рассуждений, основанных на практическом опыте и здравом смысле. Подобные рассуждения позволяют нам перейти к классическому подходу к определению вероятности. В учебнике рассматривается такой пример. Допустим, нас интересует вопрос, какова вероятность того, что при бросании игрального кубика произойдет событие В, которое состоит в том, что на кубике выпало число очков, кратное 3. Это событие возможно при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков. Исходы испытания, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события. Для события В существует два благоприятных исхода: выпадение 3 очков и выпадение 6 очков. Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов равно 2/6. Это отношение называют вероятностью события В и пишут P(B)=2/6, т. е. P(B)=1/3. Вообще, вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. Такой подход к определению вероятности называют классическим.

Специальное внимание следует уделить рассмотренному в тексте примеру детской игры с бросанием дротика, на котором дается представление о геометрической вероятности. После этого учащимся предлагаются упражнения на вычисление вероятностей события, в частности такие, в которых используется формула числа перестановок. Далее рекомендуется предложить учащимся более сложные задания, в которых при вычислении вероятности события используется формула числа сочетаний.

В данном пособии некоторые элементы вводятся так же, как и в учебном комплекте Г.В. Дорофеева. Но материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории, и практических упражнений. По нашему мнению, комбинаторика и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно.

Это пособие предназначено для учащихся 7–9-х классов. Первые две главы посвящены таблицам и диаграммам.

В третьей главе, кроме основных статистических характеристик, вводятся понятия «отклонение» и «дисперсия».

Четвертая глава посвящена случайной изменчивости, содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т.п.).

В пятой главе переходим к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.

После этого идет блок комбинаторики. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).

Следующие главы посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике, дается определение частоты и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.

Приложение включает в себя вопросы: формула бинома Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ по предложенному материалу.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и диаграммы. Этот пункт необходим, так как именно таблицы и диаграммы учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных.

Немало внимания уделено случайным величинам и вероятности. Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности.

Учителю на уроках по изучению элементов теории вероятностей нельзя забывать об устных упражнениях, пожалуй, одном из самых старых и традиционных видов работы учителя. [Приложение 6]

Заключение.

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Данная работа показала, что:

1. Теория вероятностей - это такой раздел математики, который позволяет обучать учащихся логике на практике. В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития у учащихся навыков проведения логичных рассуждений, способностей абстрагировать.
2. Изучая теорию вероятностей, учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление учащихся и способствует развитию их речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.
3. Изучение теории вероятностей требует от каждого ученика больших усилий и немалого времени. Полученные при этом навыки учебного труда позволяет выпускникам школы в их дальнейшем жизненном пути эффективно овладевать навыками выполнения других видов труда и с должным пониманием относится к тому, что хорошее выполнение любой работы требует значительных усилий и ответственности.
4. Изучение теории вероятностей способствует развитию у учащихся наблюдательности, внимания и сосредоточенности, инициативы и настойчивости. Все это имеет большое значение для формирования их характера.

Приложение 1.

Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03

О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы.

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования Российской Федерации рекомендует образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе с 2003/04 учебного года. При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание:

Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений.

Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности.

Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно статистических представлений. Об этом свидетельствует опыт практического преподавания соответствующего материала во многих регионах Российской Федерации, например, в Москве, Санкт-Петербурге, Калуге, Орле, Туле, Калининграде, Архангельске, Волгограде, Хабаровске, Челябинской, Ярославской, Вологодской, Пермской, Омской областях, Республике Карелия, Чувашской Республике - Чувашии, Ханты-Мансийском автономном округе - Югре и др. В старшем звене эта линия получит дальнейшее развитие. В старшем звене эта линия получит дальнейшее развитие.

Для внедрения указанного содержания в практику созданы реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Ряд учебников содержит соответствующий материал как органическую часть курса, к другим подготовлены специальные вкладыши. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала, как по конкретным учебникам, так и в общем плане. Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5–6 классах или в 7 классе — в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени n, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняются в ряде учебников и в практике работы учителей.

Органам управления образованием субъектов Российской Федерации предлагается в течение 2003/04 учебного года создать организационно-педагогические условия для введения новой содержательной линии в практику преподавания математики, в частности, организовать в учреждениях системы повышения квалификации работников образования подготовку учителей к преподаванию элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей. При разработке программ переподготовки можно ориентироваться на вариант, опубликованный в журнале "Математика в школе"

Минобразование России считает, что за ближайшие три года будет накоплен опыт преподавания элементов статистики и теории вероятностей и осуществлена переподготовка учителей. В этот период задания по вероятности и статистике не должны включаться в материалы для административного контроля. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей не будут входить и в материалы для итоговой аттестации выпускников основной школы.

В.А. Болотов.

Приложение 2.

Стандарт основного общего образования по математике-2004.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Из раздела Обязательный минимум содержания основных образовательных программ.

Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.

Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Из раздела Требования к уровню подготовки выпускников.

В результате изучения математики ученик должен

знать/понимать

• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;

уметь

• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;
• вычислять средние значения результатов измерений;
• находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
• находить вероятности случайных событий в простейших случаях;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
• решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
• решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
• сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
• понимания статистических утверждений.

Приложение 3.

Стандарты второго поколения

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА

Из раздела Пояснительная записка

Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Из раздела Содержание курса

ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА (50 ч)

Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки.

Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классические модели теории вероятностей.

Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.

Из раздела Примерное тематическое планирование (первый вариант)

МАТЕМАТИКА, 5—6 классы

Приложение 4.

Некоторые выводы реализации стохастической линии в основной школе.

Анализ учебной литературы показал, что разные авторы подошли к реализации нового содержания в учебниках по-разному. Мы считаем, что для школы более приемлем учебник под редакцией Г.В. Дорофеева, который, на наш взгляд, имеет ряд преимуществ.

Во-первых, материал включен непосредственно в сам учебник, и работа по всем направлениям ведется параллельно. Материал рассчитан на 5–9-е классы. Это позволяет уже в 5–6-х классах начать формировать вероятностные представления, что, по мнению психологов, считается удачным.

Реализация любой темы в школьном курсе сталкивается с рядом проблем. Одна из них — проблема содержания материала, что именно и в каких количествах изучать в школе. Так как школьный курс ограничен временными рамками, то приходится выбирать некоторый минимум.

Опираясь на государственные стандарты образования, анализ учебной и методической литературы, можно выделить следующие моменты в содержании и последовательности изложения материала по данной линии.

Во-первых, необходимо изучать этот материал на протяжении всего курса средней школы. Курс можно разбить на несколько этапов (5–6, 7–8-е классы, 9-й класс). На каждом этапе формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. На каждом этапе материал усложняется, дополняется, отрабатываются усвоенные ранее и формируются новые умения и навыки.

Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, и одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия вероятность случайного события.

Необходимо познакомить учащихся с понятием «случайное событие» и сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить школьников самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных событиях в быту, в природе и технике.

Необходимо развивать у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий.

Перед введением понятия «вероятность случайного события» полезно провести эксперименты со случайными исходами и сравнить результаты учащихся с результатами экспериментов, которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий. Учащиеся с удивлением заметят, что результаты очень похожи. Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес и, хотя эксперимент является эмпирическим методом обучения, математика не является экспериментальной наукой. Но опыт дает учащимся возможность сделать открытия, увидеть закономерности, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.

При проведении опытов учащиеся могут убедиться в том, что с увеличением числа испытаний значения статистической частоты (выбранного для наблюдения исхода) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называют вероятностью наблюдаемого исхода или события.

Но нужно отметить, что говорить о статистической вероятности мы можем лишь при проведении достаточно большого числа экспериментов. Поэтому всегда возникает вопрос о точности такой оценки вероятности, поскольку не всегда возможно проведение достаточно большого числа экспериментов.

В продолжение вероятностной линии следующим шагом идет введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.

Сопоставляя определение классической вероятности и статистической вероятности, заключаем: определение классической вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности; определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту — после опыта.

После введения классического определения вероятности можно рассмотреть геометрическую вероятность. В этом случае рассматривается не количество возможных и благоприятных исходов, а отношение площади области, благоприятствующей появлению рассматриваемого случайного события, к площади всей области. То есть геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

Приложение 5.

Некоторые трудности введения элементов теории вероятностей в средней школе.

Сделав первые шаги в преподавании нового предмета, мы решили понять, в чем трудности преподавания теории вероятностей и статистики в средней школе. В нашей российской школе отсутствует традиция преподавания данного курса. На момент введения нового предмета среди учителей математики не было достаточного количества учителей, свободно владеющих содержанием курса статистики и теории вероятностей, решающих вероятностные задачи на том же уровне, что и задачи по алгебре. По теории вероятностей и статистике выпущено несколько вариантов учебников, но они не могут заменить собой, то многообразие методической литературы, в котором нуждается учитель. Поэтому каждый педагог должен самостоятельно создавать методику преподавания теории вероятностей и статистики в средней школе методом проб и ошибок. Преподавание курса «Теория вероятностей и статистика» требует от учителя кардинального изменения стиля своей работы: организации дискуссий, интенсивной устной работы, расширения собственного кругозора в областях других наук: биологии, географии, истории, литературы, и многое другое в дополнение к привычным методам и подходам обучения. Главным условием роста профессионализма учителя является изменение технологии учительской деятельности.

Изменения должны произойти и в позиции ученика: должно измениться поведение учащегося на уроке и при подготовке к нему. Наблюдается ситуация, при которой ребенок не готов к собственной интеллектуальной активности и к аргументированному отстаиванию своей точки зрения. Значит, необходимо создание специальной среды, способствующей этим изменениям, и погружение в нее учащихся. Это — проведение практических работ, экспериментов, исследовательской и проектной деятельности непосредственно в ходе урока, активное участие в дискуссии, поиск информации за пределами школьного учебника, анализ массивов данных с целью выявления закономерности, самостоятельный выбор инструментария для своей работы, привлечение к работе на уроке и дома ИКТ. Эти требования усложняют жизнь и ученику, и учителю.

Изучение теории вероятности и статистики должно изменить и отношение учеников, которое часто идет вразрез с имеющимися у детей представлениями. «Случайно» — это вовсе не «все что угодно». Традиционная трудность математических дисциплин — анализ текста условия и, как следствие, умение решать сюжетные задачи — в данном предмете является решающей: все задачи — сюжетные! Задачи по теории вероятности, комбинаторике и статистике гораздо разнообразнее, чем алгебраические. Решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке», — дело очень трудное!

Так стоит ли браться за преподавание нового предмета «Теория вероятностей и статистика», несущего нам всем: учителям, ученикам, их родителям, столько трудностей и тревог? Стоит ли менять свой привычный школьный образ жизни, привычные, годами обкатанные методы работы? Где найти время на погружение в содержательно новый раздел математики? На чьи методические советы и поддержку опереться в своей работе?..

Знакомство со стохастическими процессами обогащает знание учащихся о мире, в котором мы живем. Традиционные школьные разделы математики — это математика жестких связей и закономерностей, теория вероятностей — это математика в условиях неопределенных процессов, что важно для применения к прикладным вопросам современности. Если ощутить в полной мере мировоззренческую важность преподавания этого предмета, понять, что мир случайного будет открыт в школе именно учителем математики, то должны появиться силы для преодоления перечисленных выше трудностей.

Труднодостижимые цели всегда больше радуют, приносят большее чувство удовлетворения. Успехи наших учеников, их заинтересованный взгляд отбрасывают прочь все колебания и внутреннее сомнение, являются демонстрацией нашего умения достичь поставленной цели. Чем больше «вложено» себя, своего времени, своего вдохновения, тем сильнее ощущение своей профессиональной компетентности, радости преодоления.

Рискнём утверждать, что у любого заинтересованного учителя — при желании и большой работоспособности — все получится, ведь, по словам А.В. Луначарского, «учитель, который перестает учиться, перестает быть учителем». Значит, только в движении вперед мы состоятельны как учителя, и именно мы найдем, как сказал Н. Винер, «скрытый порядок в хаосе, который нас окружает».

Приложение 6.

Устные упражнения на уроках по теории вероятностей и статистике

Устные упражнения — это и пресловутый устный счет, и устный опрос по теории, и вопросы, направленные на повторение, актуализацию и т.д. Цели их использования могут быть различными, а суть вполне понятна: активизировать память и мышление ученика, заставить работать. Ведь выполняя упражнения устно, ученик не может заглянуть в учебник и прочитать точную формулировку правила, определения или теоремы, не может что-то записать или зарисовать – все необходимое для выполнения задания он должен удерживать в голове. А это непросто. Устные упражнения можно использовать в том же качестве, в котором обычно используют утреннюю зарядку – чтобы проснуться, стряхнуть с себя дрему. Можно и для того, чтобы помочь учащимся переключиться с одного урока на другой или настроиться на то, чему будет посвящен урок, повторив необходимые для этого сведения. Это в начале урока. Но часто переключения с одного вида деятельности на другой нужны и по ходу урока. Устные упражнения полезны и тем, что выполняются они каждым в отдельности и чаще всего в рамках небольшого временного промежутка. Здесь есть возможность отличиться, причем публично. Но ведь не ради собственно вычислений дается эта работа. Чтобы заставить думать и научить думать. А это очень важно.

1. Какие из следующих событий являются невозможными, какие достоверными, какие случайными?

А: Футбольный матч команд «Локомотив» и «Динамо» закончится вничью.

Б: Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.

В: На день рождения вам подарят говорящую лошадь.

Г: 1 сентября будет контрольная работа по математике.Д: 30 февраля будет вьюга.

Е: Когда вы вырастите, вас выберут президентом России.

Ответ: невозможные события — В, Г, Д; достоверное — Б; случайные — А, Е.

2. Охарактеризуйте события:

А: Вода в реке замерзает при температуре плюс 25 градусов по шкале Цельсия.

Б: После воскресенья наступит понедельник.

В: При телефонном звонке абонент оказался занят.

Г: «Наступило утро» и «Пошел дождь».

Д: «Идет дождь» и «На небе нет ни облачка».

Е: «Бутерброд упал маслом вниз» и «Бутерброд упал маслом вверх».

Ж: Бутерброд упал.

З: Вода в чайнике закипает при 100 градусах по шкале Цельсия.

Ответ: А — невозможное; Б —достоверное; В — случайное, возможное; Г — возможное, случайное, совместное; Д — невозможное, несовместное; Е — равновозможные; Ж — случайное, возможное; З — достоверное.

3. В коробке лежат 10 красных, 2 синих и 1 белый шар. Из коробки наугад вынимают два шара. Какие из следующих событий являются достоверными, какие невозможными, какие случайными?

А: Вынули два красных шара.

Б: Вынули два синих шара.

В: Вынули два белых шара.

Г: Вынули шары разных цветов.

Д: Вынули два шара.

Е: Вынули два кубика.

Ответ: достоверное событие — Д; невозможные — В, Е; случайные — А, Б, Г.

4. В школе учится N человек. При каких значениях N событие «В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких — достоверным?

Ответ: при N ≤ 366 данное событие случайное, при N > 366 — достоверное (по числу дней в году).

5. В коробке лежат 20 белых шаров, 2 черных и 1 красный. Из нее наугад вынимается один шар. Какое из следующих событий является более вероятным?

А: Вынутый предмет окажется белым шаром.

Б: Вынули черный шар.

В: Вынули красный шар.

Г: Вынули разноцветный шар.

Ответ: более вероятным событием является событие А.

6. Сколькими способами двое учащихся могут занять места за одной двухместной партой в классе?

Ответ: двумя. (Один слева, другой справа или наоборот.)

7. Назовите все двузначные числа, в записи которых встречаются только цифры 0, 1 и 2, при условии, что в записи чисел цифры:

а) различны;

б) могут повторяться.

Ответ: а) 10, 12, 20, 21; б) 10, 11, 12, 20, 21, 22.

7. Назовите все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 4 и 5.

Ответ: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555.

8. Папе, маме и их взрослому сыну подарили два билета в Большой театр. Сколько существует различных вариантов посещения театра?

Ответ: 3 варианта (ПМ, ПС, МС).

9. Сколько различных трехзначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 4 и 5, при условии, что цифры в записи числа не повторяются.

Ответ: шесть вариантов (345, 354, 435, 453, 534, 543).

10. Ира и Оля пришли в магазин, где продавались в достаточном количестве шоколада «Аленка», «Бабаевский» и «Вдохновение». Каждая из них купила по одной плитке. Сколько существует способов покупки?

Ответ: девять вариантов. (Ира может купить плитку шоколада любого из трех видов, но и Оля также может выбрать один из трех видов, значит, всего существует 3∙3 = 9 способов покупки.)

11. У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? Ответ: 15.

12. Четыре подруги решили обменяться фотографиями на память (причем каждая девочка подарила каждой подружке по одной фотографии). Сколько всего фотографий было подарено? Ответ: 12 фотографий. (Каждая из четырех девочек подарила подружкам 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 4∙3 = 12 фотографий).

13. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5? Ответ: 120 различных чисел. (Задача сводится к подсчету числа перестановок из 5 элементов. При этом первая цифра может занимать 5 позиций, вторая — 4, третья — 3, четвертая — 2, а пятая — 1, следовательно, всего возможно 5∙4∙3∙2∙1=120 перестановок, а значит, и 120 различных чисел).

14. В таблице приведены результаты решения задач (в баллах) на школьной олимпиаде по математике. По данным таблицы ответьте на вопросы: а) Кто из участников занял первое место? б) Кто занял второе? третье?

в) Какое задание вызвало у учащихся наибольшую трудность? Почему? г) Кто из участников набрал одинаковое число баллов? д) Сколько баллов «стоило» каждое задание, если известно, что каждое задание решил абсолютно верно хотя бы один из участников? е) Кто из участников набрал ровно половину возможных баллов? ж) Были ли среди заданий такие, за решение которых участники получили одинаковое число баллов?

Ответ: а) участник № 3 занял первое место, участник № 13 — второе, участник № 2 — третье; б) наибольшую трудность у учащихся вызвало задание № 4 (с ним справился только один участник); в) одинаковое число баллов за олимпиаду набрали участники под номерами: 4, 12, 14; 6 и 8; 10 и 11; г) задание № 1 — 4 балла; задание № 2 — 6 баллов; задание № 3 — 6 баллов; задание № 4 — 10 баллов; задание № 5 — 10 баллов; задание № 6 — 8 баллов; д) участник № 2; е) задания № 3 и № 4.

16. Предположим, вам необходимо оценить вероятность исходов в экспериментах по подбрасыванию монеты, кнопки, кубика, пуговицы. В каких из этих ситуаций вы готовы дать ответ, не проводя самого эксперимента? Почему? Ответ: в ситуации подбрасывания монеты или кубика, так как они представляют собой симметричные математические объекты.

17. Сравните частоту событий. А: При бросании монеты выпадет «орел». Б: При бросании монеты выпадет «решка».

Ответ: частота событий одинаковая

18. Найдите частоту событий.

А: При бросании кубика выпадет число 1.

 Б: При бросании кубика выпадет число 6.

В: При бросании кубика выпадет четное число очков.

Г: При бросании кубика выпадет нечетное число очков.

Д: При бросании кубика выпадет число 0.

Е: При бросании кубика выпадет любое натуральное число от 1 до 6.

Ответ: Е — 1.

19. Какие из событий, рассмотренных в задании № 18, можно назвать:

а) достоверными;

б) невозможными;

в) равновозможными;

г) случайными?

Ответ: а) достоверное — Е; б) невозможное — Д;в) равновозможные — А и Б; В и Г; г) случайные — все, кроме события Д.

20. Сравните частоту наступления событий А и Г в задании № 18.

Ответ: частота наступления события А меньше, чем частота события Г, так как

21. Сравните между собой шансы наступления событий.

А: Новый электрический чайник не сломается в течение месяца.

Б: Новый электрический чайник не сломается в течение года.

Ответ: А более вероятно, чем событие Б. Пояснение. Всякий раз наступление события Б означает, что наступило и событие А. Обратное же неверно: электрический чайник может исправно работать в течение ближайшего месяца, а в следующем сломаться.

22. Сравните между собой шансы наступления событий.

А: Новый телевизор не сломается в течение пяти ближайших лет.

Б: Новый компьютер не сломается в течение пяти ближайших лет.

Ответ: дать однозначный ответ в этой ситуации невозможно.

23. После десяти бросаний двух кубиков сумма 12 не была получена ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?

Ответ: нет, нельзя (слишком мало сделано испытаний).

24. О каком событии идет речь? «Из 31 учащегося в классе хотя бы у одного день рождения 31 февраля».

Ответ: о невозможном событии. (В феврале не бывает 31 день).

25. Охарактеризуйте вероятность случайного события: «Купленная в магазине электролампа оказалась неисправной».

Ответ: событие маловероятное. (Как правило, исправность ламп продавец проверяет перед продажей).

26. В непрозрачном пакете лежат 12 конфет «Мишка на Севере» и 8 конфет «Мишка косолапый». Какова вероятность того, что вынутая наугад конфета окажется «Мишкой на Севере»?

Ответ: . Пояснение. Число всех возможных исходов равно 20, число благоприятных исходов 12, значит, вероятность данного события равна 0,6.

27. В коробке лежат 15 красных и 35 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет красным?

Ответ: 0,3. (Всего в коробке 50 шаров (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов равно 15, значит, вероятность равна )

28. Из карточек с буквами русского алфавита произвольно достается одна карточка. Какова вероятность того, что на карточке будет изображена гласная буква?

Ответ:  (Всего в русском алфавите 33 буквы (число всех равновозможных исходов), из них гласных букв 10 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность равна )

29. Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

Ответ: . (Всего в данном слове 7 букв (число всех равновозможных исходов), из них согласных букв 3 (число благоприятных исходов), следовательно, вероятность того, что вытянутая буква окажется согласной, равна )

30. При наборе номера телефона абонент забыл последнюю цифру номера и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что он правильно набрал нужный ему номер?

Ответ:  (Число всех равновозможных исходов равно 10, благоприятный исход только 1; следовательно, вероятность правильного выбора последней цифры равна 0,1.)

31. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что появятся:

а) два «орла»; б) «орел» и «решка»?

Ответ:

32. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. На класс выделили одно место на поездку в Англию. Решили разыграть поездку по жребию. Сравните вероятность наступления событий.

А: Поездку выиграл мальчик.

Б: Поездку выиграла девочка.

Ответ: вероятность события Б выше. (Всего в классе 30 человек (число всех равновозможных исходов), число благоприятных исходов события А равно 12, вероятность события А равна число благоприятных исходов события Б равно 18, вероятность этого события равна Так как 0,6 > 0,4, то вероятность события Б выше).

33. В корзине лежат яблоко и груша. Из корзины достают один фрукт. Какова вероятность того, что достали яблоко?

Ответ:

34. В корзине лежат два яблока и одна груша. Из корзины одновременно достают два фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?

Ответ:  (Из трех равновозможных событий ЯЯ, ЯГ, ГЯ, благоприятный исход только один — ЯЯ, значит, вероятность равна )

35. В коробке находятся 3 ручки с черной, 4 с красной и 5 с синей пастой. Наугад вынимается одна ручка. Найдите вероятность того, что вынута:

А: Ручка с черной пастой.

Б: Ручка с красной пастой.

В: Ручка с синей пастой.

Г: Ручка.

Д: Не ручка, а карандаш.

Е: Ручка не с черной пастой.

Ж: Жучка не с красной пастой.

З: Ручка не с синей пастой.

И: Ручка с черной, или красной, или синей пастой.

К: Ручка с зеленой пастой.

Ответ:

36. Какие из перечисленных в задании № 35 событий являются:

а) достоверными;

б) невозможными;

в) случайными?

Ответ: а) достоверными являются события Г и И; б) невозможными — Д и К; в) случайными — А, Б, В, Е, Ж, З.

37. Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число: а) 10; б) не 10; в) четное; г) нечетное; д) простое; е) составное; ж) больше 28; з) не меньше 28; и) кратно 5; л) не кратно 5.

Ответ:

38. Саша забыла две последние цифры номера телефона поликлиники и набрала их наугад. Какова вероятность того, что она сразу же дозвонилась до поликлиники?

Ответ: 0,01. (Каждую и двух последних цифр можно набрать одним из 10 способов, следовательно, вероятность правильного набора необходимого номера телефона равна 0,1∙0,1 = 0,01).

39. Три человека пришли в гости в одинаковых шляпах, положили их на полку, а уходя, надели их наугад. Какое количество исходов можно выбрать в таком эксперименте, чтобы они были равновозможными?

Ответ: 6 исходов, каждый из которых равновозможен. (Обозначим шляпу первого человека цифрой 1, второго — цифрой 2, третьего — цифрой 3, тогда исходом эксперимента можно считать любую перестановку из чисел 1, 2 и 3: 123, 132, 213, 231, 312, 321).

40. Сколькими способами можно расставить на книжной полке четырехтомник А.С. Пушкина? Какой из них предпочтителен?

Ответ: 24 способа расстановки данных книг. (Первую книгу можно расставить 4 способами, вторую уже тремя, третью — двумя, четвертую — только одним, следовательно, всего существует 4∙3∙2∙1 = 24 способа. Предпочтительно поставить книги по номерам томов: № 1, № 2, № 3, № 4).

41. Мама купила яблоки, сливы и груши и решила сварить из фруктов компоты, используя в каждом случае только два из названных видов фруктов. Сколько различных компотов можно сварить при этих условиях?

Ответ: 3 (ЯС, ЯГ, СГ).

42. Назовите событие, противоположное указанному в данном испытании:

а) при бросании монеты выпала «решка»;

б) при бросании игральной кости выпало 6 очков.

Ответ: а) при бросании монеты выпал «орел»; б) при бросании игральной кости выпало меньше 6 очков.

43. Вероятность попадания некоторым стрелком одним выстрелом по бегущей мишени равна 0,8. Какова вероятность того, что этот стрелок промахнется, сделав выстрел?

Ответ: 0,2. (Так как сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то вероятность промаха может быть найдена как разность чисел 1 и 0,8.)

44. Вероятность выигрыша, приходящегося на один билет в школьной лотерее, равна 0,67. Какова вероятность получения невыигрышного лотерейного билета?

Ответ: 0,33 (1 – 0,67 = 0,33).

45. Могут ли быть противоположными события C и D, если:

а) P(C) = 0,12, а P(D) = 0,78;

б) P(C) = 0,14, а P(D) = 0,86.

Ответ: а) нет, так как сумма вероятностей не равна 1; б) да, так как сумма вероятностей равна 1.

46. Найдите медиану ряда чисел: 14,7; 15,3; 15,4; 15,5; 16,1; 16,9; 18,4; 19,9; 20,2; 21,8; 25,1.

Ответ: 16,9. (Числа записаны в порядке возрастания, их нечетное число (одиннадцать), значит, медианой данного ряда чисел будет число, стоящее посередине ряда (6-е по счету), а именно 16,9).

47. Найдите медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 9; 8; 5; 4; 2.

Ответ: медиана равна 5; среднее арифметическое 28 : 5 = 5,3.

48. Сравните медиану и среднее арифметическое ряда чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: медиана равна 3,5 (среднее арифметическое двух средних чисел); среднее арифметическое тоже равно 3,5 (21 : 6 = 3,5).

49. Найдите моду ряда чисел: а) 5; 2; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5; б) 2, 3, 4, 5.

Ответ: а) мода равна 5; б) данный ряд моды не имеет.

50. Найдите медиану, моду, размах и среднее арифметическое ряда чисел:

а) 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90;

б) 15; 18; 20; 26; 26; 27;

в) –35; –33; –22; –20; 35;

г) –12; –6; –4; 0; 0; 0; 4; 6; 12.

Ответ: а) медиана равна 50; данный ряд моды не имеет; размах равен 80 (90 – 10 = 80); среднее арифметическое равно 50 (450 : 9 = 50); б) медиана равна 23; мода 26; размах равен 12; среднее арифметическое равно 22; в) медиана равна –22; данный ряд моды не имеет; размах равен 70; среднее арифметическое равно –15; г) медиана равна 0; мода равна 0; размах равен 24; среднее арифметическое равно 0.

51. Температура на планете Меркурий колеблется от минус 150 градусов Цельсия до плюс 350. Найдите размах изменения температуры на планете.

Ответ: 350 – (–150) = 500 градусов Цельсия.

52. Размах некоторого числового ряда равен нулю. Что можно сказать про этот ряд?

Ответ: все числа этого ряда одинаковые.

53. Найдите размах, моду и медиану ряда чисел:

а) –3; –2; –2; –2; –1; 0; 1; 1; 2; 3; 3; 4;

б) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6.

Ответ: а) размах равен 7; мода равна –2; медиана равна 0,5; б) размах равен 5; данный ряд моды не имеет; медиана равна 3.

54. В ряду чисел 3; 8; 15; 24; 30; ... пропущено последнее число. Найдите это число, если размах ряда равен 40.

Ответ: 43.

55. Известно, что ряд данных чисел состоит из натуральных чисел. Может ли для этого ряда быть дробным числом:

а) мода; б) размах; в) медиана; г) среднее арифметическое?

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.

56. В ряду чисел ...; ...; 9; 12 пропущены два числа, одно из которых в два раза меньше другого. Найдите эти числа, если среднее арифметическое этого ряда чисел равно 6.

Ответ: 1; 2. Пояснение. (х + 2х +9 +12) : 4 = 6; 3х + 21 = 24; 3х = 3; х = 1.

57. Вычислите: а) 3!; б) 4!; в) 5!; г)1!

Ответ: а) 3! = 6 (1∙2∙3); б) 4! = 24 (1∙2∙3∙4 или 3!∙4 = 6∙4); в) 5! = 120 (1∙2∙3∙4∙5 или 4!∙5 = 24∙5); г) 1!=1.

58. Какой цифрой заканчивается 6!? Ответ: цифрой 0.

59. Сколькими нулями заканчивается число 5!?

Ответ: одним.

60. Делится ли 11!:а) на 2; б) 3; в) 5; г) 6; д) 9; е) 10; ж) 100?

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; е) да; ж) да. (11! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11. Числа 2, 3, 5, 6, 9 и 10 являются множителями данного числа, а число, делящееся на 100, можно получить, например, умножением чисел 4, 5 и 10).

61.Вычислите:

Ответ: а) 8; б) 4; в) 56; г) 2; д) 4; е) 9; ж) 2.

62. Вычислите: а) 2!∙5; б) 5!∙2. Какой результат больше и во сколько раз?

Ответ: а) 10 (1∙2∙5 = 10); б) 240 (1∙2∙3∙4∙5∙2 = 240). Второй результат больше в 24 раза.

63. В классе 7 учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двоих из них для участия в математической олимпиаде?
Ответ:

64. Одновременно бросают 3 монеты.

а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

б) С какой вероятностью все монеты упадут на одну сторону?

в) С какой вероятностью выпадет хотя бы один «орел»?

Ответ: а) 8 исходов (ООО, ООР, ОРО, ОРР, РРР, РОО, РОР, РРО);

65. Из коробки с двумя белыми и двумя красными шарами вынимают одновременно, не глядя, два шара. Какова вероятность того, что они оба красные?

Ответ:  (Число всех возможных исходов будет равно числу сочетаний из 4 по 2, то есть 6. Из них только один исход будет благоприятным).

66. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется способов освещения коридора?
Ответ: 8 способов. (Каждая из трех лампочек может гореть или не гореть независимо друг от друга. Поэтому число возможных исходов можно найти по правилу умножения испытаний, а именно: 2∙2∙2 = 8).

67. Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку своему другу. Сколько было сделано рукопожатий?

Ответ: 15. (Первый из друзей сделал 5 рукопожатий, второй — 4 (неучтенных ранее рукопожатий), третий — 3, четвертый — 2, пятый — только одно, шестой — ни одного, так как все рукопожатия уже учтены. Следовательно, всего было сделано 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 рукопожатий.)

68. При встрече 8 человек обменялись друг с другом адресами. Сколько при этом было сделано обменов?

Ответ: 28. ((8∙7) : 2 = 28.)

69. На соревнование по шашкам прибыли 11 девочек и 6 мальчиков, и каждый участник сыграл по одной игре с каждым из остальных.

а) Сколько встреч было между девочками?

б) Сколько встреч было между мальчиками?

Ответ: а) 55 (10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55); б) 21 (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21).

Литература.

1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. — М.: Дрофа, 2008.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. — М.: Просвещение, 2005.
3. . Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных (дополнительные параграфы к курсу алгебры 7–9 кл.). — М.: Мнемозина, 2005.
4. Пучков Н.П., Ткач Л.И. «Математика случайного». Методические рекомендации. Тамбов. Издательство ТГТУ, 2005.
5. Математика. 5-6 классы: методическое пособие для учителя / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008.
6. Математика, 5—6 : кн. для учителя / С. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова. — М. :Просвещение, 2006

Интернет-ресурсы

1. http://mat.1september.ru/index.php?year=2009&num=14
2. http://teorver.mccme.ru/tmvy/metod/m1/index.shtml
3. http://www.prosv.ru/ebooks/Makarichev_Izuchenie-algebri_7-9kl/0.html